专题03 圆的方程、直线与圆（7大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题03 圆的方程、直线与圆 题型1 圆的方程 1、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）若圆的半径为2，则实数的值为（ ） A. -9 B. -8 C. 9 D. 8 2、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）以为圆心，且经过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3、（2023上·大通县·高二期中）以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 在圆外 5、（2023上·海东市·高二期中）已知的三个顶点为. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 题型2 圆与圆的位置关系 1、（2023上·海东市·高二期中）圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 2、（2023上·大通县·高二期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3、（2023上·西宁市·高二期中）（多选）若圆与圆相交，则k的取值可能为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 5 4、（2023上·西宁市·高二期中）已知圆与圆外切，则__________． 5、（2023上·大通县·高二期中）已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 题型3 圆的性质 1、（2023上·海东市·高二期中）（多选） 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为16 B. 圆截轴所得的弦长为 C. 圆与圆：相外切 D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 2、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）（多选）已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 题型4 圆的切线方程 1、（2023上·西宁市·高二期中）圆在点处的切线方程为（    ） A. B. C. D. 2、（2023上·大通县·高二期中）过点作圆的切线，则切线方程为___________． 题型1 圆的最值问题 1、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上，若P为圆C上的动点，则线段（为坐标原点）长度的最大值为______． 题型2 直线与圆的位置关系 1、（2023上·西宁市·高二期中）（多选）已知圆 ，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 2、（2023上·大通县·高二期中）（多选）已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若，则的面积为 C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为2 3、（2023上·大通县·高二期中）（多选）过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 弦AB的长度的最小值为 B. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 C. 弦AB的长度的最小值为 D. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 4、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 5、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）已知，，，，是的外接圆，直线经过点，且与相切于点． （1）求的标准方程； （2）求直线的方程以及线段的长． 6、（2023上·大通县·高二期中） 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 题型3 圆的综合问题 1、（2023上·西宁市·高二期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的方程、直线与圆 题型1 圆的方程 1、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）若圆的半径为2，则实数的值为（ ） A. -9 B. -8 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：D. 2、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）以为圆心，且经过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的定义及标准方程计算即可. 【详解】由题意知，圆心是，圆的半径， 所以圆的方程为． 故选：B． 3、（2023上·大通县·高二期中）以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 则两条平行线之间距离，即圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 4、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 在圆外 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 故选：ABC. 5、（2023上·海东市·高二期中）已知的三个顶点为. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）10 （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据两点间距离求,再应用点到直线距离求出高,最后应用面积公式即可; （2）根据外心是三边垂直平分线的交点得出外接圆圆心,再应用两点间距离求出半径,最后根据圆的标准方程求解. 【小问1详解】 ， 直线的方程为， 点到直线距离为， 因此面积 【小问2详解】 线段中点为，因此其中垂线的方程为 直线的斜率为，线段中点为，则中垂线方程， 联立求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 题型2 圆与圆的位置关系 1、（2023上·海东市·高二期中）圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定两圆的圆心与半径，再求出圆心距，即可判断. 【详解】解：由得圆心坐标为，半径， 由得圆心坐标为，半径， ∴，，，∴，即两圆相交． 故选：B． 2、（2023上·大通县·高二期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 3、（2023上·西宁市·高二期中）（多选）若圆与圆相交，则k的取值可能为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 5 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的关系求解即可. 【详解】两圆的圆心，圆心距， 半径分别为， 因为圆M与圆N相交， 所以，解得或． 故选：AC． 4、（2023上·西宁市·高二期中）已知圆与圆外切，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两圆外切，两圆心距等于两圆半径之和即可求出结果． 【详解】圆，圆心坐标为，半径为2 圆，圆心坐标，半径为, 由两圆外切，两圆心距等于两圆半径之和，即， 所以． 故答案为：． 5、（2023上·大通县·高二期中）已知圆：，圆：. （1）证明：圆与圆相交； （2）若圆与圆相交于A，B两点，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论. （2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为2， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ∴圆和圆的圆心之间的距离为， 由，可知：圆和圆相交，得证. 