专题训练10：一元二次方程根的分布问题精练38题-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

专题训练10 一元二次方程根的分布问题 一、单选题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 5．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知对于实数或：关于的方程有实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 8．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 二、多选题 9．（21-22高一上·江苏南通·阶段练习）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．关于的不等式的解集可以是 B．关于的不等式的解集可以是或 C．函数的图象与轴有一个交点时，可能大于 D．“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 11．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 12．（22-23高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 13．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 三、填空题 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 15．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 . 16．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 17．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 18．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 19．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 . 20．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 21．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 22．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 23．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 24．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知方程，且方程有两个大于1的实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)若存在实数k，使，求实数x的取值集合. 25．（22-23高一上·全国·单元测试）已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 26．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程有实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若两命题一真一假，求的取值范围； 27．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 28．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 29．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 30．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围； (2)方程有两个不相等的实数根， ①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若均大于零，试求k的取值范围． 31．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数. (1)有两根，且，求实数a的取值范围； (2)有两根，且，求实数a的取值范围. 32．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的方程有实数根，且两根的平方和比两根之积多84． (1)求的值； (2)若关于的方程只有一个实数解，求的值． 33．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 34．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 35．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的解集为． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 36．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 37．（24-25高一上·江西·阶段练习）给出下列两个结论：①关于x的方程无实数根；②存在，使． (1)若结论①正确，求m的取值范围； (2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围． 38．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练10 一元二次方程根的分布问题 一、单选题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案. 【详解】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 3．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 4．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得， 故选：B 5．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 6．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知对于实数或：关于的方程有实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】：关于的方程有实数根， 则，解得或. 因为所表示的集合是所表示的集合的真子集， ∴是成立的必要不充分条件， 故选：B． 7．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意可先求得关于的方程没有一个负根时，的取值范围，即可得出满足题意的的范围. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得， 综上可知， 即关于的方程没有一个负根时，， 所以至少有一个负根的充要条件是. 故选：B 8．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可. 【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为， 则等价于函数有两个不相等且大于0的零点， 所以或， 故选：D 二、多选题 9．（21-22高一上·江苏南通·阶段练习）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐一检验各个选项，从而得出结论． 【详解】解：设，则二次函数的图象的对称轴为． 当时，方程即，求得，满足方程有正根， 但由方程有正数根，可得，即， 故是方程有正数根的充分不必要条件，故A满足条件； 当时，方程即，求得，不满足方程有正实数根， 故不是方程有正数根的充分条件，故排除B． 当时，方程即，求得，满足方程有正根， 但由方程有正数根，可得，即， 故方程有正数根的充分不必要条件，故C满足条件； 当时，方程即，求得，或，满足方程有正根， 但由方程有正数根，可得，即， 故方程有正数根的充分不必要条件，故D满足条件， 故选：ACD． 10．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．关于的不等式的解集可以是 B．关于的不等式的解集可以是或 C．函数的图象与轴有一个交点时，可能大于 D．“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】ABC 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，由韦达定理得到，故D错误. 【详解】A选项，当时，，解集为，A正确； B选项，当时，，解得或，B正确； C选项，当时，函数的图象与轴有一个交点， 此时，C正确； D选项，由题意可得两根之积小于0，即，解得， 故“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件不是，D错误 故选：ABC 11．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断; 【详解】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得：，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得：，故D选项错误; 故选：BC. 12．（22-23高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m满足的不等式，解出m的范围，判断正误. 【详解】对于A选项，时无实根，A错误； 对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确； 对于C选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得； 对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D正确； 故选：BCD. 13．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC 【分析】利用一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】关于x的方程中，， 且两根和为、两根积为m. 对A，若方程有一个正根一个负根，则，解得，故A对； 对B，若方程无实根，则，解得，则其一个必要条件是，故B对； 对C，若方程有两个正根，则，解得，故C对； 对D，当时，方程可化为，显然无实数解，故D错. 故选：ABC. 三、填空题 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列式求解即得. 【详解】令，显然二次函数的图象开口向上， 而的两根一个比2大另一个比2小，则， 即，解得， 所以实数m的范围是. 故答案为： 15．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 . 【答案】或. 【分析】求出两个方程有实根时a的取值范围，求并集即可得到答案. 【详解】有实根，则， 解得或， 有实根，则， 解得或， 故实数a的取值范围是或或或. 故答案为：或. 16．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是,， 故答案为：,． 17．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 18．