精品解析：江西省抚州市崇仁一中、东乡一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中2024-2025学年高一上学期第一次月考联考数学试题

2024-2025学年上学期崇仁一中、东乡一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中 高一第一次月考联考数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 命题“是无理数”的否定是（ ） A. 不是无理数 B. 不是无理数 C. 不是无理数 D. 不是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】解：由全称量词命题的否定为存在量词命题， 得命题：是无理数”的否定是：不是无理数. 故选：A. 2. “”是“”的（    ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再根据充分性和必要性的定义即可判断得解. 【详解】即，所以解得， 充分性：不一定有，如，此时，故充分性不满足； 必要性：，则必有，故满足必要性. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 代数式取得最小值时对应的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最小值及对应的值. 【详解】在分母的位置，则． ，当且仅当，即，时，取等号, 故选：D． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. 所有的素数都是奇数 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例判断AD；根据集合的表示方法即可判断B；根据不等式的性质即可判断C． 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，2是素数，但2是偶数，故D错误； 故选：C． 5. 已知全集，集合和集合都是的非空子集，且满足，则下列集合中表示空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图表示集合，结合图像即可找出表示空集的选项. 【详解】由图表示集合如下： ， 由图可得，，，， 故选：D 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较的大小，再结合中间值比较即可. 【详解】易知， 因为，，所以， 则，即. 因为，，所以. 综上，. 故选：A 8. 对于非空实数集，记.设非空实数集合，若时，则.现给出以下命题： ①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有； ③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有； ④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数，使得对任意的，恒有， 其中正确的命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合定义得为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④. 【详解】由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合. ①因为，设集合M和P中最大值分别为m和p，则，故有，正确； ②设，则，故，错误； ③设，则，故，错误； ④令，则对任意的，，故恒有，正确. 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系及集合与集合的包含关系即可求解. 【详解】解：对A：，故选项A错误； 对B：，故选项B正确； 对C：，故选项C正确； 对D：，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，或” D. 已知集合，若，，则实数的集合为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；应用基本不等式判断B；特称命题的否定判断C；考虑时，可得时成立即可判断D； 【详解】若，可得，则，故A对； ， 当且仅当，此时无解，故取不到等号， 所以，故B错； 根据特称命题的否定，可得命题“，”的否定是“，或”，故C对； 因为，当时，则成立，故D错； 故选：AC 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则＝________. 【答案】 【解析】 【分析】由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则. 故答案为： 13. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到，，1为方程的根，进而得到，进而求解即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以，，且1为方程的根， 所以，即， 则不等式，即为， 即，即， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为：. 14. 已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最小时的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求出解集确定出，利用基本不等式可得到的最小范围，再根据可得到集合中最少的元素个数时集合的元素. 【详解】由可得，所以，则原不等式的解集为， 设， 由基本不等式可得， 当且仅当即时取等号， 所以当时，， 所以，又， 所以， 则集合中的元素最少有4个时集合， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解； （2）由题设条件得到，从而分类讨论与，结合集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 当时，集合， 又集合，所以. 所以当时，. 【小问2详解】 因为等价于， 当时，，得，满足题意; 当时，则， 则，得，解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知集合. （1）求 （2）若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得到或，故，利用交集概念求出答案； （2）根据必要条件得到，分和，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 ，解得或， 故或，故， ； 【小问2详解】 是的必要条件，故， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上，的取值范围为. 17. 已知二次函数，其中，且. （1）证明：函数的图像与x轴有两个不同的交点； （2）设函数的图像在轴上截得的弦长为，求的最小值. 【答案】（1）证明：若且，则， ∴且 ∴， 则函数必有两个不同的零点． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而根据判别式为正判断即可； （2）由及可得，根据弦长求解范围，再由二次函数性质即可得. 【小问1详解】 略；． 【小问2详解】 由及，得， ∴， 不妨设函数的零点为，则， ∴函数在轴上截得的弦长 则：的最小值是 18. 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质，已知向水中每投放1个单位的物质，（单位：天）时刻后水中含有物质的量增加，与的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为.根据经验，当水中含有物质的量不低时，物质才能有效发挥作用. （1）若在水中首次投放1个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质，第8天再投放1个单位的物质，试判断第8天至第12天，水中所含物质的量是否始终不超过，并说明理由. 【答案】（1）6天. （2）第8天至第12天，水中所含物质的量始终不超过，理由为： 设第天水中所含物质的量为， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，， 所以第8天至第12天，水中所含物质的量始终不超过. 【解析】 【分析】（1）由题可知，分类讨论求解满足时的的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质，物质能持续有效发挥作用的天数； （2）根据已知求出函数解析式，利用基本不等式即可求得当时，，从而得出结论. 【小问1详解】 由题意，(单位：天)时刻后水中含有物质的量为： ， 由于当水中含有物质的量不低时，物质才能有效发挥作用， 即需， 则当时，且当时，， 解得：， 所以若在水中首次投放1个单位的物质，物质能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天. 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键. 19. 已知一元二次函数． （1）若的解集为，解关于x的不等式； （2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据解集得出，，得出，再讨论的大小关系得出解集； （2）由一元二次不等式的解法得出，则，再由换元法结合基本不等式求解. 【小问1详解】 若的解集为，可得， 且，即，，则关于x的不等式． 得，即． （ⅰ）当时，解集为； （ⅱ）当时，解集为； （ⅲ）当时，解集为． 【小问2详解】 若对任意，不等式恒成立，即为恒成立， 因为a不为0，所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 若，， 若，， 当，即时，上式取得等号，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期崇仁一中、东乡一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中 高一第一次月考联考数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 命题“是无理数”的否定是（ ） A. 不是无理数 B. 不是无理数 C. 不是无理数 D. 不是无理数 2. “”是“”的（    ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 代数式取得最小值时对应的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. 所有的素数都是奇数 5. 已知全集，集合和集合都是的非空子集，且满足，则下列集合中表示空集的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 对于非空实数集，记.设非空实数集合，若时，则.现给出以下命题： ①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有； ③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有； ④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数，使得对任意的，恒有， 其中正确的命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则函数的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，或” D. 已知集合，若，，则实数的集合为 11. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则＝________. 13. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是_______． 14. 已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最小时的集合为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 16. 已知集合. （1）求 （2）若是的必要条件，求的取值范围. 17. 已知二次函数，其中，且. （1）证明：函数的图像与x轴有两个不同的交点； （2）设函数的图像在轴上截得的弦长为，求的最小值. 18. 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质，已知向水中每投放1个单位的物质，（单位：天）时刻后水中含有物质的量增加，与的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为.根据经验，当水中含有物质的量不低时，物质才能有效发挥作用. （1）若在水中首次投放1个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质，第8天再投放1个单位的物质，试判断第8天至第12天，水中所含物质的量是否始终不超过，并说明理由. 19. 已知一元二次函数． （1）若的解集为，解关于x的不等式； （2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $