第二章：函数知识归纳与题型突破（14知识点+18题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第二章 函数知识归纳与题型突破（14知识点+17题型） 一、函数的概念 1.函数的概念 (1)函数的定义： 一般地，设是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应；那么就称为从集合到集合的一个函数．记作，. (2)函数的定义域、值域： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． （3）函数的四个特征： ⅰ）非空性：函数定义中的集合必须是两个非空集合并且是数集.如，就不是函数（定义域为空集）； ⅱ）任意性：中任意一个数都要考虑到，即中每一个元素都有函数值； ⅲ）唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应； ⅳ）方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数. 2. 函数的三要素 由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. （1）定义域：函数的定义域就是自变量的取值范围.有时函数的定义域可以省略不写，如果没有特殊说明，函数的定义域是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数的集合. （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或“方法”，按照这一“程序”,从定义域中任取一个，可在值域中找到唯一的与之对应，同一“”可以“操作”不同形式的变量. （3）值域：对于定义域内函数，其值域就是指集合. 二、函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分. （5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 三、函数的表示方法 （1）函数有三种表示方法:解析式、列表法、图像法： （2）函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． （3）求函数解析式的四种常用方法 ①待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． ②换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． ③方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． ④赋值法：赋值法求函数的解析式：当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式，具体取什么特殊值，要根据题目特征而定. 四、函数的值域 （1）值域的概念：在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． （2）常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. ③反比例函数的定义域为，值域为 （3）求函数得值域常见的方法有： ①观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； ②配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； ③分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； ④换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． ⑤基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； ⑥判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 5、 分段函数概念 （1）定义：一般地，在定义域不同的部分，有不同的解析式，像这样的函数叫作分段函数. （2）理解：ⅰ）分段函数是一个函数，而不是几个函数 ⅱ）写分段函数的定义域时，区间的端点位置要不重不漏 ⅲ）处理分段函数问题时，先要确定自变量的取值属于哪一段，然后选取相应的对应关系. ⅳ)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值. （3）分段函数的图象 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段定义区间和表达式依次画图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象. 六、分段函数的图像 （1）作函数图象时分以下三个步骤： ①列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． ②描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． ③连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． （2）函数图象的平移变换（左“+”右“-”只对x而言；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 七、函数的单调性概念 （1）函数单调性的定义 （2）概念中的注意点：定义中的x1，x2有以下3个特征 ①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； ②有大小，通常规定x1<x2； ③属于同一个单调区间． （2）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. （3）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. （4）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 八、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在R上单调递增； 时，在R上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和. 二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是. 的增区间是和，减区间是和. 的增区间是和，减区间是和. 九、函数单调性的性质和函数单调性运算性质 （1）函数单调性的几种等价形式 ①若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝. ②对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对减函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. （2）若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质. ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. ⑤在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数. 十、函数奇偶性的概念 （1） 奇偶性的定义 定义 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征和图像特征 定义域特征：定义域必须是关于原点对称的区间 图像特征：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称 等价形式 设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立. 十一、函数奇偶性的基本性质 （1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质： ① 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）； ③图像关于y轴对称； ④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 （2）奇函数的性质 若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质： ①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）； ③图像关于原点（0,0） 对称； ④若在处有意义，则f（0）=0; ⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 ⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。 十二、幂函数的概念 （1）幂函数的定义 形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  （2） 幂函数的特征： 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 十三：幂函数图像与性质 （1） 幂函数图像 （2）幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 十四：幂函数的特性 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 题型一：函数概念的理解 例1．