13.2.2 用坐标表示轴对称（ 教学设计+课件+作业+学习任务单）2024-2025学年人教版数学八年级上册

13.2.2 用坐标表示轴对称 1 要点回顾 1.作点的轴对称图形：如果直线MN外有一点A，那么怎样 画出点A关于直线MN的对称点A' ？ （1）过点A作AO⊥MN于点O； 则A′就是点A关于直线MN的对称点. A A ′ M N O ┌ （2）延长AO至点A′，使OA′=AO. 如图，如果直线MN外有一点A，那么怎样画出点A关于直线MN的对称点A‘ 呢？我们一起回顾一下 第一步：过点A作AO⊥MN于点O； 第二步：延长AO至点A′，使OA′=AO. 则A′ 就是点A关于直线MN的对称点. 2 要点回顾 2.点的平移变换的坐标表示： 点(x,y) 向上平移a 向左平移a 向下平移a 向右平移a (x,y-a) (x+a,y) (x,y+a) (x-a,y) 3 情境引入 如图，西直门和东直门是关于中轴线对称的.以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立了平面直角坐标系后，小丽与小明进行了一段有趣的通话： 小丽：我在东直门，这里坐标为(3.5,4)， 小明：我在西直门等你，你根据我 所在位置的坐标来找我吧。 如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系. 小丽和小明进行了一段有趣的对话，我们来听一听。 小丽：我在东直门，这里坐标为（3.5,4）， 小明：我在西直门等你，你根据我所在位置的坐标来找我吧 我们从中可知西直门和东直门是关于y轴对称的，所以上述问题可转化为一个具体的数学问题： 4 情境引入 具体问题：已知点A（3.5,4），求其关于y轴对称 的点的坐标. 已知点A（3.5,4），求其关于y轴对称的点的坐标.接下来我们在坐标系中作出其对称点 5 探究新知 x y O A (3.5,4) (-3.5,4) C(3,-3) (-3,-3) B(-4,2) (4,2) ┌ ┌ ┌ H A′ B' C′ 过A作AH垂直y轴于点H,并延长AH至点A’,使HA’=AH,则A’为点A关于y轴的对称点，坐标为（-3.5,4）； 现在我们尝试观察一下关于y轴对称的点A、A′的坐标有什么关系？ 生答：横坐标互为相反数，纵坐标相等。 师：真棒！接下来，我们再同样探究B、C两点！作出B关于y轴对称的点B′，纵坐标为2，横坐标为4，坐标为（4,2），作出C关于y轴对称的点C′，纵坐标为-3，横坐标为-3，坐标为（-3,-3）， 将它们都填入表格中进行对比观察 6 探究新知 已知点 A( 3.5 ,4) B( -4 ,2) C( 3 , -3) 关于y轴的对称点 A′(-3.5 ,4) B′( 4 ,2) C′(-3 , -3) 规律：关于y轴对称的两个点， 横坐标互为相反数,纵坐标相等。 公式：P(a,b) P′ (-a,b) 关于y轴对称 师：关于y轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律呢？ 生答：横坐标互为相反数，纵坐标相等。 师：那你能说出任一点（a,b）关于y轴对称的点的坐标吗？ 生答：（-a,b）； 师：正确。这里体现了从特殊到一般的数学思想，并且我们还可以结合之前学过的轴对称的性质来验证一下 7 探究新知 P O ┌ ┌ a b -a P′ ┌ = = 为什么？ P(a,b) 关于 y轴对称 P′ (-a,b) y x 如图，在坐标系中任取一点P（a,b），根据坐标的定义可知，作x轴的垂线，垂足对应的数为a，作y轴的垂线，垂足对应的数为b；现作出其关于y轴的对称点P′ ，根据轴对称的性质：对称轴是任意一对对称点连线段的垂直平分线，因为垂直，所以纵坐标为b，因为平分，所以两条线段相等，因此横坐标为-a。所以P′ 坐标为（-a,b） 刚才我们探究了关于y轴对称的两个点的坐标的变化规律，接下来我们类比探究关于x轴对称的两个点的坐标的变化规律： 8 x y O A (3.5,4) A′′(3.5,-4) ┌ C(3,-3) C′′ (3,3) B(-4,2) B′'(-4,-2) ┌ ┌ 探究新知 类比探究： 关于x轴对称的两个点的 坐标变化规律. 先作出点A关于x轴对称的点A′′，A′′坐标为（3.5,-4）；再作出点B关于x轴对称的点B′′,坐标为（-4，-2），再作出点C关于x轴对称的点C′′,坐标为（3,3），将其填入表格中 9 探究新知 已知点 A(3.5 , 4) B(-4 , 2) C(3 , -3) 关于x轴的对称点 A′′(3.5,-4) B′′(-4,-2) C′′(3, 3) 规律：关于x轴对称的两个点， 横坐标相等，纵坐标互为相反数。 公式：P(a,b) 关于x轴对称 P′ ′ (a,-b) 你观察到每对对称点的坐标变化有什么规律吗？ 生答：横坐标都相等，纵坐标都互为相反数。 