精品解析：山东省临沂市第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 2. 过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式求相应的斜率，结合图形分析斜率的取值范围. 【详解】如图所示： 则， 若过点的直线与线段MN相交，所以. 故选：B. 3. 在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求出结果． 【详解】三棱柱中，记，，， 如图所示： 故 ． 故选：D． 4. 已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得. 【详解】设对称点坐标，由题意知直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为-1， 所以，化简得，① 再由的中点在直线上，，化简得，② 联立①②，可得，所以对称点的坐标为. 故选：A. 5. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 6. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解A，根据向量垂直可判断B，根据线面角的定义，结合向量夹角即可求解C，根据共面的推论即可求解D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误， 对于B，由于，故，则或，故B错误， 对于C，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，C正确， 对于D，由于，，，四点共面，故，故，D错误， 故选：C 8. 在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则当取最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，为三棱锥的高时，为所求，可设，则,可求出点到平面的距离,得到，再利用，得，解出即可. 【详解】由题意，在空间直角坐标系中，，，， 设，为平面的法向量， 则，,， 则， 令则，故， 则点到平面的距离为， 所以， 则 又，， 即， 所以，代入 可得， 则 所以，则 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 11. 已知正方体的棱长为1，为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理即可判断； 对于B选项，由题与平面所成角即为,计算即可判断； 对于C选项，利用展开图即可判断； 对于D选项，利用，，三点共线. ，，即此时到直线的距离最小即可判断. 【详解】对于A选项，则， 由题可知，平面，且平面，则， 又，平面， 平面，平面，则， 同理可得，，平面， 直线平面， 平面即为平面，,平面,则选项A正确； 对于选项B：如图，连接交于点，连接，知平面， 所以即为与面所成角，所以， 由在上知，所以， 因为，所以的范围是， 即直线与平面所成角的范围是，故B错误； 对于C项，把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，作点关于线段的对称点，过点作，的垂线，垂足分别为和， 则，设，则， 故，故. 对于D项，当时，平面且，，三点共线.此时，， 即此时到直线的距离最小，最小值为. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线上的点为，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线上的点为， 点直线的距离为， 原点到l的距离为， 所以，解得或， 所以此点的坐标为或. 故答案为：或. 13. 已知空间向量两两夹角为，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出，再运用向量的模长公式展开，代入即得. 【详解】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 14. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线a，b所成的角为，可得与得夹角为或，再由，两边同时平方，结合数量积得运算律即可得解. 【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为， 则与得夹角为或，则， 由， 得， 即， 所以， 即公垂线. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量表示，并求出的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度； （2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果. 【小问1详解】 ， 因为，同理可得， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 16. 已知点，_______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答 （1）求直线的方程； （2）求直线：关于直线的对称直线的方程 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件③：点的坐标为，直线过点且与直线垂直. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）选择条件①：由题意可得是线段的垂直平分线，根据垂直关系可得斜率，再结合中点坐标，根据点斜式即可求解方程；选择条件②：根据平行关系可得斜率，再根据点斜式即可求解方程；选择条件③：根据垂直关系可得斜率，再根据点斜式即可求解方程； （2）联立，的方程可得两直线的交点坐标，在直线：上取，求得对称点坐标，再根据两点式即可求解方程. 【小问1详解】 选择条件①：因为点关于直线的对称点的坐标为， 所以是线段的垂直平分线， 又，所以直线的斜率为. 又线段的中点坐标为，所以直线的方程为，即. 选择条件②：因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 选择条件③：因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由解得故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点，， 代入两点式方程得，即， 所以直线：关于直线的对称直线的方程为. 17. 已知直线，. （1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； （2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【小问1详解】 设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； 【小问2详解】 由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接EC，设与AC相交于点O，如图， 因为，且，， 所以四边形为矩形， 所以O为的中点，又因为G为PB的中点， 所以OG为的中位线，即， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为平面GAC，平面GAC，， 所以平面平面GAC. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 所以，，因为， 所以两两互相垂直， 以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，所以， 令，可得，，所以， 设直线与平面所成角为θ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】（1） 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 2. 过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 6. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 8. 在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则当取最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 11. 已知正方体的棱长为1，为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为______. 13. 已知空间向量两两夹角为，且，则_______． 14. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量表示，并求出的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 已知点，_______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答 （1）求直线的方程； （2）求直线：关于直线的对称直线的方程 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件③：点的坐标为，直线过点且与直线垂直. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知直线，. （1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； （2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $