第3章 圆锥曲线与方程章末检测卷-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

第3章 圆锥曲线与方程章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 2．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 4．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，且，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，点在以为直径的圆上，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 7．已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 8．设为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点．若的面积是的面积的3倍，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有三个正确选项，每对一个得2分。 9．已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 10．已知椭圆：与双曲线：（），下列关于两曲线的说法错误的是（    ） A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 11．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．的离心率为 C．点到轴的距离为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为 . 13．设A，B是焦点在x轴上椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足，则m的取值范围为 ． 14．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 16．已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 17．已知椭圆E：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：被椭圆E所截得的线段为AB，求线段AB的中点M的坐标． 18．已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 19．已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． (1)若到抛物线准线的距离为，求的值； (2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； (3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆锥曲线与方程章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 2．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】抛物线，准线，, 由抛物线的定义可知，解得. 故选：A. 3．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：； 当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：. 综上所述，双曲线的方程为或. 故选：D 4．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，且，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 则，解得， 又点是抛物线上位于第一象限的点，则，所以， 所以直线的斜率为. 故选：A 5．已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，点在以为直径的圆上，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由易知，点在以为直径的圆上， 又在以为直径的圆上，则，且，， 可知，所以， 结合可得，， 解得， 故选：B. 6．已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 【答案】C 【详解】设，直线的斜率为，则直线的方程为， 联立， 则①， ② 因为，则③， ①③联立解得，代入②得， 则直线的方程为或， 故答案为：C 7．已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 故选：C 8．设为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点．若的面积是的面积的3倍，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】 由双曲线的对称性，不妨设、分别在第一、四象限，设， 其中，．由题意得，直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为，易知． 联立抛物线方程与直线方程，得整理，得， 则，．由的面积是的面积的3倍， 得，则，所以，，则， 所以，解得（负值已舍去），所以． 由与抛物线的定义可知， 所以．根据的几何意义可知． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有三个正确选项，每对一个得2分。 9．已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．挞物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10．已知椭圆：与双曲线：（），下列关于两曲线的说法错误的是（    ） A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 【答案】AB 【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 离心率为， 当时，，，双曲线的焦点在轴上， 其实轴长为，虚轴长为，焦距为， 离心率为． 故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等， 与的焦距相等，离心率不相等．故A，B错误；C，D正确. 故选：AB. 11．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．的离心率为 C．点到轴的距离为 D． 【答案】ACD 【详解】如图，设，，延长交于点.    由题意知，为的中点，则为的中点， 又，所以是等边三角形， 则化简得即 在中，由余弦定理得， 所以，即. 因为，所以，，所以，，故B错误. 的面积为，故A正确. 设点到轴的距离为，所以，则，故C正确. 因为是的平分线，所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】双曲线，渐近线与轴正半轴所夹的锐角为， 则，有，解得， 所以双曲线的离心率. 双曲线的一条渐近线方程为． 设渐近线与轴正半轴所夹的锐角为，则，故， 所以离心率． 故答案为： 13．设A，B是焦点在x轴上椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由于椭圆C：的焦点在x轴上，所以，如图： 当位于短轴的端点时，取得最大， 所以要使C上存在点M满足， ，， 解得， 故答案为： 14．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 【答案】8 【详解】由题意知，直线的斜率都存在且不为 0，， 设， 则直线的斜率为，联立方程得， 消去得，设， 则． 所以 同理，用替换可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8． 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 16．已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故. （2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：. 如图：    因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即， 代入得：，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以或. 当时，由，所以切点； 当时，由，所以切点. 所以 17．已知椭圆E：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：被椭圆E所截得的线段为AB，求线段AB的中点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，， ∴，， 所以， 所以椭圆方程为． （2）由题意可得消去x，得， ， 设，，，则，是方程的根，即， 所以，又，所以， 综上 18．已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， (1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； (2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析；定点坐标 【详解】（1） 当时，， 设， ，消去可得， ， ， 由中点坐标公式可得，， 又，解得，符合题意； （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则， 因为点为椭圆上顶点，所以， 所以，则， 所以， 当直线的斜率存在时，直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得， ， ， 则， 将韦达定理代入上式并化简可得， 即，舍，所以， 所以直线，此时直线过定点， 综合以上可知直线过定点. 19．已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． (1)若到抛物线准线的距离为，求的值； (2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； (3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为， 则点的横坐标为，则，解得； （2）当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为， 由题意可得，解得， 所以，则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； （3）如图，    设，则， 故直线的方程为，令，可得， 即， 则，依题意，恒成立， 又，则最小值为， 即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$