师：完全正确！ 那你能说出点（a,b）关于x轴对称的点的坐标吗？ 生答（a,-b）； 师:完全正确。同样，我们也可以结合之前学过的轴对称的性质来验证一下 10 探究新知 P O ┌ ┌ b a -b P′′ ┌ = = 为什么？ P(a,b) 关于 x轴对称 P′′(a,-b) x y 如图，在坐标系中任取一点P（a,b），根据坐标的定义可知，作x轴的垂线，垂足对应的数为a，作y轴的垂线，垂足对应的数为b；现作出其关于x轴的对称点P′′ ，同理，因为对称轴是任意一对对称点连线段的垂直平分线，因为垂直，所以横坐标为a，因为平分，所以两条线段相等，因此纵坐标为-b。所以P′′ 坐标为（a,-b） 下面总结归纳一下： 11 探究新知 归纳：关于坐标轴对称的点的坐标变化规律： P′(a,-b) 关于x轴对称 P(a,b) P(a,b) P′ ′ (-a,b) 关于y轴对称 横反纵同 横同纵反 数形结合 关于坐标轴对称的点的坐标规律： 点（a,b）关于x轴对称的点为（a,-b）（特点是横坐标相等，纵坐标互为相反数，简述为横同纵反） 点（a,b）关于y轴对称的点为（-a,b）（特点是横坐标互为相反数，纵坐标相等，简述为横反纵同） 那如何用一句话概括他们的共同特点呢？因为关于x轴对称，是横同纵反，关于y轴对称，是横反纵同，所以可以概括为：关于谁，谁不变，其余相反。 除此之外，这里用代数的形式刻画了关于坐标轴对称的两点的特点，它还体现了数形结合思想。下面对其进行应用。 12 应用新知 例1. 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1), B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),请写出它们关于y轴对称的点的坐标，再画出四边形ABCD关于y轴对称的图形. x y A B C D O 描出这四个点并依次连接即可. 5 1 2 1 2 5 5 4 A ′ B ′ C ′ D ′ 解:顶点A的对称点的坐标为（ ， ） 顶点B的对称点的坐标为（ ， ） 顶点C的对称点的坐标为（ ， ） 顶点D的对称点的坐标为（ ， ） 例1. 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),请写出它们关于y轴对称的点的坐标，再画出四边形ABCD关于y轴对称的图形. 我们知道点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为 （-a,b） ,根据横反纵同，因此顶点A关于y轴对称的点的坐标为（ 5 , 1 ),顶点B的对称点的坐标为( 2 , 1 ),顶点C的对称点的坐标为( 2 , 5 ),顶点D的对称点的坐标为( 5 , 4 ),紧接着在坐标系中描出这四个点，依次连接A′ B′ 、B′ C′ 、C′ D′ 、D′ A′ ，就得到四边形ABCD与y轴对称的四边形A′B′C′D′了。所以在坐标系中作已知图形关于坐标轴对称的图形的步骤分为三步 13 应用新知 小结：在坐标系中作已知图形关于坐标轴对称的图形： 一求：求已知图形的一些特殊点的对称点的坐标； 二描：在坐标系中描出这些对称点； 三连：顺次连接这些对称点得到对称图形. 一求，二描，三连。接下来，我们模仿练习一下 14 应用新知 练习1. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5), B(- 4，1),C(-1，3) ，作出△ABC关于x轴对称的图形. x y O A B C A' B ' C' 分析：A'(-3,-5) B' (-4,-1) C' (-1,-3) 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3) ，作出△ABC关于x轴对称的图形. 一求。我们知道点(a,b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b) ,根据横同纵反，因此三角形ABC的三个顶点A，B，C，关于x轴对称的点的坐标分别为A′( -3 , -5 ), B′( -4 , -1 ),C′( -1 , -3 ), 二描。在坐标系中描出这三个点， 三连。依次连接A′ B′ 、B′ C′ 、C′ A′，就得到三角形ABC与x轴对称的三角形A′B′C′了。 15 应用新知 例2. 已知点A（a-b，3），点B（2，b） (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若点A、B关于y轴对称，求a、b的值． 解:(1)由题可得 ，解得 (2)由题可得 ，解得 （1）因为关于x轴对称，所以根据横同纵反，可得，，，， （2）因为关于y轴对称，所以根据横反纵同，可得，，，， 这里结合了方程一起应用。