专题04函数的基础知识&一次函数&反比例函数（6考点）-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（山东专用）

专题04 函数基础知识&一次函数&反比例函数 考点1 平面坐标系+函数的基础知识 1．（2024•潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　 　． ①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交． 【分析】一次函数y＝kx+b（k≠0）中的y随着x的增大而减小可得k＜0，再根据函数图象与y轴正半轴相交可得b＞0，据此即可求解． 【解答】解：∵y随着x的增大而减小， ∴一次函数的比例系数k＜0， 又∵函数图象与y轴正半轴相交， ∴b＞0， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是y＝﹣x+2， 故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（2024•滨州）若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 　 　． 【分析】根据反比例函数分母不为0求解即可． 【解答】解：∵的解析式在实数范围内有意义， ∴x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为：x≠1． 【点评】本题考查了反比例函数自变量x的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键． 3．（2024•山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 　 　． 【分析】根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2）， 经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1）， 经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4）， ……， 发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）， ∵2024÷3＝674⋯2， ∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1）， 故答案为：（2，1）． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是找到规律点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）． 4．（2024•烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求得菱形的面积为cm2，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得重叠部分的面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【解答】解：如图所示，设EG，HF交于点O， ∵菱形EFGH，∠E＝60°， ∴HG＝GF，∠HGF＝∠E＝60°， ∴△HFG是等边三角形， ∵cm，∠E＝60°， ∴∠OEF＝30°， ∴cm， ∴（cm2）， 当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，如图所示， 依题意，△MNG为等边三角形， 运动时间为t，则（cm）， ∴（cm2）； 当3＜t≤6时，如图所示， 依题意，EM＝EG﹣t＝6﹣t（cm），则（cm）， ∴（cm2）， ∴S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ（cm2）； ∵EG＝6cm＜BC， ∴当6＜t≤8时，cm2； 当8＜t≤11时，同理可得，（cm2）； 当11＜t≤14时，同理可得，（cm2）； 综上所述，当0≤t≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3＜t≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6＜t≤8时，函数图象为一条线段，当8＜t≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11＜t≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，分类讨论是解题的关键． 5．（2024•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【分析】依据题意，当P到C时，DP2＝y＝7，可得DC2＝7，再作DH⊥BC于H，进而求出BHBD＝1，CH＝2，故可判断①；找出t＝5时，P的位置，进而可以判断②；再由当4≤t≤6时，此时P从如图的位置运动到A，紧扣特殊位置进行分析可得，y≤3，故可判断③；又由t1+t2＝6，t1＜t2，可得t2＝6﹣t1，t1＜3，t2＞3，再结合当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2，从而作差y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）23﹣t1＞0，故可判断④． 【解答】解：由题意，当P到C时，DP2＝y＝7， ∴DC2＝7． 作DH⊥BC于H，如图1所示， ∵∠B＝60°，BD＝2， ∴BHBD＝1，DH． ∴CH2． ∴BC＝BH+CH＝1+2＝3． ∴AB＝BC＝3，故①正确． ∴此时t＝AB÷1＝3（秒）． ∴当t＝5时，P在AC上，且PC＝2． 如图2，AD＝AP＝1， 又∠A＝60°， ∴△ADP是等边三角形． ∴DP＝AD＝AP＝1． ∴y＝DP2＝1，故②正确． 当4≤t≤6时，如图3， ∴PC＝1，此时P从如图的位置运动到A． ∴AHAD． ∴DH，此时P运动到H时y＝DH2取最小值为． 又HP＝AC﹣AH﹣PC＝31， ∴DP． ∴此时y＝DP2取最大值为3． ∴当4≤t≤6时，y≤3，故③错误． ∵t1+t2＝6，t1＜t2， ∴t1+t2＜2t2，2t1＜t1+t2，t2＝6﹣t1． ∴t1＜3，t2＞3． 又由题意，可得，当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2， ∴y1＝（t1﹣1）2+3，y2＝（t2﹣5.5）2（t1﹣0.5）2． ∴y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）2 ＝3﹣t1＞0． ∴y1＞y2，故④正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键． 考点2 一次函数的图象与性质 6．（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为（，0 ），以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；…按照这样的规律进行下去，点A2024的横坐标是 　 ． 【分析】根据题意，依次求出OAn（n为正整数）的长度，发现规律即可解决问题． 【解答】解：因为直线l的表达式为y＝x， 所以直线l平分第一象限， 即直线l与x轴正半轴的夹角为45°． 