精品解析：广东省佛山市第三中学2024-2025学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

佛山三中2024—2025学年上学期第1次教学质量检测试卷 高二数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ） A. B. 表示向上的点数是1或3或5 C. 表示向上的点数是1或3 D. 表示向上的点数是1或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断. 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得. 【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意； 对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意； 对于C，因，即，，共面，故C不合题意； 对于D，因，即，，共面，故D不合题意. 故选：B. 3. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案． 【详解】如图，    由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果， 所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为， 故选：C． 4. 已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解 【详解】因为，所以.又， 所以，即，所以，则. 所以.又，所以. 故选：C. 5. 已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 6. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对立事件概率公式利用对立事件乘法公式求得两车不发生事故的概率，然后利用对立事件概率公式求得至少有一辆发生此种事故的概率，即可得解. 【详解】由题意可知，一年内该单位两辆车都不发生此种事故的概率为， 则一年内该单位这两辆车至少有一辆发生此种事故的概率为， 故一年内该单位在此种保险中获赔的概率为. 故选：B 7. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】解：过和分别作，， 在矩形，， ， ， 则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ,， ， ，， 则， 即与之间距离为， 故选：C． 8. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点. 可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以, 又点F距平面的距离为1，所以, 的最小值为. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的含义可知，判断;根据题意可知，从而，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D. 【详解】∵为两个互斥事件，, ∴，即，故A正确，B选项错误， ∵ 为两个互斥事件,则， ∴ 故C选项正确， ∵为两个互斥事件， ∴，故D选项正确． 故选∶． 10. 一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ） A. 事件A与事件C互斥 B. 事件B与事件C互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 事件B与事件C相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念可判断AB的正误，根据独立事件的判断方法可得CD的正误. 【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数， 故事件A与事件C互斥，故A正确； 若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误； 对C，，所以C正确； 对D，，所以D正确； 故选：ACD． 11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，P，D三点共线 B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案. 【详解】由题意，如图建系： 则， ， 设，，则， 可得， ， 对于A：当时，则点P为对角线的中点， 根据长方体性质可得三点共线，故A正确； 对于B：当时， ∴，解得， 所以， 则， 因此不正确，故B错误； 对于C：当时，， 设平面的法向量为， ， ∴，， 当时，，，故， ∴，∴， 又平面，∴平面，故C正确； 对于D：当时，可得，， 设平面的法向量为， 则，， 取，则，∴， 而，∴，∴平面，故D正确． 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若空间三点，则点到直线的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量求点到直线的距离即可得. 【详解】，，则， 则. 故答案为：. 13. 若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设元件正常工作的概率为，当系统正常工作时，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】设元件正常工作的概率为，系统正常工作，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作， 由题意可得，系统正常工作的概率为，解得. 故答案为：. 14. 在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 【答案】16 【解析】 【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可. 【详解】如图： 首先：，. 又. 所以. 故答案为：16 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球. （1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率； （2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由. 【答案】（1）；（2）不公平，理由见详解. 【解析】 【分析】 （1）用列举法列举出总的基本事件，以及满足摸出的2个球都是白球所包含的基本事件，基本事件的个数比，即为所求概率； （2）用列举法列举出“从袋中连续取两次，每次取一球后放回”所包含的基本事件，以及“取出的两个球中至少有1个黑球”所包含的基本事件，基本事件个数比即为甲胜的概率，进而可得出结论. 【详解】（1）从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件； 摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：，，，共个基本事件； 则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为； （2）从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件； 则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件； 因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以此游戏不公平. 【点睛】方法点睛： 求古典概型的概率的常用方法： （1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率； （2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率. 16. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】（1）0.52 （2）0.648 【解析】 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【小问1详解】 用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. 【小问2详解】 记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且． （1）求的长； （2）直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示出，然后平方转化为数量积的运算； （2）用空间向量法求异面直线所成的角． 【小问1详解】 由题意，， ， ， ． 【小问2详解】 ，， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 18. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，证明即可; （2）求平面的法向量与平面的法向量的夹角可得结论; （3）求在平面的法向量上投影的绝对值即可. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，显然平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量可以为， 则设两平面所成角为，则, 为锐角，所以两平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量为， 又，设点到平面的距离为， 则 所以点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山三中2024—2025学年上学期第1次教学质量检测试卷 高二数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ） A. B. 表示向上的点数是1或3或5 C. 表示向上的点数是1或3 D. 表示向上的点数是1或5 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ） A. B. C. D. 6. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ） A. 事件A与事件C互斥 B. 事件B与事件C互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 事件B与事件C相互独立 11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，，P，D三点共线 B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若空间三点，则点到直线的距离为_______． 13. 若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为______. 14. 在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球. （1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率； （2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由. 16. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且． （1）求的长； （2）直线与所成角的余弦值． 18. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $