第三章 函数知识归纳与题型突破（17类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

第三章 函数知识归纳与题型突破（17题型清单） 知识点1 函数的概念 1、函数的传统定义（变量观点） 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与与其对应，那么就称是的函数． 2、函数的近代定义（集合观点） 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 知识点2 函数的三要素与函数相等 1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 2、对应关系：对应关系是函数的核心，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． 3、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值．通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点3 抽象函数与复合函数 1、抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2、复合函数的定义 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 3、抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数的定义域是指的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围． （3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同． （4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围； （5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域． 知识点4 函数的三种表示方式 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值． 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式． 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系． 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大． 知识点5 函数的图象 1、函数图象的特征：既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线或离散的点． 2、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 3、函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点6 分段函数 1、分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 【概念辨析】 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点7 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点8 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 知识点9 函数的平均变化率 1、直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在． 【注意】（1）直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度；（2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2、平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间或上的平均变化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． 知识点10 函数的奇偶性 1、奇函数与偶函数的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 2、奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 知识点11 判断奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 4、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点12 函数的零点 （1）函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． （2）函数零点的意义 不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 注：(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)如果方程f(x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点).如x＝2就是函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点． 知识点13 一元二次不等式与对应函数、方程 三个“二次”之间的关系 从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的图像上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方的图像上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合． 从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的实数x的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”． 因此，利用二次函数的图像和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示： Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根(x1＜x2) 有两个相等的实数根(x1＝x2＝－) 无实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注：(1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图像、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一． (2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点． 知识点14 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 注：(1)一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y＝的图像不是连续不断的． (2)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可． (3)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0. (4)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 知识点15 二分法 （1）二分法的概念 对于图像在区间[a，b]上不间断，且满足f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值 先确定零点的初始区间(a，b)(依据是：如果函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，并且f(a)与f(b)的符号相反，则f(x)在(a，b)内存在零点)，然后多次将区间(a，b)一分为二，直至找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． 注：即用区间中点将区间(a，b)一分为二，从而得到两个区间和，其中一个区间一定包含零点．如果f＞0，f(a)＜0，我们便认为区间包含零点，如下图所示： 不断重复相似步骤，直到找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． 注：(1)我们把x＝称为区间(a，b)的中点．在这里，区间的中点是个实数，而不是点． (2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值同号)不适用．如函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． (3)二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，即使函数的零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点． 知识点16 一次函数模型 形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时，应注意： ①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况； ②一次函数的图像是一条直线． 知识点17 二次函数模型 形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题． 知识点18 分段函数模型 这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝，k≠0)、二次函数中两种及以上的综合． 知识点19 对勾函数模型 这个模型的实质是一次函数与反比例函数(形如y＝，k≠0)模型的综合． 注：解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 题型一 函数概念的辨析 例题：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【详解】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C 巩固训练 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 2．（2023高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对应关系若能构成从到的函数， 须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应， 对于①，，当时，，故不满足题意； 对于②，，当时，，故不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意； 对于④，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意． 故选：C. 