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，集合A中有一部分x值没有与之对应的y值，A不能构成函数； 对于BC，存在垂直于的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数. 故选：ABC 例2．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 巩固训练 1．（多选）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的知识求得正确答案. 【详解】函数是一一对应或多对一对应关系，所以AD选项错误，BC选项正确. 故选：BC 2．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【分析】根据函数的定义，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：因为集合是整数集合，其中奇数除以的结果不是整数， 所以不是的函数，因此本选项不符合题意； B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义， 因此本选项不符合题意； C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义， 所以本选项符合题意； D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意， 故选：C 3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义判断即可得. 【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象. 故选：D. 题型二　函数求值或求参数 例1．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 例2．已知，则的值为（    ） A．33 B．5 C．11 D．22 【答案】A 【分析】令，求出并代入计算得解. 【详解】由，解得，所以. 故选：A 例3．已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据表格列出关于等式并解出，代入求出即可. 【详解】由表知，，，解得， 所以， 所以. 故选：B 巩固练习 1．已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 【答案】AD 【分析】运用函数的定义与性质逐一判断. 【详解】解：选项A：由，可得，解得，故选项A正确； 选项B：由，可得，所以，故选项B错误； 选项C：因为，所以函数的图象与轴没有交点，故选项C错误； 选项D：因为，所以点在函数的图象上，故选项D正确. 故选：AD. 2．已知函数，计算 ． 【答案】 【分析】先求出，再观察所求，倒序相加即可得解. 【详解】由，得， 所以 . 故答案为：. 3．已知，则 ． 【答案】5 【分析】利用函数解析式，计算函数值 【详解】由题意，，则． 故答案为：5 4．已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令 . 故答案为：. 题型三　求函数的定义域 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 例2．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可. 【详解】的定义域为， ，解得：， 的定义域为. 故选：B. 巩固训练 1．函数的定义域为 【答案】 【分析】由分式的分母不为零，偶次根式的被开方数为非负数，零次幂的底数不为零，求解函数的定义域即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 2．已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得， 因此在函数中，，解得， 所以所示函数的定义域为. 故选：A 3．若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（    ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域利用替换思想求相关函数的定义域即可. 【详解】函数的定义域是 的定义域是， 故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是. 故选：D 4．将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得，从而得到结果. 【详解】将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为， ∴，解得 ∴函数的定义域为 故选D 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 题型四　函数的定义域的逆运算 例1．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案. 【详解】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4. 故选：C. 例2．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上所述：实数m的取值范围是. 故选：B. 巩固训练 1．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据条件，将问题转化成无解，再分和两种情况讨论，即可求出结果； （2）根据条件，将问题转化成的解集为，再分和两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为的定义域为，又有意义需， 所以无解；当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得． 综上实数． （2）因为函数的定义域为，所以不等式的解集为， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 2．若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 【分析】利用函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 题型五　相同函数 例1．下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为， 又由函数有意义，则满足，解得或 即函数的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C中，由函数 与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D不符合题意. 故选：C. 例2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项分析两个函数的定义域与对应关系，从而判断是不是相同的函数即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于C，的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域相同，，对应关系不同，所以不是相同的函数； 故选：C 巩固训练 1．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 2．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 3．下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断. 【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数； 选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数； 选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数， 故选：BD 题型六　求函数的值域 例1．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 例2．下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【详解】利用函数值域的求解方法求解. 【分析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 巩固训练 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 2．在下列函数中，最小值是2的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AB，均可由基本不等式判断，但注意使用条件、取等条件是否成立；对于C，直接由复合函数的值域即可判断；对于D，直接由二次函数的性质即可判断. 【详解】对于A选项，当时,，当且仅当时等号成立； 但当时，，当且仅当时等号成立； 对于B选项，，当且仅当时等号成立； 对于C选项，，当且仅当时等号成立； 对于D选项，，当且仅当时等号成立． 故选：BD. 3．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 4．（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 5．