11.3多边形及其内角和 课件 2024—2025学年人教版数学八上册

11.3 多边形及其内角和 第十一章 三角形 知识点 多边形及其相关概念 知1－讲 感悟新知 1 1. 多边形的定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 如果一个多边形由n 条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形. 知1－讲 感悟新知 特别解读 多边形的三个必要条件： 1.线段在“同一平面内”； 2.线段“不在同一直线上”且条数不少于3； 3. 首尾顺次相接. 知1－讲 感悟新知 2. 相关概念 (1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. (2)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. (3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 知1－讲 感悟新知 3. 凸多边形 画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形. 本节只讨论凸多边形. 知1－讲 感悟新知 4. 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 特别解读 正多边形必备的两个条件： (1) 各个角都相等； (2) 各条边都相等. 说明:若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形. 感悟新知 知1－练 下列说法中，正确的有( ) ①三角形是边数最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③ n 边形有n 条边、n 个顶点、n 个内角和n 个外角； ④六边形从一个顶点出发可以画3 条对角线，所有的对角线共有9 条. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 例 1 解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析. B 7 感悟新知 知1－练 解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，不正确；③ n 边形有n条边、n 个顶点、n 个内角和2n 个外角，不正确；④根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个顶点出发可以画3 条对角线，所有的对角线共有9 条，正确. 感悟新知 知1－练 知识归纳：从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n 边形分为(n－2)个三角形，n 边形一共有 条对角线. 感悟新知 知1－练 1-1. 如图， 下列标注的角中是五边形ABCDE 的外角的是( ) A. ∠ 1 B. ∠ 2 C. ∠ 3 D. ∠ 4 C 感悟新知 知1－练 1-2. 从一个多边形的一个顶点可引2 022 条对角线，则这个多边形的边数是( ) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 D 知识点 多边形的内角和 知2－讲 感悟新知 2 1. 定理 n 边形内角和等于(n－2)×180°(n ≥ 3). 2. 多边形内角和公式的常见应用 (1)已知多边形的边数，求内角和； (2)已知多边形的内角和，求边数； (3)求正n 边形每个内角的度数， 其公式为 ； (4)已知n 边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数. 知2－讲 感悟新知 特别解读 1.由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍. 2.多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° . 感悟新知 知2－练 如图11.3-1，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与边 DE 平行，求∠ BCA 的度数. 例2 解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数. 感悟新知 知2－练 解：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠ BCD= ∠ D= 180°× =108° . ∵ AC ∥ DE，∴∠ ACD+ ∠ D=180° . ∴∠ ACD=180°－108° =72° . ∴∠ BCA= ∠ BCD－∠ ACD=108°－72° =36° . 感悟新知 知2－练 40° 2-1. [中考· 邵阳] 如图， 在四边形ABCD中， A D ⊥ A B ，∠C=110°，它的一个外角∠ ADE=60°，则∠ B 的大小是________. 感悟新知 知2－练 根据下列条件求多边形的边数： (1)多边形的内角和是1 620°； 例 3 解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解. 解：设多边形的边数为n，根据题意得： (n－2)·180=1 620， 解得n=11. 故多边形的边数为11. 已知内角和，设出边数n，利用 内角和公式列出方程求边数n 感悟新知 知2－练 (2)正多边形的每个内角均为120°. 解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解. 解：(n－2)·180=120n， 解得n=6. 故正多边形的边数为6. 感悟新知 知2－练 3-1. 已知n 边形的内角和θ =(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ 也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n. 若不对，请说明理由. 感悟新知 知2－练 解：甲的说法对，乙的说法不对． ∵n边形的内角和为180°的正整数倍， 360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5， ∴甲的说法对，乙的说法不对． 360°÷180°＋2＝2＋2＝4， ∴甲同学说的边数n是4. 感悟新知 知2－练 (2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法求出x 的值. 解：依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°.解得x＝2. 知识点 多边形的外角和 知3－讲 感悟新知 3 1. 定理 多边形的外角和等于360° . 多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的，n边形的外角和等于n×180°－(n－2)×180° =360° . 特别解读 1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. 2.多边形的外角和恒等于360°，与边数无关. 知3－讲 感悟新知 2. 常见应用 (1)已知外角度数求正多边形的边数； (2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为 . 感悟新知 知3－练 根据下列条件解决问题： (1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数； 解题秘方：根据多边形的外角和定理计算. 解：设该多边形的边数为n. 根据多边形的外角和为360°，得n×72°=360°，解得n=5．∴该多边形的边数为5. 例4 感悟新知 知3－练 (2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数. 解题秘方：根据多边形的外角和定理计算. 解：∵多边形的外角和为360°， ∴ 360°÷30°=12. 故这个正多边形的边数为12. 感悟新知 知3－练 4-1. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠ A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ______°. 300 课堂小结 多边形及其内角和 多边形 定义 正多边形 内角 内角和 对角线 外角 外角和 $$