除此之外，还可以结合不等式一起应用，比如 16 应用新知 例3. 已知点P（a+1，2a-1 ）关于x轴的对称点在 第一象限，求a的取值范围. 解:由题可得，点P关于x轴的对称点为（a+1， ） , 在第一象限 解得 即a的取值范围 由题可知，要先求出点P关于x轴的对称点的坐标，根据横同纵反，其坐标为（a+1，1-2a） 因为在第一象限，所以,,,,,,,,,,, 当然也可以反过来思考点P所在的象限，因为其关于x轴对称的点在第一象限，所以它就在第四象限，进而列出不等式组解决问题。 通过这道题，我们可以知道 17 应用新知 小结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或 判断已知点所在的象限，再由各象限内点 的坐标的符号列不等式(组)求解. 以上就是我们这节课学习的内容，那这节课包含了哪些内容呢？ 我们一起总结一下 18 课堂小结 用坐标表示轴对称 3种思想： 1个公式： 2类应用： 从特殊到一般、类比思想、数形结合 P′(a,-b) P(a,b) P′′(-a,b) 关于y轴对称 横反纵同 横同纵反 P(a,b) 关于x轴对称 作轴对称图形：一求二描三连 列方程（组）或不等式（组） 通过这节课的学习，我学到……？ 可以归纳为1个公式，2类应用，3种思想， 那还有没有其它的应用呢？课下请大家思考一下： 19 课后作业 1、必做作业： 作业练习单1、2、3、4题； 2、选做作业： （1）建立直角坐标系，在坐标系中设计一 个轴对称图形，并写出各顶点的坐标; （2）探究关于直线x=m或关于直线y=n或关 于一、三象限角平分线或关于二、四 象限角平分线对称的点的坐标变化规律. 20 课后作业 1.在坐标平面上有一个轴对称图形，其中点A(3，6)和 B(3，-6)是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C(2，4)，则C点对称点的坐标是 　 2.已知点P(2a+b,-3a)与点P′(8,b+2). 若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____，b=_______. 若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____ ，b=_______. 21 课后作业 3.如图，在平面直角坐标系中，点P(-1，2)关于直线x=1（直线上的所有点的横坐标都为1）的对称点的坐标为（　　） A.（1，2） B.（2，2） C.（3，2） D.（4，2） 22 课后作业 4.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，1),B(- 4，1),C(-2，4) （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C',并写出B'、C'的坐标； （2）如果要使△ABD 与△ABC全等，求点D的坐标. x y O A B C 这节课我们就上到这里，同学们再见！ 23 结束语 同学们，再见！ 24 null 4608.0 null 5424.0 null 4032.0 null 3984.0 null 1296.0 null 4536.0 null 1800.0 $$ 作业练习 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 用坐标表示轴对称 教科书 书 名：义务教育教科书 数学八年级上册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年 6月 作业练习 1.在坐标平面上有一个轴对称图形，其中点A(3，6)和 B(3，-6)是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C(2，4)，则C点对称点的坐标是 2.已知点P(2a+b,-3a)与点P′(8,b+2). 若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____，b=_______. 若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____ ，b=_______. 3.如图，在平面直角坐标系中，点P(-1，2)关于直线x=1（直线上的所有点的横坐标都为1）的对称点的坐标为（　　） A.（1，2） B.（2，2） C.（3，2） D.（4，2） 4.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，1),B(- 4，1),C(-2，4) （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′,并写出B′、C′的坐标； （2）如果要使△ABD 与△ABC全等，求点D的坐标. 