25.1 比例线段（教学课件）数学冀教版九年级上册

25.1 比例线段 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十五章 图形的相似 学习目标 1.理解并掌握线段的比、成比例线段的概念和相关组成元素. 2.理解并能灵活运用比例的基本性质解决问题. 　 导入新课 Q1：两组图中A、B之间有何关系？ A B 【分析】形状相同、大小相等——全等 　 导入新课 Q2：两组图中A、B之间有何关系？ A B 【分析】形状相同、但是大小不等 　 导入新课 Q3：怎样通过具体数值描述出它们的大小关系呢？（以冰墩墩为例） A B 在冰墩墩A上取两点C、D，连接CD，测量其长度，记为a 在冰墩墩B上取相应的两点C1、D1，连接C1D1，测量其长度，记为b C D C1 D1 两个冰墩墩图形大小的比，即CD：C1D1，即a：b， 因此，要研究形状相同、大小不同的图形，要先研究对应线段（长度）的比 讲授新课 知识点一 线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n；那么这两条线段的比就是两条线段的长度比. 其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项. 讲授新课 五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相同，AB=5cm，A’B’=3cm. 请问：线段AB与线段A’B’的比是多少？ 注意： 1.线段的比是一个正数，无单位; 2.线段的比与单位无关; 3.线段的比要统一单位长度. ◎这个比值刻画了两个五边形大小关系 讲授新课 两条线段长度的比，叫做两条线段的比 两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项 【两条线段的比具有顺序性，要明确前项与后项】 讲授新课 典例精析 【例1】已知AB长为1dm，CD长为2cm，则AB：CD=________. 【分析】 ∵AB=1dm=10cm ∴AB：CD=10：2=5：1 讲授新课 练一练 1、如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取0C=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（ ） A.：2 B. 1： C. ： D. ：2 D 【分析】 解：连接AC， 设AO=x，则BO=x，CO=x， 故AC=AP=x, ∴线段AP与AB的比是：x：2x=：2． 讲授新课 2、已知教室黑板的长 a = 3.2 m，宽 b = 120 cm ，求 a：b。 ∴a ：b = 320 ：120 = 8 ：3 或： ∵a=3.2m=320cm 讲授新课 知识点二 成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即： 那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 讲授新课 1.a,b,c,d叫作组成比例的项. 2.a, d叫作比例的外项. 3.b,c叫作比例的内项. 注意：1.四个值 2.按顺序 a : b = c : 比例内项 比例外项 比例是指四条线段之间的一种关系，它们有顺序要求. a : b = c : d 比例内项 比例外项 讲授新课 典例精析 【例2】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； ∴　线段a、b、c、d不是成比例线段. 解 （1）　∵ ，　 ， ∴　 （2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ . 讲授新课 （2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ . （2）　∵ ，　 ， ∴　 讲授新课 练一练 1、下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1cm,2cm,3cm,4cm B．1cm,2cm,20cm,40cm C．4cm,2cm,5cm,3cm D．5cm,10cm,15cm,20cm 【分析】 A．1×4≠2×3，∴四条线段不成比例； B．1×40=2×20，∴四条线段成比例； C．排序：2cm,3cm,4cm,5cm，2×5≠3×4，∴四条线段不成比例； D．5×20≠10×15，∴四条线段不成比例． B 讲授新课 2、线段a=2cm，b=3cm，c=lcm，那么a、b、c的第四比例项d=________. 3、线段a=6cm，b=2cm，则a、b、a＋b的第四比例项是________cm. 【分析5-1】 ∵=， ∴=， ∴d=1.5cm 【分析5-2】 设第四比例项为d ∵=， ∴=， ∴d=cm 【注意】单位不能漏 1.5cm 讲授新课 知识点三 比例的性质 如果a,b,c,d四个数成比例，即 ，那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？（提示：你可以列举几组比例线段来验证一下。） 讲授新课 由ad=bc,得出 是有条件的, 即a,b,c,d都不等于0。 解： 左 右 右 左 右 左 左 右 你可以得到别的比例式吗？ 讲授新课 1.如果 ，那么ad＝bc. 2.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0),那么 . 两外项之积=两内项之积。 左 右 右 左 交叉相乘积相等 右 左 左 右 比例的基本性质 讲授新课 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即 (或 a:b=b:c)，那么线段b叫线段a，c的比例中项。。 特别地， 三种不同形式： a：b=b：c b2=ac 讲授新课 思考：你发现了什么？ 探究等比性质，先独立完成，再与同伴交流 讲授新课 等比性质 讲授新课 典例精析 【例3】若a=4cm，b=9cm，则线段a,b的比例中项是________cm. 【分析】 设比例中项为m ∵ab=m2， ∴(4cm)×(9cm)=m2， ∵m>0 ∴m=6cm 6 讲授新课 【例4】已知三个数3、6、x，要使其中一个数是其他两数的比例中项，则x的取值是____________________________． 【分析】比例中项指代不明，需分类讨论 ①设3为比例中项，则6x=32，解得：x=； ②设6为比例中项，则3x=62，解得：x=12； ③设x为比例中项，则3×6=x2，解得：x=； 综上，x=或x=12或x= x=或x=12或x= 讲授新课 练一练 1、若a：b=3：4，b：c=1：2，则a：c=________. 