题型二 判断是否为同一个函数 例题：（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用两函数的定义域与对应关系相同时是同一个函数，逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为， 两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，因为，显然与的对应关系不相同， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，因为，显然与的定义域与对应关系都相同， 所以两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，因为，显然与的对应关系不相同， 所以两函数不是同一个函数，故D错误. 故选：C. 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意. 故选：D 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列哪一组中的函数与表示同一个函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断两函数的定义域是否相同，解析式是否一致，即可得解. 【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故B错误； 对于C：的定义域为，，函数解析式不一致， 故不是同一函数，故C错误； 对于D：的定义域为，的定义域为，且， 两函数的定义域相同，函数解析式一致，故是同一函数，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】运用同一函数必须三要素相同来判断即可. 【详解】选项A：对于，其定义域为. 对于，因为恒成立，所以定义域为. 又因为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项B：的定义域是.的定义域是. 虽然自变量的符号不同，但是它们的定义域相同，对应关系（这里和都只是自变量的符号）也相同，所以和是同一个函数. 选项C：的定义域为. 当时，；当时，，，其定义域为. 与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项D：，根据根式的性质，其定义域为. ，其定义域为. 由于和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：D. 题型三 求函数的定义域 例题：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用二次根式与零指数幂的意义计算即可. 【详解】由题意可知函数解析式有意义需，解之得. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数的定义域，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，得出不等式组，解不等式组即可求得函数的定义域. 【详解】由函数的定义域得要使函数有意义，则满足， 解得或，即函数的定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 故答案为： 题型四 求函数的解析式 例题：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 巩固训练 1．（24-25高一上·天津宝坻·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求的表达式； （2）已知，求的表达式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出二次函数代入，对应系数相等即可. （2）把的右边配成的表达式，然后整体换成即可. 【详解】（1）令， 因为，所以，则． 由题意可知： 即，可得，解得， 所以； （2）因为，所以． 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 3．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 4．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 【答案】 【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 题型五 判断函数的单调性 例题：（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值； （2）定义法求函数单调性，由单调性求最值. 【详解】（1）因为点，是图象上的两点， 所以，解得. （2）设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析 (2)， 【分析】（1）由单调性定义证明即可； （2）借助（1）中结论，根据单调性得最值. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且，则 因为，所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． （2）由（1）知在上递增， 所以，. 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，. (1)当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 【答案】(1)证明见解析， (2). 【分析】（1）代入，用函数单调性定义证明，根据单调性可知的最小值在时取到；（2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解. 【详解】（1）当时，任取，且， 则 ，，，即， ，，即， 是上的增函数， 当时，取得最小值，且最小值为. （2）对任意恒成立， ，只需恒成立， 设，， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 只需即可，，解得， 实数的取值范围是. 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【答案】(1)，. (2)为上的减函数，理由见解析. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 题型六 根据函数的单调性求参数 例题：（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 巩固训练 1．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出的开口方向和对称轴，从而得到不等式，求出，结合是的真子集，确定答案. 【详解】开口向下，对称轴为， 要想在上单调递增，则， 解得， 由于是的真子集， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围 【详解】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 3．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 4．（22-23高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据增函数的定义，结合二次函数的性质，注意临界点的函数值的大小关系即可得． 【详解】由题意是递增函数，因此， 时，， 因此，解得， 故答案为：． 5．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值函数的单调性的性质进行求解即可． 【详解】的单调递增区间,， 由得， 若在,为增函数，则，解得， 故答案为：，． 题型七 求函数的最值/值域 例题：（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，则 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负求出集合，根据二次函数的性质求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】对于函数，则，解得，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求下列函数的值域 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法和二次函数的性质求值域； （2）利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】（1）令，则，， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则，， 当时，； 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为. 2．（2022高一上·全国·专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】将函数两边同时平方后化简，然后利用二次函数的性质来求值域. 【详解】函数定义域， ， 设，开口向下，对称轴为， 当时，， 当或时，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 4．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·阶段练习）定义一种新运算：，若，则函数的值域为 【答案】 【分析】根据新定义列方程求出，然后由二次函数性质可得. 【详解】由题知，解得， 则， 所以，函数的值域为. 故答案为： 6．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，其中为不超过x的最大整数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，进而得到，从而求解. 【详解】由题意，为不超过x的最大整数， 则，即， 所以函数的值域为. 故选：B. 7．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)若函数定义域为R，求a的取值范围； (2)若函数值域为，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据函数值域的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为函数定义域为R， 所以在R上恒成立， 当时，，不符合题意； 当时，要想在R上恒成立，即在R上恒成立， 只需， 所以a的取值范围为； （2）当时，，符合题意； 当时，要想函数值域为， 只需， 综上所述：a的取值范围为. 题型八 判断函数的奇偶性 例题：（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，的定义域为，，是奇函数，A不是； 对于B，的定义域为，，是偶函数，B是； 对于C，的定义域为，不是偶函数，C不是； 对于D，的定义域为，不是偶函数，D不是. 故选：B 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数， A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，， 所以函数是偶函数，B选项错误. C选项，， 所以函数是奇函数，C选项正确. D选项，， 所以函数是非奇非偶函数，D选项错误. 故选：C 2．（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 题型九 利用奇偶性求值或求参 例题：（21-22高一上·重庆璧山·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得，进而求得. 