参考答案： 1、（2，-4） 2、2,4 6,-20 3、C 4、（1）如图所示： B′（4，1） C′（2，4） （2）(-2,-2)(-3,4),(-3,-2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习任务单 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 用坐标表示轴对称 教科书 书 名：义务教育教科书 数学八年级上册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年 6月 学习目标 1.在平面直角坐标系中，探究关于坐标轴对称的点的坐标特点. 2.能根据关于坐标轴对称的点的坐标特点画出一些简单的关于坐标轴对称的图形. 重点：探究关于坐标轴对称的点的坐标特点. 难点：能根据关于坐标轴对称的点的坐标特点解决有关图形变换的问题. 课前学习任务 准备铅笔、直尺等作图工具； 回顾上节课学习的作一个图形的轴对称图形的方法并预习课本第69页至70页相关内容。 课上学习任务 【学习任务一】归纳关于坐标轴对称的两个点的坐标变化规律 【学习任务二】应用关于对称轴对称的点的坐标变化规律在坐标系中作轴对称图形 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4), 请写出它们关于y轴对称的点的坐标，再画出四边形ABCD关于y轴对称的图形. 解析:点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为 ,因此四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D关于y轴对称的点分别为A′( , ), B′( , ), C′( , ), D′( , ),依次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，就得到四边形ABCD与y轴对称的四边形A′B′C′D′. 【学习任务三】应用关于对称轴对称的点的坐标变化规律解决问题 1.已知点A（a-b，3），点B（2，b） (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若点A、B关于y轴对称，求a、b的值． 2.已知点P（a+1，2a-1 ）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围. 推荐的学习资源 1.收看网络课程：用坐标表示轴对称. 2.阅读课本第69页至70页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 用坐标表示轴对称 教科书 书 名：义务教育教科书 数学八年级上册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年6月 教学目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：通过具体情境的引入，让学生在找对称点的同时，感知点 的对称与平面直角坐标系之间的联系，激发学生的兴趣，让学生感受到生活中处处有数学。 2.会用数学的思维思考现实世界：用生活情境导入，提高学生的分析问题和用数学语言总结生活问题的能力，让学生体会数学的应用价值，培养类比、分类讨论的数学思想。 3.会用数学的语言表示现实世界：通过对用坐标表示轴对称的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义和价值。 教学内容 教学重点： 探究关于坐标轴对称的点的坐标特点. 教学难点： 能根据关于坐标轴对称的点的坐标特点解决有关图形变换的问题. 教学过程 （1） 要点回顾 1.作点的轴对称图形：如果直线MN外有一点A，那怎样画出点A关于直线MN的对称点A′？ 2.用坐标表示平移：点(x,y)经过上、下、左、右平移a个单位后的点的坐标分别是多少？ （2） 情境引入 如图，西直门和东直门是关于中轴线对称的.以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立了平面直角坐标系后，小丽与小明进行了一段有趣的通话： 小丽：我在东直门，这里坐标为(3.5,4)， 小明：我在西直门等你，你根据我所在位置的坐标来找我吧。 提出具体问题：已知点A（3.5,4），求其关于y轴对称的点的坐标, （三）探究新知 (1)在坐标系中作出点A的对称点，坐标是多少呢？ （2）尝试观察关于y轴对称的点A、A′的坐标有什么关系？ （3）再同样探究B、C两点，并将坐标都填入表格中进行对比观察，则关于y轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律呢？ 