第四章 指数函数与对数函数 重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一上·陕西渭南·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（   ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A．100 B．230 C．130 D．365 6．（23-24高一上·山东枣庄·期中），若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高一下·湖北·期中）已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数则（    ） A． B． C．有唯一零点 D．若当时，，则的最大值是 11．（23-24高一上·全国·期中）下列函数中，满足“，且，都有”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．（23-24高一下·浙江金华·期中）函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 . 13．（23-24高一上·吉林延边·期中）已知函数，且.若时，恒成立，则m的取值范围为 14．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·陕西渭南·期中）计算 (1) (2) 16．（23-24高一上·江西新余·期中）已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 17．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 18．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 19．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一上·陕西渭南·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质逐个选项判断即可. 【详解】对A，在上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对B，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：A 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将分别与中间值比较大小即得. 【详解】因函数是减函数，故， 又是增函数，故， 而函数在上是增函数，故， 故得. 故选：A. 3．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 随的增大而增大，要使在上单调递增， 只需在上单调递增，则有，所以． 故选：A. 5．（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（   ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A．100 B．230 C．130 D．365 【答案】B 【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得. 【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍， 此时“进步值”为，“退步值”为，即， 所以，则， 所以天． 故选：B 6．（23-24高一上·山东枣庄·期中），若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值. 【详解】对任意，，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 当时，由于函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数，由，得， 可得出，故A正确. 故选：A. 7．（23-24高一下·湖北·期中）已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，利用一次函数、指数函数和分段函数单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】因为当时，恒有， 所以当时，恒有， 不妨设，则，即， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（23-24高一上·河南·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增， 且注意到是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 即等价于，亦即， 该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值． 因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的最小值为 所以，等号成立当且仅当． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数则（    ） A． B． C．有唯一零点 D．若当时，，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】代入可知A对，由图可知B错，C对，D项，分别求得和，时对应的自变量x的值，结合的图象可确定a、b的取值范围，由此可得结果. 【详解】对于A，，则，故A对； 对于B，由图知，，故B错 对于C，由图知，有唯一零点，故C对 对于D，令，解得；令，解得， 由图象可知：，，所以，故D对. 故选：ACD    11．（23-24高一上·全国·期中）下列函数中，满足“，且，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依据题干给定的函数单调性，奇偶性逐个选项排除即可. 【详解】由，知函数是偶函数， 由，都有，知在上单调递增，所以在上单调递减． 对于A：显然不具有奇偶性，故A错误； 对于B，，符合题意； 对于C，， 所以在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于D，符合题意． 故选：BD． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一下·浙江金华·期中）函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数的性质结合题意求出点的坐标，再点的坐标代入中求出，从而可求出的解析式. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点A， 所以点的坐标为， 设，则，得， 所以， 故答案为： 13．（23-24高一上·吉林延边·期中）已知函数，且.若时，恒成立，则m的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即可由对数运算求出，再根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即， 所以. 因为恒成立， 等价于恒成立， 令，则， 原不等式等价于在恒成立， 则，解得, 故的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出两函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，可分和两种情况进行分类讨论，列示求解. 【详解】当时，； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·陕西渭南·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据指数的运算求解即可； （2）根据对数的运算求解即可. 【详解】（1） （2） 16．（23-24高一上·江西新余·期中）已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可； （2）根据指数函数的单调性求解集. 【详解】（1）指数函数经过点，则且，得， 故，则. （2）因为，即， 又函数在R上是增函数，有，解得， 所以x取值范围为. 17．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； 令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 18．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式； （2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象； （3）在（2）的基础上，得到函数零点个数 【详解】（1）设，则 因为， 故， 所以，解得， 因此； （2）当时，， 当时，，则， 为偶函数，故， 故， 综上，， 画出函数图象如下：    （3）由图可知，，， 当时，函数没有零点， 当时，函数只有两个零点， 当时，函数有四个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点 19．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）任取，且，确定，的大小关系，结合单调性证明结论， （2）结合单调性求函数在上的值域，由条件可得为关于的方程的两个不相等的正实数根， 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 所以，所以，故， 所以，所以函数在上单调递增． （2） 由（1）可知函数在上单调递增， 因为的定义域和值域都是， 所以， 所以为关于的方程的两个不相等的正实数根， 化简方程可得， 则，， 又因为，所以解得， 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$