因为点A1的坐标为（）， 所以OA1． 由作图过程可知， OB1＝OA1． 又因为B1A2⊥l， 所以△OB1A2是等腰直角三角形， 所以， 同理可得， OA3， OA4＝4， …， 所以（n为正整数）， 当n＝2024时， ， 所以点A2024的横坐标为21012． 故答案为：21012． 【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质及通过计算发现（n为正整数）是解题的关键． 7．（2024•日照）已知一次函数y1＝ax（a≠0）和y2x+1，当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，则a的取值范围为 　 　． 【分析】依据题意，由当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，从而当x≤1时，总有x+1＞ax，即（a）x＜1，进而分类讨论即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方， ∴当x≤1时，总有x+1＞ax． ∴（a）x＜1． ①当a，且a≠0时， ∴a＞0． ∴（a）x＞﹣1． ∴x，与x≤1矛盾，故此时不成立． ②当a时， ∴（a）x＝0＜1，符合题意． ③当a时， ∴a0． ∴x． 又∵x≤1， ∴1． ∴a． 综上，a． 故答案为：a． 【点评】本主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 考点3 一次函数的实际应用 8．（2024•东营）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm，当所排物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 　 　cm． 【分析】根据题意可以求得y与x的函数关系式，从而可以求得当x＝5时对应的y值，本题得以解决． 【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+12.5， ∵x＝2时，y＝13.5， ∴13.5＝2k+12.5， 得k， ∴yx+12.5， 当x＝5时，y5+12.5＝15， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出y与x的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 9．（2024•济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量 多 　 　kw•h． 【分析】根据“电动汽车每千米的耗电量＝剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象l1，l2的函数关系式，将x＝300分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【解答】解：A款新能源电动汽车每千米的耗电量为（80﹣48）÷200＝0.16（kw•h），B款新能源电动汽车每千米的耗电量为（80﹣40）÷200＝0.2（kw•h）， ∴l1图象的函数关系式为y1＝80﹣0.16x，l2图象的函数关系式为y2＝80﹣0.2x， 当x＝300时，y1＝80﹣0.16×300＝32，y2＝80﹣0.2×300＝20， 32﹣20＝12（kw•h）， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kw•h． 故答案为：12． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每千米的耗电量＝剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象l1，l2的函数关系式，并计算当x＝300时对应函数值是解题的关键． 10．（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①由乙比甲晚出发30min及当x＝50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确； ②观察函数图象，可得出当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，利用路程＝速度×时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代入86中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误； ④利用路程＝速度×时间，即可求出A，B两地之间的距离是11200m． 【解答】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x＝50时，y＝0， ∴乙出发50﹣30＝20（min）时，两人第一次相遇， 即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600， ∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min， 根据题意得：， 解得：， ∴868698， ∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误； ④∵200×（86﹣30）＝11200（m）， ∴A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，逐一分析各结论的正误是解题的关键． 11．（2024•威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（　　） A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟 【分析】根据函数图象推导出E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，据此判断D；乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，据此推导甲，乙两车速度与AC的距离，从而判断B，C；设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70+20，解答即可判断A． 【解答】解：根据函数图象可得AB两地之间的距离为40﹣20＝20（km）， 两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1﹣2小时，两车同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确，不符合题意； 设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h， 根据题意，乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a＜b， ∵2b+20﹣2a＝40，即b﹣a＝10， 在DE﹣EF时，乙车不动，则甲车的速度是60（km/h）， ∴乙车速度为60+10＝70km/h，故C不正确，不符合题意； ∴AC的距离为4×60＝240（千米），故B不正确，不符合题意； 设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70+20， 解得：x，即小时时，两车相遇，故A正确，符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，观察函数图象结合数量关系，列式计算是解题的关键． 