12.3角的平分线的性质 课件2024-2025学年人教版 数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 学习目标 1.掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题 2.掌握画一个角的平分线的方法 2 如图，AB=AD，BC=DC，沿着A，C画一条射线AE. 求证：∠DAC=∠BAC 探究：角的平分线的画法 证明：在△ADC和△ABC中， AD=AB， DC=BC， AC=AC， ∴△ADC≌△ABC（SSS) ∴∠DAC=∠BAC ∵ 3 探讨：角的平分线的画法 作∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N 4 探讨：角的平分线的画法 作∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，得OM=ON （2）分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C 5 探讨：角的平分线的画法 作∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，得OM=ON （2）分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C 6 探讨：角的平分线的画法 作∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，得OM=ON （2）分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，得CM=CN 7 探讨：角的平分线的画法 作∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，得OM=ON （2）分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，得CM=CN （3）画射线OC，射线OC即为∠AOB的角平分线 8 探讨：角的平分线的画法 作∠AOB的平分线. 证明：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴△OMC≌△ONC（SSS) ∴∠MOC=∠NOC 即射线OC为∠AOB的角平分线 ∵ 9 总结：角的平分线的画法 作∠AOB的平分线. （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，得OM=ON （2）分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，得CM=CN （3）画射线OC，射线OC即为∠AOB的角平分线 10 探讨：角的平分线的性质 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，求证PD=PE. 11 探讨：角的平分线的性质 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的角平分线OC.在OC上任取一点P，过点P作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，求证PD=PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90° ∵oc平分∠AOB，∴∠DOP=∠EOP 证明：在△DOP和△EOP中， ∠ODP=∠OEP， ∠DOP=∠EOP， OP=OP， ∴△DOP≌△EOP（AAS) ∴PD=PE ∵ 12 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵oc平分∠AOB（或者∠DOP=∠EOP） PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 13 探讨：角的平分线的判定 到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 在∠AOB内部有一点P，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上. 14 探讨：角的平分线的判定 到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 在∠AOB内部有一点P，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL” 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠ODP=∠OEP=90°， 所以△ODP和△OEP是直角三角形 在Rt△ODP和Rt△OEP中， OP=OP， PD=PE， ∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL) 所以∠DOP=∠EOP 即点P在∠AOB的角平分线上 ∵ 15 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴点P在∠AOB的角平分线上 16 【例题】 如图，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：因为∠acb=∠adb=90°， 所以△ABC和△ABD是直角三角形 在Rt△ABC和Rt△ABD中， AB=AB， AC=AD， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL) ∵ 所以∠cab=∠dab 【例题】 如图，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作pd，pe，pf分别垂直于ab， bc，ca，垂足分别为d，e，f ∵bm是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE 同理PE=PF ∴PD=PE=PF 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 点P在∠A的角平分线上吗？ 【例题】 如图，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：∵PD⊥AB，PF⊥AC且PD=PF ∴点P在∠A的角平分线上 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 【例题】 如图，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：∵PD⊥AB，PF⊥AC且PD=PF ∴点P在∠A的角平分线上 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明三角形三条角平分线交于一点 感谢聆听 $$