【小问2详解】 由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为， 圆的圆心到直线AB的距离为， ∴. 题型3 圆的性质 1、（2023上·海东市·高二期中）（多选） 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为16 B. 圆截轴所得的弦长为 C. 圆与圆：相外切 D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【详解】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 2、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）（多选）已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误； 对于B，若，则圆， 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确； 对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆外切，则，即，解得，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为， 圆心到的距离，解得， 所以的方程是，故D正确. 故选：BCD. 题型4 圆的切线方程 1、（2023上·西宁市·高二期中）圆在点处的切线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程， 易知圆心，半径，所以到的距离为， 解之得，即切线. 故选：A 2、（2023上·大通县·高二期中）过点作圆的切线，则切线方程为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程. 【详解】①直线的斜率不存在时满足， ②直线斜率存在时，设切线方程为，则， 所以切线方程为，即． 故答案为：或. 题型1 圆的最值问题 1、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上，若P为圆C上的动点，则线段（为坐标原点）长度的最大值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件求出圆的方程，然后利用，求出最大值. 【详解】线段中点的坐标为，， 所以线段的中垂线的斜率为， 所以线段的中垂线的方程为， 又圆心在直线上， 所以解得 所以圆心为， ， ． 故答案为：. 题型2 直线与圆的位置关系 1、（2023上·西宁市·高二期中）（多选）已知圆 ，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解. 【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确. 对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为 ，故B选项错误. 对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误. 对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确. 故选：AD 2、（2023上·大通县·高二期中）（多选）已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若，则的面积为 C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，直线变形后求出所过定点； B选项，求出，进而由直线垂直关系得到，得到，从而求出到的距离和，求出面积； C选项，求出到的距离的最大值，从而由垂径定理得到的最小值； D选项，表达出面积为，利用基本不等式求出最大值. 【详解】A选项，直线变形为， 所以直线过定点，A选项正确； B选项，易知道，若直线，则，解得， 此时直线， 到的距离，则， 故的面积为，B选项正确； C选项，由A选项知，直线过定点， 所以到距离的最大值为， 由于，故此时取得最小值， 最小值为，C选项错误； D选项，设到距离为， 则面积为， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确． 故选：ABD． 3、（2023上·大通县·高二期中）（多选）过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 弦AB的长度的最小值为 B. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 C. 弦AB的长度的最小值为 D. 当弦AB最短时弦所在的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆的几何性质、最短弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，所以在圆内，， 当AB⊥PC时，弦AB最短， 最短弦长，A选项错误，C选项正确 ，所以当最短时，， 此时直线的方程为，B选项错误，D选项正确. 故选：CD 4、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线的斜率，代入点斜式可得直线方程；（2）设出圆的圆心和半径，圆过点和弦长公式可联立方程解方程可得. 【小问1详解】 由已知，得解得两直线交点为， 设直线的斜率为，因为直线与垂直，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 设圆的标准方程为， 则由题意，得 解得或（舍去）， 所以，所以圆的标准方程为：. 5、（2023上·海南州，共和县·高二联考期中）已知，，，，是的外接圆，直线经过点，且与相切于点． （1）求的标准方程； （2）求直线的方程以及线段的长． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为,代入三点的坐标求解即可； （2）由题意可得心到直线的距离，分类讨论直线的斜率不存在与否可得直线的的方程，利用勾股定理可求得线段的长，从而得解. 【小问1详解】 依题意，设圆的一般方程为， 因为圆过，，三点， 所以，解得， 所以圆的一般式方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可知圆心为，半径， 因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线为，经过，显然不满足题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 因为直线与相切于点， 所以到直线的距离等于，即，解得， 当时，直线为，即， 当时，直线为，即， 又，所以. 6、（2023上·大通县·高二期中） 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】（1）直线与相交 （2）3 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，与半径比较可得； （2）设，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，由求得值，注意判别式大于0． 【小问1详解】 当时，可化为：， 表示圆心为，半径的圆，设到的距离为，则， 直线与相交. 【小问2详解】 设，由， 直线与坐标轴的交点为，，这两点不可能同时在圆上，因此斜率都存在，所以，即， 由消元，得. 经检验时，. 题型3 圆的综合问题 1、（2023上·西宁市·高二期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可； （2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 选①：因为圆A与直线相切， 所以圆A的半径为， 因此圆A的方程为； 选②：因为圆A与圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为， 所以圆A的方程为. 【小问2详解】 两种选择圆A的方程都是， 当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为， 把代入中，得， 显然，符合题意， 当过点的动直线l存在斜率时，设为， 直线方程为， 圆心到该直线的距离为：， 因为，所以有， 即方程为： 综上所述：直线l的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$