12．（2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【分析】问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是（1+20%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即B种书架的单价），再将其代入（1+20%）x中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买（20﹣a）个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价＝单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； 问题三：利用总价＝单价×数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是（1+20%）x元， 根据题意得：6， 解得：x＝1000， 经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意， ∴（1+20%）x＝（1+20%）×1000＝1200． 答：A种书架的单价是1200元，B种书架的单价是1000元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买（20﹣a）个B种书架． ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ∴a（20﹣a）， 解得：a≥8． ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是1200元，B种书架的单价是1000元， ∴w＝1200a+1000（20﹣a）， 即w＝200a+20000， ∵200＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝8时，w取得最小值，此时20﹣a＝20﹣8＝12， ∴费用最少时的购买方案为：购买8个A种书架，12个B种书架； 问题三：根据题意得：（1200﹣m）×8+（1000m）×12＝21120， 解得：m＝120． 答：m的值为120． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：问题一：找准等量关系，正确列出分式方程；问题二：根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式；问题三：找准等量关系，正确列出一元一次方程． 13．（2024•青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【分析】（1）设航空模型的单价为x元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的得：，解方程并检验可得答案； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，由航空模型数量不少于航海模型数量的，得m（120﹣m），解得m≥40，而W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，根据一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元， 根据题意得：， 解得x＝125， 经检验，x＝125是方程的解，也符合题意， ∴x﹣35＝125﹣35＝90， ∴航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型（120﹣m）个， ∵航空模型数量不少于航海模型数量的， ∴m（120﹣m）， 解得m≥40， 根据题意得：W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800， ∵10＞0， ∴当m＝40时，W取最小值，最小值为10×40+10800＝11200， 此时120﹣m＝120﹣40＝80， ∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少． 【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 14．（2024•济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【分析】（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元； （2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个， 根据题意得：m≥2（20﹣m）， 解得：m． 设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m）， 即w＝m+40， ∵1＞0， ∴w随m的增大而增大， 又∵m，且m为正整数， ∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54． 答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 15．（2024•东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元． （1）求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【分析】（1）设购买每辆A型新能源公交车需x万元，每辆B型新能源公交车需y万元，根据“购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A型新能源公交车，则购买（10﹣m）辆B型新能源公交车，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过650万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该线路的年均载客总量为w万人次，利用该线路的年均载客总量＝每辆A型新能源公交车的年均载客量×购买A型新能源公交车的数量+每辆B型新能源公交车的年均载客量×购买B型新能源公交车的数量，可列出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设购买每辆A型新能源公交车需x万元，每辆B型新能源公交车需y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买每辆A型新能源公交车需60万元，每辆B型新能源公交车需80万元； （2）设购买m辆A型新能源公交车，则购买（10﹣m）辆B型新能源公交车， 根据题意得：60m+80（10﹣m）≤650， 解得：m， 设该线路的年均载客总量为w万人次，则w＝70m+100（10﹣m）， 即w＝﹣30m+1000， ∵﹣30＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，且m为正整数， ∴当m＝8时，w取得最大值，最大值为﹣30×8+1000＝760，此时10﹣m＝10﹣8＝2． 答：当购买8辆A型新能源公交车，2辆B型新能源公交车时，年均载客总量最大，最大值为760万人次． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 16．（2024•德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． （1）两种棋的单价分别是多少？ （2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【分析】（1）根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，可以列出相应的分式方程，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果可以得到费用关于五子棋副数的函数关系，再根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，可以得到购买五子棋数量的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到费用的最小值． 【解答】解：（1）设象棋的单价为x元，则五子棋的单价为（x﹣8）元， 由题意可得：， 解得x＝48， 经检验，x＝48是原分式方程的根， ∴x﹣8＝40， 答：象棋的单价为48元，五子棋的单价为40元； （2）设购买五子棋a副，则购买象棋（30﹣a）副，总费用为w元， 由题意可得：w＝40a+48（30﹣a）＝﹣8a+1440， ∴w随a的增大而减小， ∵购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍， ∴a≤3（30﹣a）， 解得a≤22.5， ∴当a＝22时，w取得最小值，此时w＝1264，30﹣a＝8， 答：当购买五子棋22副，象棋8副时费用最低，最低费用为1264元． 【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． 考点4 反比例函数的图象与性质 17．（2024•济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可． 【解答】解：在反比例函数y中k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵C（3，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∵﹣2＜﹣1， ∴0＜y1＜y2， ∴y3＜y1＜y2， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键． 18．（2024•滨州）点M（x1，y1）和点N（x2，y2）在反比例函数y为常数）的图象上，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y1＜0＜y2 D．y1＞0＞y2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：反比例函数y中，（k﹣1）2+2＞0，反比例函数图象分布在第一、三象限， ∵x1＜0＜x2， ∴点M在第三象限的图象上，点N在第一象限的图象上， ∴y1＜0＜y2， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 19．（2024•德州）如图，点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥y轴，若AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．6 【分析】依据题意，利用反比例函数k的几何意义，结合相关线段的长度来求a﹣b的值． 【解答】解：如图，设C（m，），则D（m，），OE＝﹣m， ∴2． ∴b﹣a＝2m， ∴a﹣b＝2OE， 同理：a﹣b＝3OF， ∴2OE＝3OF． 又∵OE+OF＝5， ∴OE＝3，OF＝2， ∴a﹣b＝6． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 20．（2024•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 　 　． 【分析】根据两个函数的图象及两个交点坐标的横坐标直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知： 当y1≤y2时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2． 故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键． 21．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D．2 【分析】设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用a2+b2求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【解答】解：设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b， 由题意得：a2+b2． ∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上， ∴FG∥ED∥OM，∠NFG＝∠DCM＝90°， ∴∠NGF＝∠DMC， ∴△NFG∽△DCM， ∴， ∵MD＝4GN， ∴， ∴NFb． ∵FG∥ED， ∴△NFG∽△NED， ∴， ∴， ∴b2＝4a2， ∴， ∵a＞0， ∴a． ∴b． ∴A（，）， ∴k3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键． 22．（2024•淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝　 　． 【分析】解：①由A1（1，0）得B1（1，），由A2（2，0）得B2（2，1），先求出直线A1B2和直线A2B1的解析式，再求出C1坐标，最后求出ai．同理求出a2，找出规律，再计算即可． 【解答】解：①由A1（1，0）得B1（1，）， 由A2（2，0）得B2（2，1）， 设直线A1B2的解析式为y＝kx+b， 代入由A1（1，0），B2（2，1）得： ， ∴k＝1，b＝﹣1， ∴直线A1B2的解析式为y＝x﹣1， 同理直线A2B1的解析式为yx， 联立得x﹣1x， ∴x， ∴C1（，）， ∴ai（）÷[1×（2）]． ②由A3（3，0）得B3（3，）， 同①方法得直线A2B3的解析式为yx， 直线A3B2的解析式为y＝﹣x+3， 联立得xx+3， ∴x， ∴C1（，）， ∴a21×（）÷[（）]， •••， ∴a2024． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象上点的坐标特征，掌握求点的坐标方法，求直线解析式的方法，同时找到规律是解题关键． 23．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y（k≠0）的图象上，则k＝　 　． 