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 题型七　已知函数的值域求参数或取值范围 例1．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 例2．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 巩固训练 1．已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得. 【详解】依题意，的值域为，且的解集为， 故函数的开口向下，， 则方程的两根为或， 则，，即， 则， 当时，取得最大值为， 即，解得：. 故选：A. 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 3．已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【答案】 5 5 【分析】可将整理为,因为,由，则，即，则关于y的一元二次方程的两根为1和9，利用韦达定理求解；同时,时也成立. 【详解】由,得, 由，得若，则, 即, 由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有，解得. 当时,也符合题意, ∴. 故答案为：5；5. 题型八　求函数的解析式 例1．已知函数，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合换元法，即可求解. 【详解】设，则且， 因为，可得，所以函数. 故选：B. 例2．已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则， 所以，解得或， 则或． 故选：AD. 巩固训练 1．已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 2．（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 3．已知二次函数满足条件，及. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，，利用已知条件列出方程，求出，，即可得到解析式． （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）设，， 则， 又，， 所以，恒成立， ，解得，所以； （2）不等式，即， 即，即， 当时,解得， 当时,解得， 当时,解得， 综上可得,当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为. 题型九　分段函数求值或求参数 例1．设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案. 【详解】易知， 所以，即可得. 故选：A 例2．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 【答案】1 【分析】根据函数表达式计算（注意判断自变量的值是有理数还是无理数）． 【详解】由题意， 故答案为：1. 例3．设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 巩固训练 1．已知，则 . 【答案】1 【分析】应用分段函数解析式分层计算即可. 【详解】. 故答案为：1. 2．已知函数则 . 【答案】3 【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】，， 故答案为：3 3．已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域，分求解. 【详解】若，则无解； 若，则，所以. 若，则无解． 综上：. 故答案为：. 4．已知函数若，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】由， 故答案为： 题型十　分段函数解不等式 例1．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 例2．已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 巩固训练 54．已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论、，结合函数解析式列不等式求参数a的范围即可. 【详解】由， 若，则，即，解得，所以 若，则，即，解得，所以， 综上，不等式的解为. 故选：D 55．已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照分段函数解析式，分和两种情况分别代入解析式解不等式即可得解. 【详解】当时，， 所以； 当时，， 解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 56．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 57．设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 题型十一　分段函数的图像 例1．定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】CD 【分析】分别作出，根据图象可得的值域，对比选项分析判断. 【详解】在同一坐标系内分别作出， 可得的图象（图中实线部分），    所以的值域为， 结合选项可知CD正确，AB错误. 故选：CD. 例2．函数，（），则（    ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C．且 D． 【答案】BCD 【分析】作出函数图象，利用数形结合思想可以判断得出答案. 【详解】作出函数的图象，如图所示：    对于选项A，由图象可得函数的值域为R，故选项A错误； 对于选项B，由图象可得不等式的解集为，故选项B正确； 令（），则函数图象与直线有三个不同的交点. 由图象可得，， 故选项C正确，选项D正确. 故选：BCD. 巩固训练 1．记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【答案】 2 【分析】作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，令，解得或； 令，解得；令，解得， 由图象知：当时，或或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2， 2．已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的取值范围； (3)画出函数的图象，若方程有三个解，求b的取值范围（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由解析式先求，再求的值；（2）分、两种情况解不等式，综合可得出实数的取值范围；（3）作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，则. （2）当时，由，得，解得，此时； 当时，由，可得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （3）作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，当时，函数的图象与直线有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 3．已知函数满足，函数是上单调递增的一次函数，且满足. (1)证明：，； (2)已知函数， ①画出函数的图像； ②若且，，互不相等时，求的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)①函数的图像见解析；② 【分析】（1）先由赋值法求得函数的解析式，再由待定系数法求得函数的解析式，利用作差法即可比较与的大小； （2）①根据一次函数和二次函数图像的性质作出分段函数图像即可； ②根据函数的图像得到，再根据函数图像得到，，的取值范围，即可求解. 【详解】（1）证明：由，得：； 联立，消去得：； 又由函数是上单调递增的一次函数，设（）， 则， 即，且，解得：； 所以， 对于，有， 对，，则； 综上：，. （2）由（1）得，； ①作出的函数图像，如图所示： ②不妨设，由①函数的图像可得：， 即，，，且等号同时成立，又，即. 故的取值范围为. 题型十二　求函数的单调区间 例1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 例2．函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出函数分段形式的解析式，再画出函数的图象，数形结合可知单调区间. 【详解】. 画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为. 故选：B. 巩固训练 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 2．下列说法不正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 【答案】ACD 【分析】根据单调性定义，结合常见函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：根据单调性的定义，A选项中的不具有任意性，故A错误； 对B：，根据二次函数的单调性易知，其在上为增函数，故B正确； 对C：在单调递增，在单调递增，在定义域不是单调增函数，故C错误； 对D：函数在和上单调递减，没有单调增区间，故D错误. 