【分析】 ∵a：b=3：4，b：c=1：2=4：8， ∴a：b：c=3：4：8， ∴a：c=3：8 讲授新课 2、已知=，那么=________. 【分析】 ∵=， ∴-1=-1，即=-， ∴= 讲授新课 3、已知a：b：c=9：11：14，且a+b+c=68，则3a-2b+c=________. 【分析】 ∵a：b：c=9：11：14，且a+b+c=68， ∴设a=9k，b=11k，c=14k， ∴9k+11k+14k=68，解得：k=2， ∴a=18，b=22，c=28， ∴3a-2b+c=38 讲授新课 4、已知===，且b+d+f≠0，则=________. 【分析】 ∵===，且b+d+f≠0， ∴根据等比定理：= 讲授新课 知识点四 黄金分割 ● C B A 解析：①由比例式可得AC=AB·BC,即当图中的较长线段AC是最长线段AB和最短线段BC的比例中项时，点C为线段AB的黄金分割点. ● ● 讲授新课 解析：②若设AB为1，AC为x,则x是1和(1-x)的比例中项.由前边“巩固练习”可知，x= . ● C B A ● ● ③线段AB有两个黄金分割点，一个靠近端点A,一个靠近端点B. 讲授新课 典例精析 【例5】已知点P是线段AB的黄金分割点（AP>PB），AB=6，那么AP的长是____________cm. 【分析】 ∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>PB） ∴AP=AB=×6=3-3 3-3 讲授新课 练一练 1、已知点P是线段AB的黄金分割点（AP<PB），AB=6，那么AP的长是____________cm. 【分析】 ∵点P是线段AB的黄金分割点（AP<PB） ∴AP=AB=×6=9-3 9-3 讲授新课 2、已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=6，那么AP的长是____________________cm. 【分析】 AP＞PB，AP=3-3 AP<PB，AP=9-3 综上，AP=3-3或AP=9-3 3-3或9-3 讲授新课 3、如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB=AD=CD=2，且BD<CD，则AC的长度是________． 【分析】 如图，过A作AE⊥BD于E ∵D是边BC的“黄金分割”点，且BD<DC，CD=2 ∴BD=×CD=-1 ∵AE⊥BD，AB=AD ∴BE=DE=BD= ∴CE=CD+DE=2+=，AE2=AB2-BE2=22-()2= 在Rt△ACE中，由勾股定理得： AC= ==+1 +1 当堂检测 、 2．已知 ，那么 各等于多少？ 1．已知线段 a、b、c 满足关系式 ， 且 b ＝ 4，那么 ac ＝______． 16 当堂检测 3.下列各组数中一定成比例的是( ) A. 2，3，4，5 B. -1，2，-2，4 C. -2，1，2，0 D. a，2b，c，2d B 4. 当堂检测 解：根据题意可知， ， AB = 15， AC = 10，BD = 6. 则 AD = AB - BD =15 - 6 = 9. 则 5.已知 ，AB = 15，AC = 10，BD = 6．求 AE． A B C D E 当堂检测 6．如果，那么 ． 7．已知，若，则 ． 【详解】解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：12． 当堂检测 8．若，则的值为 ． 【详解】设=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0， 当a+b+c=0时，即a+b=-c，∴k===-1，∴==k3=-1， 当a+b+c≠0时，则2-k=0，解得：k=2，∴==k3=8， 故答案为：-1或8 当堂检测 9．＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第 象限． 【详解】当a+b+c=0时，k===-1，∴直线y＝﹣x+1经过第一、二、四象限； 当a+b+c≠0时，则2-k=0，解得：k=2，∴直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限， 所以关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限． 故答案为一、四． 当堂检测 10．已知线段a、b、c，且． （1）求的值；（2）若线段a、b、c满足，求a﹣b+c的值． 【详解】解： （1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，； （2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k， ∵a+b+c＝45，∴4k+5k+6k＝45，∴k＝3， ∴a＝12，b＝15，c＝18，∴a﹣b+c＝12﹣15+18＝15． 当堂检测 11．已知＝＝，求的值． 【详解】解：设＝＝＝k， 则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，三式相加得a+b+c=6k ① 用①式分别减去上述三个式子，可得出解得a＝2k，b＝k，c＝3k， 所以=＝－1． 当堂检测 12．若，求的值． 【详解】解：设， ∴，，， ∴ = =； 当堂检测 13．已知，，，是的三边，且，，求的面积． 【详解】解：设，∴，b=2k-3，， 又∵，∴，∴ ∴，，又∵， ∴，、为两条直角边 ∴，即的面积为． 课堂小结 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n；那么这两条线段的比就是两条线段的长度比。 其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。 1.线段的比 课堂小结 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即： 2.成比例线段的概念 那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 课堂小结 1.如果 ，那么ad＝bc. 2.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0),那么 . 两外项之积=两内项之积. 左 右 右 左 交叉相乘积相等 右 左 左 右 3.比例的基本性质 谢 谢~ $$