【分析】设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，C'H⊥y轴于点H，则四边形ODC'H为矩形，根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，MN是线段BB'的垂直平分线，设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM，在△AB'M中，有勾股定理求出，则AM，点M，证明△OB'E和△AMB'相似，利用相似三角形的性质可求出OE，B'E，则C'E，再求出点F，利用待定系数法求出直线MF的表达式，则ON，进而得C'N＝CN，EN，在Rt△C'EN中，由三角形的面积公式可求出C'H，在Rt△B'C'D中，由勾股定理再求出C'D，则点C'，据此即可得出k的值． 【解答】解：设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，C'H⊥y轴于点H，如图所示： 则四边形ODC'H为矩形， ∴OD＝C'H， 根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，MN是线段BB'的垂直平分线，∠B'C'N＝∠BCN＝90°，∠MB'C'＝∠MBC＝90°， ∵点A（4，0），C是矩形OABC的顶点， ∴BC＝OA＝B'C'＝4，OC＝AB，∠MAB'＝90°， ∴点B的坐标为， 设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM， ∵点B'是OA的中点， ∴OB'＝AB'＝2， 在△AB'M中，有勾股定理得：AM2+AB'2＝B'M2， 即， 解得：， ∴BM＝B'M，AM， ∴点M的坐标为， ∵∠MB'C'＝90°， ∴∠AB'M+∠OB'E＝90°， ∵∠EOB'＝90°， ∴∠OEB'+∠OB'E＝90°， ∴∠AB'M＝∠OEB'， 又∵∠EOB'＝∠MAB'＝90°， ∴△OB'E∽△AMB'， ∴OE：AB'＝B'E：B'M＝OB'：AM， 即， ∴OE，B'E， ∴C'E＝B'C'﹣B'E， ∵B，B'（2，0），MN是线段BB'的垂直平分线， ∴点F的坐标为， 设直线MF的表达式为：y＝ax+b，则点N的坐标为（0，b） 将点M，点F代入y＝ax+b，得：，解得：， ∴直线MF的表达式为：，点N， ∴ON， ∴C'N＝CN＝OC﹣ON，EN＝ON﹣OE， 在Rt△C'EN中，由三角形的面积公式得：S△C'ENEN•C'HC'N•C'E， 即， ∴C'H， ∴OD＝C'H， ∴B'D＝OB'+OD， 在Rt△B'C'D中，由勾股定理得：C'D， ∴点C'的坐标为， ∵点C'在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活利用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 考点5 反比例函数与一次函数的综合题 24．（2024•淄博）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集． 【分析】（1）由y＝k1x+2得D（0，2），由tan∠ACO＝2，C（﹣1，0），故一次函数解析式为y＝2x+2．过A作AM⊥x轴，由tan∠ACO2，得A（1，4），故反比例函数解析式为y． （2）过A作AN∥y轴，联立y＝2x+2和y得x2+x﹣2＝0，得B（﹣2，﹣2）．E（4，0），求出直线BE解析式为yx，得N（1，﹣1），故△ABE面积（4+1）（4+2）＝15． （3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2，即2x+2． 【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2）， ∵tan∠ACO＝2， ∴2， ∴C（﹣1，0）， 代入y＝k1x+2得k1＝2， ∴一次函数解析式为y＝2x+2． 过A作AM⊥x轴，如图1． ∴tan∠ACO2， ∵AM＝4， ∴CM＝2， ∴OM＝1， ∴A（1，4）， 代入y得k2＝4， ∴反比例函数解析式为y． （2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N． 联立y＝2x+2和y得x2+x﹣2＝0， ∴x＝﹣2或1， ∴B（﹣2，﹣2）． ∴BD2， ∴DE＝DB＝2， ∴OE4， ∴E（4，0）， 设直线BE解析式为y＝mx+n， ∴， ∴m，n， ∴直线BE解析式为yx， ∴N（1，﹣1）， ∴△ABE面积（4+1）（4+2）＝15． （3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2，即2x+2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题关键． 25．（2024•泰安）直线y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于点A（﹣2，m），B（n，﹣1），与y轴交于点C． （1）求直线y1的表达式； （2）若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围； （3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积． 【分析】（1）分别将点A（﹣2，m）、点B（n，﹣1）代入 中，求出m、n的值，再分别代入 y1＝kx+b中，即可得出答案； （2）数形结合即可得出答案； （3）把y＝3代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】解：（1）分别将点A（﹣2，m）、点B（n，﹣1）代入 中， 即﹣2m＝﹣8，﹣n＝﹣8， 解得：m＝4，n＝8， ∴A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（8，﹣1）， 把A点坐标（﹣2，4），B点坐标（8，﹣1）分别代入 y1＝kx+b， 即 ∴一次函数表达式为 ． （2）由图象可知， 当y1＞y2时，x＜﹣2或0＜x＜8． （3）把y＝3时代入中， 得 ， ∴D点坐标为 ， ， ∴． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． 26．（2024•东营）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P大坐标为（m，）利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝1×3＝﹣3×a， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为y， 一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ，解得， 一次函数解析式为y＝x+2； （2）由图象可知，不等式mx+n的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2） ∴S△OBD1， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4， 设点P大坐标为（m，）， ∴4， 解得m， ∴点P（，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 27．