精品解析：福建省泉州市安溪第一中学2024-2025学年高一上学期第一次学情调研数学试题

安溪一中2024年年秋季第一次学情调研 高一数学 命题人：林碧珍 审核人：许永顺 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可求得，再求即可. 【详解】因为集合，， 且，则有， 或， 则. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案. 【详解】命题“”为全称量词命题, 它否定为, 故选：A 3. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，且，可得，正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项. 【详解】因为，， 则，所以，. AD选项，令，满足条件，， 但，则，故AD错误； B选项，由，则，故B正确； C选项，由，则，故C错误. 故选：B. 4. 已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A. 12 B. 21 C. 102 D. 201 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的条件，列出所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出的值后代入求值. 【详解】由得的取值情况如下： 当时，，或，，此时不满足条件； 当时，或此时不满足条件； 当时，此时不满足条件； 当时，此时满足条件； 综上得，代入. 【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏. 5. 设U＝{不大于10的正整数}，A＝{10以内的素(质)数}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩(∁UB)是(　　) A. {2,4,6,8,9} B. {2,4,6,8,9,10} C. {1,2,6,8,9,10} D. {4,6,8,10} 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，求得集合A，再分别求得，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合A＝{2,3,5,7}，则∁UA＝{1,4,6,8,9,10}和集合∁UB＝{2,4,6,8,10}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,8,10}，故选D. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中正确求解，再根据集合的交集，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ） A 6个 B. 7个 C. 15个 D. 16个 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，；，， ∴非空集合M为，，，，，，，共7个． 故选：B 7. 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意首先求出的取值范围，再根据充分不必要的含义求解即可. 【详解】由题意，不妨设， 因为，且有一个正实数根和一个负实数根， 所以的图像开口向下，即， 故 对于选项ABCD，只有C选项：是的充分不必要条件. 故选：C. 8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】解：因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 又，所以， 即， 所以的最小值为1， 所以， 即的最大值为1. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后函数(代数式)的最值即可得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合得题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 在下列结论中，正确的有（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C. 若，则“”是“a，b全不为0”的充要条件 D. 若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可得出选项. 【详解】对于选项A，由得， 但是适合，推出，故A正确； 对于选项B，在中，为直角三角形， 但为直角三角形或 或，故B错误； 对于选项C，由全不为0， 由a，b全不为，故C错误； 对于选项D，由不全为0， 反之，由a，b不全为，故D正确； 故选：AD． 10. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据可得，再代入推导即可；对B，由推导即可；对C，举反例判断即可；对D，根据代入化简即可判断. 【详解】对A，根据可得，故即，即. 因为恒成立，故成立，故A正确； 对B，因为，故，故成立； 对C， 当时，满足且，但不成立，故C错误； 对D，因为，，因为，故，故D正确. 故选：ABD 11. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若，，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对每一个选项利用基本不等式计算判断即可，注意成立条件． 【详解】对于A： 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：， ∴ . 当且仅当＝，即y＝，x＝取等号，故B正确； 对于C： ，当且仅当时，即，时取等号，故C不对； 对D：， 当且仅当，即等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分为，根据补集运算求出，再根据交集运算，即可求出结果. 【详解】由图可知，阴影部分为， ∵或，∴ ∴．. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，以及图得应用，属于基础题. 13. 命题“，使得不等式”是真命题，则m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 对分类讨论，计算可得. 【详解】解：因为命题“，使得不等式”是真命题 当时，恒成立，满足条件； 当时，则解得 综上可得即 故答案为： 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，属于中档题. 14. 已知，，，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 分析】 利用代入，将式子进行齐次化处理，变为，进一步使用均值不等式即可. 【详解】 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：值得注意的是，如果直接将式子拆分化简，变成两个式子分别求最值的话，会发现等号是取不到的，所以我们采用“齐次化”的方法，将代入处理. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，从而求出，； （2）解不等式，得到，根据，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，解得：， 故， 因为，所以或， 故或或 【小问2详解】 ，解得：， 故， 显然，所以， 要想，则，解得：， 故实数a的取值范围为 16. 设命题实数满足，其中，命题实数满足. （1）若，且均为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据的值，进行计算，最后取它们的公共部分，可得结果. （2）根据等价转换思想，从集合的角度考虑，可得结果. 详解】（1）由， 当时，， 即为真命题时， 实数的取值范围是. 又为真命题时， 实数的取值范围是， 所以，当均为真命题时， 有解得， 所以实数的取值范围是. （2）是的充分不必要条件， 即且. 设或， 或， 则 所以且，即. 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题重在于考查根据充分、必要条件求值，这种问题可转换为集合的问题，分析清楚，仔细计算即可，属中档题. 17. 若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”. （1）分别判断集合是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合A是“好集”，求证：若x、，则； （3）对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有. 【答案】（1）A不是“好集”；理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义验证，从而可说明集合不是“好集”； （2）根据定义由，，得到，从而可得到； （3）分x，y为0或1和x，y均不为0且不为1两种情况，根据定义分别证明若x，，则，进而利用（2）的结论，证明，和，最后有. 【小问1详解】 集合不是“好集”，理由是，，而， 所以不是“好集”； 【小问2详解】 因为集合是“好集”，所以， 若，则，即， 所以，即； 【小问3详解】 对任意一个“好集”A，任取x、； 若x、y中有0和1时，显然； 下设x、y均不含0，1，由定义得，，， 所以，所以， 由（2）得，同理， 若或，显然； 若，且，则； 所以. 18. 中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元设屋子的左右两面墙的长度均为． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立函数，利用基本不等式，可得答案； （2）由题意，等价转化为不等式恒成立问题，利用分离参数，建立新函数，结合基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设甲工程队的报价为元， ， 由，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低. 【小问2详解】 由题意可知：不等式在上恒成立， 化简不等式可得：， 设， 由时，则， 所以. 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【答案】（1）； （2）比更远离，理由见解析 （3）比更远离，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果； （2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可； （3），可得，然后分类判断与的大小关系即可. 【小问1详解】 根据题意可得：， 所以，解得； 【小问2详解】 比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； 【小问3详解】 因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即； ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安溪一中2024年年秋季第一次学情调研 高一数学 命题人：林碧珍 审核人：许永顺 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A B. C D. 3. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A. 12 B. 21 C. 102 D. 201 5. 设U＝{不大于10的正整数}，A＝{10以内的素(质)数}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩(∁UB)是(　　) A. {2,4,6,8,9} B. {2,4,6,8,9,10} C. {12,6,8,9,10} D. {4,6,8,10} 6. 同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 15个 D. 16个 7. 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 8. 不等式对所有正实数,恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合得题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 在下列结论中，正确的有（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C. 若，则“”是“a，b全不为0”的充要条件 D. 若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 10. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 13. 命题“，使得不等式”是真命题，则m的取值范围是________. 14. 已知，，，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 设命题实数满足，其中，命题实数满足. （1）若，且均为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”. （1）分别判断集合是否是“好集”，并说明理由； （2）设集合A是“好集”，求证：若x、，则； （3）对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有. 18. 中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元设屋子的左右两面墙的长度均为． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$