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得. 【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 19．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先化简，即可得到方程，再根据计算第一空，由根的判别式及韦达定理得到不等式组，即可得到第二空. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 即， 若该方程有两个相等的实数根，则，解得； 若该方程有两个不等负根，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：； 20．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据存在性命题为真，知一元二次方程有解，列出不等式即可得解. 【详解】因为，关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得， 故答案为： 四、解答题 21．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 22．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程的两根恰有一个是正数，且为整数，如果有直接写出实数的取值，如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据两根都是正整数得出判别式及根与系数关系列不等式组求解即可； （2）根据题意分析可知：，结合韦达定理分析判断. 【详解】（1）由题意得，设此方程的两实数根分别为， 由，解得， 由题意得，，即，解得. 所以实数的取值范围. （2）不存在，理由如下： 由（1）可知：，解得， 且，则可知，此时， 即同号，不合题意， 所以符合条件的k不存在. 23．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 24．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知方程，且方程有两个大于1的实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)若存在实数k，使，求实数x的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程两根的分布列出不等式组求解即可； （2）变换主元，看作关于的一次函数，利用最大值建立不等式求解即可. 【详解】（1）方程，有两个大于1的实数根， ， 由题意可得， 即，解得， 所以实数k的取值范围是 . （2）因为，视为关于k的单调递增的一次函数， 故只需， 即， 故，得实数x的取值集合为 . 25．（22-23高一上·全国·单元测试）已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，    故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象，    由图知， ， 解得．所以的取值范围是． 26．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程有实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若两命题一真一假，求的取值范围； 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意，由二次方程根与系数的关系可得关于的不等式，解可得答案； （2）根据题意，求出为真时的取值范围，据此分2种情况讨论，求出的取值范围，综合可得答案 【详解】（1）根据题意，若为真命题，即方程有两个不等的负根； 必有，解可得， 即的取值范围为； （2）根据题意，对于，命题：方程有实数根， 则有，解可得：， 若两命题一真一假， 若真假，必有，则有， 若假真，必有，则有， 综合可得：或， 故的取值范围为或． 27．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列不等式求解即可得实数的取值范围； （2）根据二次方程的根列不等式求解即可得实数的取值范围. 【详解】（1）关于关于的一元二次方程有两根， 可得，解得，且 又两根为正根，所以，，即，解得或 故实数的取值范围为； （2）由题意可知：， 若，解得，此时无实数根，满足题意； 若，解得，且， 设此时两实数根分别为，， 则由题意得，，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 28．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 【答案】10 【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可. 【详解】由题意得，，即， 因为a，， 由，得， 若，则，即，无解； 若，则，即，无解； 若，则，即，则或， 显然时，取最小值10， 若，由，得， 所以的最小值为10. 29．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意，若为真，则，解得. （2）解：若为真，，方程两根为和，                          则由题意得，所以，      当、均为假命题时，有，可得. 因此，如果、中至少有一个为真时，或. 30．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围； (2)方程有两个不相等的实数根， ①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若均大于零，试求k的取值范围． 【答案】(1) (2)①不存在，理由见解析， ② 【分析】（1）根据不等式恒成立，分类讨论，当不等式为二次不等式时转化为判别式求解； （2）①由根与系数的的关系列出方程求解；②根据两根之积大于0求解即可. 【详解】（1）由可得， 又不等式解集为R，即恒成立， 当时，原不等式为，满足题意； 当时，只需且， 解得. 综上， （2）由题意，两个不相等的实数根， 则，即，解得， 则，， ①若存在k满足条件，则， 即，解得， 不满足， 故不存在使成立. ②若均大于零，则只需， 解得或，又， 所以. 故k的取值范围为. 31．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数. (1)有两根，且，求实数a的取值范围； (2)有两根，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数两根异号可得且，解不等式即可求得实数a的取值范围； （2）由两根的分布范围可知，，，且对称轴在内，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）根据题意可知，函数开口向上, 若，所以只要， 解得； 因此可得，实数a的取值范围是； （2）依题意需满足， 解得； 即实数a的取值范围是. 32．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的方程有实数根，且两根的平方和比两根之积多84． (1)求的值； (2)若关于的方程只有一个实数解，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由判别式得的范围，再将韦达定理代入已知关系式求解方程即可； （2）分式方程有一个实数解转化为二次方程根的情况研究，注意排除使分式无意义的根. 【详解】（1）由关于的方程有实数根， 则，即. 设两个实数根为，根据题意可得， 又由韦达定理知，代入上式得， 即 解得或．由，则. （2）由（1）得，则且， 即：， 化简为．且 当， 即时，方程有唯一解，且，满足题意. 则方程只有一个实数解． 将，代入，得， 此时，原方程只有一个实数解． 将，代入，得， 此时，原方程只有一个实数解． 综上所述， 故或或． 33．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则由题意可得，求解即可得答案； （2）采用正难则反的原则再进行分类讨论即可. 【详解】（1）设， 则由题意可得，解得. （2）关于x的方程无实数根时，， 解得， 关于x的方程有两个负实数根时， ，解得， 所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时， 可得关于x的方程至少有一个正实数根，则. 34．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先分和两种情况讨论，当时又分为方程有一正根一负根、有两个负实根两种情况，即可求解 【详解】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根，由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 35．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的解集为． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，方程的两根为，利用根与系数的关系求解即可； （2）根据题意建立关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，方程的两根为， 可得， 则． （2）由题意可得 解得． 故实数的取值范围为． 36．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得； （2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解. 【详解】（1）由题意得即， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，方程有两个实数根， 可知， 于是， 由，则，则， 即要使的值为正整数，且为整数，则， 则有，化简得，则， 令，此时为整数，则满足题意． 故使得的值为整数的整数的值为. 37．（24-25高一上·江西·阶段练习）给出下列两个结论：①关于x的方程无实数根；②存在，使． (1)若结论①正确，求m的取值范围； (2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）借助根的判别式计算即可得； （2）参变分离可计算出若结论②正确时m的取值范围，结合（1）中所求即可得. 【详解】（1）若关于x的方程无实数根， 则有，即， 解得； （2）若存在，使， 由时，， 故在时有解，即有，即， 由（1）知，若结论①正确，则， 故结论①，②中恰有一个正确时，或. 38．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若关于的方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程根的情况，结合判别式与韦达定理列不等式，解不等式即可； （2）方法一：不等式可化为，变化主元，转化为关于的一次函数，结合一次函数值域可得不等式，解不等式；方法二：分情况讨论，分离参数，解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）关于的方程有两个实数根，， 则，解得， 又， 则，即， 综上所述，实数的取值范围为； （2）方法一：不等式可化为（*）， 令， 由题知对恒成立 则有， 得， 得或， 综上得的取值范围是； 方法二：不等式可化为（*）. 由题知不等式（*）对恒成立. ①当，即时，得到，使得对恒成立，所以，解得或（舍）； ②当，时，不等式（*）显然不成立，此时不符合题意； ③当，时，得到，使得对恒成立，则，解得或（舍）， 综上得的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$