故选：ACD. 3．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 4．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 题型十三　已知单调性求参数的范围 例1．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出的开口方向和对称轴，从而得到不等式，求出，结合是的真子集，确定答案. 【详解】开口向下，对称轴为， 要想在上单调递增，则， 解得， 由于是的真子集， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 例2．已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 巩固训练 71．若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的单调性，再列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以， 故选：B． 72．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性，根据分段函数的单调性可得关于的不等式组，解之即可． 【详解】对任意的实数，都有，即异号， 故是上的减函数； 可得：，解得． 故答案为： 73．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 74．（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求的范围； （2）任取且，利用单调性的定义可得，可求的范围. 【详解】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为． 函数在区间上是严格增函数，所以，∴． （2）任取且，则恒成立， 所以，即， 整理得． ∵，∴，∴．∵，，∴． 题型十四　函数奇偶性求值或解析式 例1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：D. 例2．设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据奇函数的性质得到，从而得到，再计算即可. 【详解】是定义域为的奇函数，， 当时，， 所以， 所以当时，，. 故选：A 巩固训练 1．已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性和题设条件，易求得时的函数解析式. 【详解】当时，，则有， 因函数是定义在区间上的奇函数， 故得. 故答案为：. 2．设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 【答案】 【分析】根据题意，代入解析式即可求值；利用题目所给条件及奇函数的定义化简求出时，的解析式. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 设，则，所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为满足上式， 所以时，. 故答案为： 3．设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ；当为偶函数时，函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】利用奇偶性求另一半区间解析式即可. 【详解】当时，，． 若是奇函数，则，则. 若是偶函数，，则. 故答案为：；. 题型十五　函数奇偶性求参数 例1．已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，化简可求. 【详解】因为为奇函数，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 故选：D. 例2．已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性即可求值． 【详解】解：由于为偶函数，则恒成立， 则，则有， 可得， 经验证满足恒成立． 故选：B． 巩固训练 1．已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 2．已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 3．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即，得到， 又，得到，所以， 得到，， 故答案为：． 题型十六　函数单调和奇偶性解不等式 例1．已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可． 【详解】任意，,，当时总有， 在,上是增函数， 又是定义域为的偶函数， 故在,上是减函数． 由可得． 所以，解得， 即不等式的解集为,， 故选：A． 例2．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且 又因，所以， 又因在为增函数，在上， 在上， 又因在为减函数，所以上， 综上，当时，，当时， 当时，则，所以，则， 当时，则，所以，则， 不等式可化简变形为， 综上所述可知当时，. 故选：D 巩固训练 1．已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，可得，设，则函数在上单调递减，则不等式即，则，又函数为定义在上的偶函数，则得到不等式的解集. 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 即， 设，则函数在上单调递减， 又，则， 则不等式，即， 则， 所以， 又函数为定义在R上的偶函数， 所以当时，， 又， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由，可构造函数，可得在上单调递减，可利用单调性解出不等式. 2．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式可判断出是定义在上的单调递减函数，且为奇函数，将不等式变形即可求得实数的取值范围. 【详解】易知函数的定义域为，且满足，可知为奇函数， 当时，，此时单调递减， 根据奇函数的对称性可知，是定义在上的单调递减函数， 由可得， 所以，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3．已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性转化不等式，再运用单调性化简不等式，即可解得. 【详解】因是定义在R上的奇函数，由可得， 又因时，单调递增，故在R上单调递增， 故得，，解得，. 故选：C. 4．若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可. 【详解】由，可得. 令，因为是偶函数，且在上单调递增，所以也是偶函数，且在上单调递增，从而，解得或. 故选：A 5．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得在是减函数，再通过讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 故选：BC. 6．设函数为上的偶函数，且对任意的均有，则满足的实数的范围是 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为上的减函数， 则该函数在为增函数. 若函数在为增函数， 则等价于. 两边平方整理得，解得. 故答案为： 题型十七　幂函数及其应用 例1．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 例2．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 对于,解得或， 当时，满足，但时，不满足， 故， 故选：A 巩固训练 1．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 2．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】利用幂函数的定义结合过点，可求判断AC；进而可得函数的奇偶性判断B；解不等式可求解集判断D. 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得， 当时，幂函数的图象不可能过点，故， 当，幂函数的图象过点， 则，解得，故AC正确； 的定义域为，且，故为偶函数，故B正确； 函数在上单调递减， 由，可得， 所以，解得且，故D错误. 故选：ABC. 3．已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可； （2）根据函数单调性的定义结合作差法计算即可. 【详解】（1）由幂函数， 得，解得或， 又因为函数为偶函数， 所以， 所以； （2）由（1）得， 函数在区间上单调递增， 令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递增. 4．已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在 (3) 【分析】（1）因为是幂函数，所以； （2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题； （3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或 当时，，在为减函数，当时，， 在为增函数，所以. （2），令，因为，所以， 则令，，对称轴为． ①当，即时，函数在为增函数， ，解得． ②当，即时，， 解得，不符合题意，舍去． 