已知点 A(2,3) B (-4,2) C(3,-4) 关于y轴的对称点 （4）那你能说出任一点（a,b）关于y轴对称的点的坐标吗？ （5）我们还可以结合之前学过的轴对称的性质来验证一下。 （6）同样的，类比探究关于x轴对称的两个点的坐标变化规律. 归纳：关于坐标轴对称的点的坐标特点： 点P（a,b）关于x轴对称的点的坐标为P′(a,-b). (特点是横坐标相等，纵坐标互为相反数，简述为横同纵反) 点P（a,b）关于y轴对称的点的坐标为P′′(-a,b). (特点是横坐标互为相反数，纵坐标相等，简述为横反纵同) 数学思想：数形结合 （3） 应用新知 例1.如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4), 请写出它们关于y轴对称的点的坐标，再画出四边形ABCD关于y轴对称的图形. 解析:点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为 ,因此四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D关于y轴对称的点分别为A′( , ), B′( , ), C′( , ), D′( , ),依次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，就得到四边形ABCD与y轴对称的四边形A′B′C′D′. 小结：在坐标系中作已知图形的对称图形的步骤： 一求。求已知图形的一些特殊点的对称点的坐标； 二描。在坐标系中描出这些对称点； 三连。顺次连接这些对称点得到对称图形. 练习1.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3) ，作出△ABC关于x轴对称的图形. y x y O O x 例2.已知点A（a-b，3），点B（2，b） (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若点A、B关于y轴对称，求a、b的值． 解：（1）由题可得，解得. （2）由题可得，解得. 例3.已知点P（a+1，2a-1 ）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围. 解：由题可得,点P关于x轴的对称点为（a+1， ） 在第一象限 , 解得 即a的取值范围是 小结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标，再由已知条件列方程（组）或由各象限内点的坐标的符号列不等式(组)求解. （四）课堂小结 通过这节课的学习，我学到……？ 1个公式：点P（a,b）关于x轴对称的点的坐标为P′(a,-b).(简记为横同纵反) 点P（a,b）关于y轴对称的点的坐标为P′(-a,b).(简记为横反纵同) 2种应用：作轴对称图形：一求二描三连； 列方程（组）或不等式（组）. 3种思想：从特殊到一般、类比思想、数形结合思想. 那还有没有其它的应用呢？课下请大家思考一下： （五）课后作业 1、必做：作业练习单1、2、3、4题； 2、选做：（1）建立直角坐标系，在坐标系中设计一个轴对称图形，并写出各顶点的坐标; （2）探究关于直线x=m或关于直线y=n或关于一三象限角平分线或关于二四象限角平分线对称的点的坐标变化规律. 必做作业如下： 1.在坐标平面上有一个轴对称图形，其中点A(3，6)和 B(3，-6)是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C(2，4)，则C点对称点的坐标是 2.已知点P(2a+b,-3a)与点P′(8,b+2). 若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____，b=_______. 若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____ ，b=_______. 3.如图，在平面直角坐标系中，点P(-1，2)关于直线x=1（直线上的所有点的横坐标都为1）的对称点的坐标为（　　） A.（1，2） B.（2，2） C.（3，2） D.（4，2） 4.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，1),B(- 4，1),C(-2，4) （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′,并写出B′、C′的坐标； （2）如果要使△ABD 与△ABC全等，求点D的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$