24.4 一元二次方程的应用（第3课时）（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.4 一元二次方程的应用 第3课时 几何图形问题 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十四章 一元二次方程 学习目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 　 导入新课 用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？ 设长为xcm，则宽为 解这个方程，得x1＝7，x2＝13.当x＝7cm时， 当x＝13cm时， ∴这个矩形的长为13cm. 讲授新课 知识点一 一元二次方程的应用之几何面积问题 解：设较短直角边长为 x cm，由题意，得： x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0. 解这个方程得： ∴较长直角边长为 ∴直角三角形面积＝ 一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？ 讲授新课 典例精析 【例1】一块长方形菜地的面积是150m2. 如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地. 求这个长方形菜地的长和宽. 解：设原菜地的宽是xm，则长是(x＋5)m． 根据题意，得 x(x＋5)＝150， 解这个方程，得 x1＝10， x2＝－15(不合题意，舍去). 10＋5＝15m. 答：这个长方形菜地的长是15m、宽是10m. 讲授新课 练一练 1.用一根长100cm的金属丝能否制成面积是600cm2的矩形框子？能否制成面积是800cm2的矩形框子？ 解：设金属丝折成的矩形框子的长是xcm，则宽是(50－x)cm. ①如果矩形框子的面积是600cm2，根据题意，得x(50－x)＝600， 解这个方程，得x1＝20， x2＝30. ②如果矩形框子的面积是800cm2，根据题意，得x(50－x)＝800， 此方程无解. 答：能制成面积是600cm2的矩形框子， 不能制成800cm2的矩形框子. 讲授新课 2、为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 解：设米，则米， 根据题意得，， 解得：， 答：的长为米或米． 讲授新课 3．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ 解：(1) 设矩形的边， 则边 ． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈． 讲授新课 (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (2)解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 ． 讲授新课 知识点二 一元二次方程的应用之动态几何问题 问题1 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ 30km 分析：设缉私艇从C处到B处需航行xh， 根据题意，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程． 则AB＝60xkm，BC＝75xkm． 60km/h 75km/h 讲授新课 解：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm． 根据题意，得△ABC是直角三角形，AC=30km. 于是 (60x)2＋ 302 ＝(75x)2． 解这个方程，得 x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)． 答：缉私艇从C处到B处需航行h. 讲授新课 则AP=______，PB=___________，BQ=_______，QC=____________. 问题2 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ xcm (6－x)cm 2xcm (12－2x)cm 分析：设xs后△DPQ的面积等于28cm2. SRt△DAP=_____________________，SRt△PBQ=_____________________， SRt△QCD=_____________________. xcm2 (6－x)cm2 (12－2x)cm2 A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 讲授新课 即x2－6x＋8＝0． 根据题意，得： 6×12 解:设xs后△DPQ的面积等于28cm2,则 △DAP 、△PBQ、△QCD 的面积分别为 解这个方程，得x1＝2，x2＝4． 答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2 . A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 讲授新课 动态几何问题： 1.分析动点的运行轨迹，用含未知数的代数式表示线段长度、图形面积等. 2.根据图形的相关性质找出能表示实际问题全部意义的相等关系，从而建立适当的方程解决问题. 3.对于求得的方程的解要能够根据实际意义进行检验. 选择符合实际意义的正确答案. 讲授新课 典例精析 【例2】如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ 根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² 整理，得 解得 x1= x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 讲授新课 练一练 1、《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？ 解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步. 当堂检测 1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ） A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0 80cm x x x x 50cm B 当堂检测 2.一个直角三角形的两条直角边的和为28cm，面积为96cm2．求这个直角三角形两条直角边及斜边的长. 解：设这个直角三角形的一条直角边长为xcm. 根据题意，得 . 解这个方程，得x1＝12，x2＝16． . 答：这个直角三角形的直角边长为12cm、16cm，斜边长为20cm. 当堂检测 3.如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=2cm. 点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动. 点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. A B C D P 解：设点P出发xs后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. 根据题意，得 x2=4[(7－x)2＋(2)2] 1cm/s xs 解这个方程，得x1＝6，x2＝(舍去)． 答：点P出发6s后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. 当堂检测 解：设AB长是x m. (100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=20<25 x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去) 答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m. 4、如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？ D C B A 25米 当堂检测 5.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，  然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm 5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0 解得 x1=25 x2=-10(舍去） 所以 2x=50 答：铁板的长50cm,宽为25cm. 2x x 5 5 当堂检测 6. 将一根长为24 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于26 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为 (6−x)cm . 依题意，得x2+(6−x)2=26， 整理，得 x2−6x+5=0 ， 解得 x1=1， x2=5， ∴1×4=4(cm)， 24−4=20(cm) ∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm、 20 cm. 当堂检测 (2)两个正方形的面积之和能等于17 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. (2)两个正方形的面积之和不能等于17 cm2. 理由：依题意，得x2+(6−x)2=17， 化简，得 2x2−12x+19=0 . ∵b2−4ac=(−12)2−4×2×19=−8， ∴方程无实数解. ∴两个正方形的面积之和不能等于17 cm2. 当堂检测 7．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． 解：(1)根据题意，得AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝(6－2t)cm， ∵为等腰三角形，， ∴，即， 解得：， ∴当时，△PAQ为等腰三角形. (1)当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ 当堂检测 (2)当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ (2)∵（cm2）， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为6cm2. 当堂检测 (3) 五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． (3) ∵ （cm2）， ∴ 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2. 当堂检测 (4)在Rt△APQ中，， 根据题意得：， ∴化简后得：， 解得：，， ∵，， ∴， ∴（舍去）， ∴． (4)当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 课堂小结 几何图形与一元二次方程问题 列方程依据 常见几何图形面积是等量关系. 常见类型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能化零为整，方便列方程. 一边靠墙围成的区域面积 常见分析策略 谢 谢~ x·(－x)＝91 －x＝20－7＝13(cm)(舍去)； －x＝20－13＝7(cm) (－x)cm， x1＝，x2＝(不合题意，舍去)， x＋1＝＋1＝， ××＝12(cm2)． $$