当，即时，函数在为减函数，， 解得．不符合题意，舍去． 综上所述：存在使得的最小值为. （3），则在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②-①得：， 所以， 即③． 将③代入②得：． 令，因为，，所以． 所以，在区间单调递减， 所以 故存在实数，使函数在上的值域为， 实数的取值范围且为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数知识归纳与题型突破（14知识点+17题型） 一、函数的概念 1.函数的概念 (1)函数的定义： 一般地，设是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应；那么就称为从集合到集合的一个函数．记作，. (2)函数的定义域、值域： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． （3）函数的四个特征： ⅰ）非空性：函数定义中的集合必须是两个非空集合并且是数集.如，就不是函数（定义域为空集）； ⅱ）任意性：中任意一个数都要考虑到，即中每一个元素都有函数值； ⅲ）唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应； ⅳ）方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数. 2. 函数的三要素 由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. （1）定义域：函数的定义域就是自变量的取值范围.有时函数的定义域可以省略不写，如果没有特殊说明，函数的定义域是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数的集合. （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或“方法”，按照这一“程序”,从定义域中任取一个，可在值域中找到唯一的与之对应，同一“”可以“操作”不同形式的变量. （3）值域：对于定义域内函数，其值域就是指集合. 二、函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分. （5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 三、函数的表示方法 （1）函数有三种表示方法:解析式、列表法、图像法： （2）函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． （3）求函数解析式的四种常用方法 ①待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． ②换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． ③方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． ④赋值法：赋值法求函数的解析式：当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式，具体取什么特殊值，要根据题目特征而定. 四、函数的值域 （1）值域的概念：在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． （2）常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. ③反比例函数的定义域为，值域为 （3）求函数得值域常见的方法有： ①观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； ②配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； ③分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； ④换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． ⑤基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； ⑥判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 5、 分段函数概念 （1）定义：一般地，在定义域不同的部分，有不同的解析式，像这样的函数叫作分段函数. （2）理解：ⅰ）分段函数是一个函数，而不是几个函数 ⅱ）写分段函数的定义域时，区间的端点位置要不重不漏 ⅲ）处理分段函数问题时，先要确定自变量的取值属于哪一段，然后选取相应的对应关系. ⅳ)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值. （3）分段函数的图象 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段定义区间和表达式依次画图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象. 六、分段函数的图像 （1）作函数图象时分以下三个步骤： ①列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． ②描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． ③连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． （2）函数图象的平移变换（左“+”右“-”只对x而言；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 七、函数的单调性概念 （1）函数单调性的定义 （2）概念中的注意点：定义中的x1，x2有以下3个特征 ①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； ②有大小，通常规定x1<x2； ③属于同一个单调区间． （2）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. （3）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. （4）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 八、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在R上单调递增； 时，在R上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和. 二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是. 的增区间是和，减区间是和. 的增区间是和，减区间是和. 九、函数单调性的性质和函数单调性运算性质 （1）函数单调性的几种等价形式 ①若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝. ②对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对减函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. （2）若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质. ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. ⑤在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数. 十、函数奇偶性的概念 （1） 奇偶性的定义 定义 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征和图像特征 定义域特征：定义域必须是关于原点对称的区间 图像特征：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称 等价形式 设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立. 十一、函数奇偶性的基本性质 （1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质： ① 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）； ③图像关于y轴对称； ④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 （2）奇函数的性质 若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质： ①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）； ③图像关于原点（0,0） 对称； ④若在处有意义，则f（0）=0; ⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 ⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。 