【详解】由于是定义在上的偶函数，所以， ， 所以， 不恒为，所以， 所以. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，化简可求. 【详解】因为为奇函数，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 故选：D. 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数是奇函数，则满足条件的一组值可以是 ， ． 【答案】 1（不唯一）； 0 【分析】由奇函数的性质及定义求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，得， 当时，，满足，为奇函数. 故答案为：1（不唯一）； 0 3．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)当时，若在上均单调递增，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数定义建立等量关系，得出的值. （2）均为对称函数，找到对称轴就能找打单调区间，从而得出的取值范围 【详解】（1）定义域为，为偶函数， 则满足，即， ∴ （2）为对称轴的二次函数， 在上均单调递增，则， ∴ 的对称轴，在上均单调递增， 即 ∴ 5．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上是增函数. (3). 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. （2）在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. （3）， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 题型十 利用函数奇偶性求解析式 例题：（2022高一上·河南·专题练习）已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式. 【详解】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 巩固训练 1．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】是定义域为的奇函数， 当时，，所以. 故选：A 2．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）已知奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，代入得，根据奇函数即可求解. 【详解】当，则，则， 又为奇函数，所以当时，. 故选：A. 3．（22-23高二下·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得出，结合函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式. 【详解】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，， 由可得，即， 所以，，解得，其中， 故选：A. 题型十一 利用单调性和奇偶性解不等式 例题：（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集. 【详解】由题意， 在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数， ∴，函数在单调递减， ∵， ∴当和时，， 故选：B. 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质和函数单调性相关知识直接求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以当和时，， 当和时，， 若，则或， 所以或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由偶函数和函数的单调性可得出，可得出，解之即可. 【详解】因为定义域为的偶函数在区间上严格减， 则， 所以，即或，解得或， 即所求解集为. 故答案为：. 3．（22-23高一上·陕西西安·期中）已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得函数在定义域内单调递减，用奇偶性可将关系式变形为，根据单调性就可以求出. 【详解】对任意实数，有,所以函数在上单调递减， 又因为函数为定义在上的奇函数，且，则，所以得. 故选：D 题型十二 利用单调性和奇偶性比较大小 例题：（21-22高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据函数定义域和函数为奇函数得到； （2）根据函数图象和奇偶性画出函数图象； （3）结合函数图象和单调性得到大小关系. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，故； （2）图象如下：    （3）由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 巩固训练 1．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数有，结合区间单调性即可得答案. 【详解】由偶函数知：，又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D 2．（19-20高一上·福建泉州·期中）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）内单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数为偶函数以及在[0，+∞）内单调递减即可判断函数值的大小， 【详解】解∶∵f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)在[0，+∞）内单调递减， 由，∴ 故选∶D． 题型十三 利用函数的周期性求值 例题：（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则（    ）. A． B．1 C．0 D．0.5 【答案】B 【分析】根据函数的周期性和奇偶性求得正确答案. 【详解】是周期为的奇函数，， 所以. 故选：B 巩固训练 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）设函数（）是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】利用函数的周期,将自变量的值转化为解析式要求的自变量范围内即可求得. 【详解】因函数的周期为2，故 故答案为：. 2．（20-21高一·江苏·课后作业）已知定义在R上的函数满足，且，则 ． 【答案】3 【解析】由函数满足，推得函数是以3为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解. 【详解】因为在R上的函数满足，且， 可得， 所以函数是以3为周期的周期函数， 所以. 故答案为：3． 题型十四 判断函数零点的个数 例题：（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分类求出函数零点即可. 【详解】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点. 故选：C. 巩固训练 1．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 2．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据零点的存在定理，判断区间内存在零点. 【详解】由零点存在性定理，在上至少各有一个零点，在区间上零点至少3个. 故选:.B 3．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，则的零点个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由解方程，从而求得正确答案. 【详解】令， 当时，，解得或； 当时，， 所以的零点个数为个. 故选：C 题型十五 判断函数零点所在的区间 例题：（21-22高一上·河北·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可 【详解】当时，恒成立，当时，单调递增.， 根据函数零点存在定理，的零点所在的区间是. 故选：C 巩固训练 1．（21-22高一上·云南红河·期末）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值如下表所示： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续的曲线， 且，， 所以，则函数在区间上必有零点. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象是一条连续曲线，用二分法求它在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】直接由零点存在定理即可求解. 【详解】因为函数的图象是一条连续曲线，且， 所以此时零点所在的区间是. 故选：B. 3．（21-22高一上·江西新余·期末）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（　　） A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25 【答案】B 【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根. 【详解】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可. 故选：B 4．（20-21高一上·重庆·期末）若函数的图象在R上连续不断，且满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点 B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点 C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点 D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理判断即可 【详解】因为函数的图象在R上连续不断，且满足，，， 所以由零点存在性定理可得在区间上至少有1个零点，在区间上可能有零点， 故选：C 题型十六 根据函数零点求参数范围 例题：（22-23高一·江苏·假期作业）已知函数的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象列式可求出结果. 【详解】因为二次函数图象的开口向上，对称轴，函数的两个零点都大于2， 所以，解得. 故选：C 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·假期作业）若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】分方程是否是一元二次方程两种情况讨论即可求解. 【详解】当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则， 综上：当时，方程有实数根． 