（2024•济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标； （3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，可得△EHB≌△BFA（AAS），则设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，得到点E（6﹣2n，4n﹣2），根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6， ∴A（2，6）， 将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12， ∴反比例函数表达式为 ； （2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m）， 由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12， 解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去）， ∴B（1，3）； （3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H， 过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°， ∴∠HEB+∠EBH＝90°， ∵点A绕点B顺时针旋转 90°， ∴∠ABE＝90°，BE＝BA， ∴∠EBH+∠ABF＝90° ∴∠BEH＝∠ABF， ∴△EHB≌△BFA（AAS）， 设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n， ∴点E（6﹣2n，4n﹣2）， ∵点E在反比例函数图象上， ∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12， 解得 ，n2＝2（舍去）． ∴点E（3，4）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． 28．（2024•山东）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y部分自变量与函数值的对应关系： x a 1 2x+b a 1 　 　　 　 7 （1）求a、b的值，并补全表格； （2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y的图象上方时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据表格信息建立方程组求解a，b的值，再求解k的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案． 【解答】解：（1）当时，2x+b＝a，即﹣7+b＝a， 当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1， ∴， 解得：， ∴一次函数为y＝2x+5， 当x＝1时，y＝7， ∵当x＝1时，，即k＝7， ∴反比例函数为：， 当时，， 当y＝1时，x＝a＝﹣2， 当x＝﹣2时，， 补全表格如下： x ﹣2 1 2x+b ﹣2 1 7 ﹣2 7 故答案为：7；﹣2；； （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，（1，7）， ∴当y＝2x+b的图象在的图象上方时，x的取值范围为或x＞1； 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质． 29．（2024•青岛）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn． 记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn． （1）当k＝2时，点B1的坐标为 　 　， S1+S2＝　 　， S1+S2+S3＝　 　， S1+S2+S3+⋯+Sn＝　 　（用含n的代数式表示）； （2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝　 （用含n的代数式表示）． 【分析】（1）当k＝2时，可得到反比例函数解析式，从而求得图象上各点坐标，能用坐标表示各个三角形的面积，利用各三角形面积相加时，能消去相邻两数的方法，从而得到结果； （2）k＝3时，得到函数解析式，类比第（1）题的方法，得到结果． 【解答】解：（1）当k＝2时，y， 当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1， ∴A1（1，2），A2（2，1）， ∴B1H1＝1， ∴B1＝（1，1）， 同理： ，， ∴， ， ， …… ， ∴； ， …… S1+S2+S3+⋯+Sn； 故答案为：（1，1），，，； （2）当k＝3时，y， ∴， ∴S1+S2+S3+……+Sn． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，以及比例系数k的几何意义，关键是求前n个三角形的面积之和时，能根据互为相反数的和为零，观察出相邻两项能互相消去，从而简化运算． 30．（2024•潍坊）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求△OPQ的面积． 【分析】（1）利用正比例函数求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （2）分别求出P、Q的坐标，得到PQ的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【解答】解：（1）把代入得，， ∴m＝﹣3， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）把代入得，， ∴， ∵PQ∥y轴， ∴点Q的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． 31．（2024•烟台）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及△BCG的面积． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作BG⊥y轴，CH⊥y轴，正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．证明△GBE∽△HCE后利用相似比得到点B（3a，），则C（﹣2a，），根据一次函数图象上点的坐标特征列出方程组求出a、n，得到E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），依据S△BCG＝S△BDG+S△CDG计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（，a）在直线y＝x的图象上， ∴A（，）， ∵点A（，）在反比例函数y的图象上， ∴k＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n（n＞0）． 如图，作BQ⊥y轴，CH⊥y轴， ∴BQ∥CH， ∴△QBE∽△HCE， ∵BE：CE＝3：2， ∴， 设点B（3m，），则C（﹣2m，）， ∵点B、C在直线y＝x﹣n的图象上， ， 解得， ∴直线BC解析式为y＝x﹣1， ∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称， ∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3）， ∴GD＝4， ∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG10． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数基础知识&一次函数&反比例函数 考点1 平面坐标系+函数的基础知识 1．（2024•潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　 　． ①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交． 2．（2024•滨州）若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 　 　． 3．（2024•山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 　 　． 4．（2024•烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 考点2 一次函数的图象与性质 6．（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为（，0 ），以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；…按照这样的规律进行下去，点A2024的横坐标是 　 ． 7．（2024•日照）已知一次函数y1＝ax（a≠0）和y2x+1，当x≤1时，函数y2的图象在函数y1的图象上方，则a的取值范围为 　 　． 考点3 一次函数的实际应用 8．（2024•东营）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm，当所排物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 　 　cm． 9．（2024•济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量 多 　 　kw•h． 10．（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．（2024•威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（　　） A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟 12．（2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 13．（2024•青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 14．（2024•济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 15．（2024•东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元． （1）求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 16．（2024•德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． （1）两种棋的单价分别是多少？ （2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 考点4 反比例函数的图象与性质 17．（2024•济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 18．（2024•滨州）点M（x1，y1）和点N（x2，y2）在反比例函数y为常数）的图象上，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y1＜0＜y2 D．y1＞0＞y2 19．（2024•德州）如图，点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥y轴，若AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．6 20．（2024•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 　 　． 21．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D．2 22．（2024•淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝　 　． 23．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y（k≠0）的图象上，则k＝　 　． 考点5 反比例函数与一次函数的综合题 24．（2024•淄博）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集． 25．（2024•泰安）直线y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于点A（﹣2，m），B（n，﹣1），与y轴交于点C． （1）求直线y1的表达式； （2）若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围； （3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积． 26．（2024•东营）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 27．（2024•济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标； （3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 28．（2024•山东）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y部分自变量与函数值的对应关系： x a 1 2x+b a 1 　 　　 　 7 （1）求a、b的值，并补全表格； （2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y的图象上方时，直接写出x的取值范围． 29．（2024•青岛）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn． 记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn． （1）当k＝2时，点B1的坐标为 　 　， S1+S2＝　 　， S1+S2+S3＝　 　， S1+S2+S3+⋯+Sn＝　 　（用含n的代数式表示）； （2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝　 　（用含n的代数式表示）． 30．（2024•潍坊）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求△OPQ的面积． 31．（2024•烟台）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及△BCG的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$