十二、幂函数的概念 （1）幂函数的定义 形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  （2） 幂函数的特征： 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 十三：幂函数图像与性质 （1） 幂函数图像 （2）幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 十四：幂函数的特性 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 题型一 函数概念的理解 例1．（多选）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个 A．  B．  C．   D．   例2．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A．B．C． D． 巩固训练 1．（多选）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（    ） A．B．C．D． 2．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型二　函数求值或求参数 例1．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 例2．已知，则的值为（    ） A．33 B．5 C．11 D．22 例3．已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1．已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 2．已知函数，计算 ． 3．已知，则 ． 4．已知函数，且，则 ． 题型三　求函数的定义域 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数的定义域为 2．已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（    ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 4．将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 题型四　函数的定义域的逆运算 例1．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 例2．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 2．若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 题型五　相同函数 例1．下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C． 与 D．与 例2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 3．（多选）下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 题型六　求函数的值域 例1．下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 巩固训练 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）在下列函数中，最小值是2的是（    ）． A． B． C． D． 3．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 4．（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 5．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 题型七　已知函数的值域求参数或取值范围 例1．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 3．已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 题型八　求函数的解析式 例1．已知函数，则函数（    ） A． B． C． D． 例2．（）多选已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 2．（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 3．已知二次函数满足条件，及. (1)求的解析式； (2)解不等式. 题型九　分段函数求值或求参数 例1．设函数，则（ ） A． B． C． D． 例1．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 例3．设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 巩固训练 1．已知，则 . 2．已知函数则 . 3．已知函数，若，则 ． 4．已知函数若，则实数 ． 题型十　分段函数解不等式 例1．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 例2．已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 巩固训练 1．已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则的取值范围是 ． 3．已知函数，则不等式的解集为 ． 4．设函数，则 ，不等式的解集是 . 题型十一　分段函数的图像 例1．（多选）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．（多选）函数，（），则（    ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C．且 D． 巩固训练 1．记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 2．已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的取值范围； (3)画出函数的图象，若方程有三个解，求b的取值范围（直接写出答案） 3．已知函数满足，函数是上单调递增的一次函数，且满足. (1)证明：，； (2)已知函数， ①画出函数的图像； ②若且，，互不相等时，求的取值范围. 题型十二　求函数的单调区间 例1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 例2．函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 3．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是 ． 题型十三　已知单调性求参数的范围 例1．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围是 . 3．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 4．（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 题型十四　函数奇偶性求值或解析式 例1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 例2．设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 巩固训练 1．已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时 . 2．设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 3．设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ；当为偶函数时，函数的表达式是 ． 题型十五　函数奇偶性求参数 例1．已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例2．已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 巩固训练 1．已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知函数为偶函数，则 ． 3．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 题型十六　函数单调和奇偶性解不等式 例1．已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 例2．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 6．设函数为上的偶函数，且对任意的均有，则满足的实数的范围是 题型十七　幂函数及其应用 例1．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 例2．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 巩固训练 1．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．不等式的解集为 3．已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 4．已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$