所以四个数中,不符合要求的值是2． 故选：A． 2．（23-24高二上·安徽·期中）若函数的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知无解，即. 故答案为：A 3．（20-21高一上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根的判别式求解即可. 【详解】要使方程有两个不相等的实数根，只需满足，解得. 故选：A. 4．（21-22高一上·安徽合肥·期末）函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，可解得实数a的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解得. 故选：C. 题型十七 简单函数模型的实际应用 例题：（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果. （2）由函数图像的性质即可得到最大值点和最大值. 【详解】（1）解：由题意可得， 所以函数的关系式为 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时. 综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 巩固训练 1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】(1)， (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【详解】（1）由题意，， 因为时，，所以， 所以，. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 2．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）前面墙的长度为米， 总报价，其中. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 3．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费计算电费，每月用电不超过100度时，按每度元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度元计算． (1)设月用电量为度时，应交电费元，写出与的函数关系式； (2)小明家第一季度的电费情况如下： 月份 一月 二月 三月 交费金额 76元 63元 元 则小明家第一季度共用电多少度？ 【答案】(1) (2)330度 【分析】（1）由题意可知y关于 x的函数关系式为分段函数，结合题意分和两种情况求解； （2）当时，，由表可知小明家只有三月份用电小于100度，其他两个月均超过100度．将各月电费金额代入相应解析式即可求得当月用电量． 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以所求函数式为 （2）由题意：当，则；当，则； 由表可知小明家只有三月份用电小于100度，其他两个月均超过100度，则有： 一月份：，得度； 二月份：，得度； 三月份：，得度； 所以第一季度共用电：度 故小明家第一季度共用电330度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数知识归纳与题型突破（17题型清单） 知识点1 函数的概念 1、函数的传统定义（变量观点） 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与与其对应，那么就称是的函数． 2、函数的近代定义（集合观点） 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 知识点2 函数的三要素与函数相等 1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 2、对应关系：对应关系是函数的核心，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． 3、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值．通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点3 抽象函数与复合函数 1、抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2、复合函数的定义 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 3、抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数的定义域是指的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围． （3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同． （4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围； （5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域． 知识点4 函数的三种表示方式 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值． 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式． 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系． 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大． 知识点5 函数的图象 1、函数图象的特征：既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线或离散的点． 2、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 3、函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点6 分段函数 1、分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 【概念辨析】 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 2、分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 知识点7 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点8 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 知识点9 函数的平均变化率 1、直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在． 【注意】（1）直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度；（2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2、平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间或上的平均变化率． 利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性． 知识点10 函数的奇偶性 1、奇函数与偶函数的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论． 2、奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 知识点11 判断奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 4、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点12 函数的零点 （1）函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． （2）函数零点的意义 不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 注：(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)如果方程f(x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点).如x＝2就是函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点． 知识点13 一元二次不等式与对应函数、方程 三个“二次”之间的关系 从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的图像上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方的图像上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合． 从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的实数x的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”． 因此，利用二次函数的图像和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示： Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根(x1＜x2) 有两个相等的实数根(x1＝x2＝－) 无实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注：(1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图像、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一． (2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点． 知识点14 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 注：(1)一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y＝的图像不是连续不断的． (2)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可． (3)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0. (4)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 知识点15 二分法 （1）二分法的概念 对于图像在区间[a，b]上不间断，且满足f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值 先确定零点的初始区间(a，b)(依据是：如果函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，并且f(a)与f(b)的符号相反，则f(x)在(a，b)内存在零点)，然后多次将区间(a，b)一分为二，直至找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． 注：即用区间中点将区间(a，b)一分为二，从而得到两个区间和，其中一个区间一定包含零点．如果f＞0，f(a)＜0，我们便认为区间包含零点，如下图所示： 不断重复相似步骤，直到找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值． 注：(1)我们把x＝称为区间(a，b)的中点．在这里，区间的中点是个实数，而不是点． (2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值同号)不适用．如函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． (3)二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，即使函数的零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点． 知识点16 一次函数模型 形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时，应注意： ①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况； ②一次函数的图像是一条直线． 知识点17 二次函数模型 形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题． 知识点18 分段函数模型 这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝，k≠0)、二次函数中两种及以上的综合． 知识点19 对勾函数模型 这个模型的实质是一次函数与反比例函数(形如y＝，k≠0)模型的综合． 注：解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 题型一 函数概念的辨析 例题：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 题型二 判断是否为同一个函数 例题：（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）下列哪一组中的函数与表示同一个函数（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三 求函数的定义域 例题：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的定义域为 . 巩固训练 1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数的定义域，则函数的定义域为 . 4．（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 题型四 求函数的解析式 例题：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 巩固训练 1．（24-25高一上·天津宝坻·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求的表达式； （2）已知，求的表达式. 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 题型五 判断函数的单调性 例题：（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，. (1)当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 题型六 根据函数的单调性求参数 例题：（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 巩固训练 1．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 5．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 题型七 求函数的最值/值域 例题：（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，则 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求下列函数的值域 (1)； (2). 2．（2022高一上·全国·专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ． 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 5．（23-24高一上·上海·阶段练习）定义一种新运算：，若，则函数的值域为 6．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，其中为不超过x的最大整数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)若函数定义域为R，求a的取值范围； (2)若函数值域为，求a的取值范围. 题型八 判断函数的奇偶性 例题：（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 2．（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 题型九 利用奇偶性求值或求参 例题：（21-22高一上·重庆璧山·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，则 . 巩固训练 1．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数是奇函数，则满足条件的一组值可以是 ， ． 3．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)当时，若在上均单调递增，求的取值范围； 5．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 题型十 利用函数奇偶性求解析式 例题：（2022高一上·河南·专题练习）已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）已知奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 题型十一 利用单调性和奇偶性解不等式 例题：（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 . 3．（22-23高一上·陕西西安·期中）已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二 利用单调性和奇偶性比较大小 例题：（21-22高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 巩固训练 1．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 2．（19-20高一上·福建泉州·期中）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）内单调递减，则（    ） A． B． C． D． 题型十三 利用函数的周期性求值 例题：（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则（    ）. A． B．1 C．0 D．0.5 巩固训练 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）设函数（）是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ． 2．（20-21高一·江苏·课后作业）已知定义在R上的函数满足，且，则 ． 题型十四 判断函数零点的个数 例题：（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，则的零点个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型十五 判断函数零点所在的区间 例题：（21-22高一上·河北·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（21-22高一上·云南红河·期末）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值如下表所示： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象是一条连续曲线，用二分法求它在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（21-22高一上·江西新余·期末）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（　　） A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25 4．（20-21高一上·重庆·期末）若函数的图象在R上连续不断，且满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点 B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点 C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点 D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点 题型十六 根据函数零点求参数范围 例题：（22-23高一·江苏·假期作业）已知函数的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·假期作业）若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（23-24高二上·安徽·期中）若函数的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·安徽合肥·期末）函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 题型十七 简单函数模型的实际应用 例题：（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 巩固训练 1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 2．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 3．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费计算电费，每月用电不超过100度时，按每度元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度元计算． (1)设月用电量为度时，应交电费元，写出与的函数关系式； (2)小明家第一季度的电费情况如下： 月份 一月 二月 三月 交费金额 76元 63元 元 则小明家第一季度共用电多少度？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$