精品解析：江西省赣州市南康区第三中学2024-2025学年高一上学期第一次大考（10月）数学试题

南康三中2024-2025学年第一学期高一年级第一次大考 数学试题卷 （2024.10.10） 审题人：邓梅 命题人：袁源贵 满分150分．考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定即可. 【详解】对于A项，举反例即可，若，则，故A错误； 对于B项，举反例即可，若，则，故B错误； 对于C项，∵，∴，则，故C正确； 对于D项，举反例即可，若，则不成立，故D错误. 故选：C 3. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再结合包含关系求出集合的个数. 【详解】依题意，，由，知， 因此集合可视为集合与集合的子集的并集，又的子集有个， 所以集合C的个数为8. 故选：A 4. 已知一元二次方程，则“”是“方程有两个不相等的实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根的充要条件及其简易逻辑的判定方法即可得出结论． 【详解】根据方程为一元二次方程，得. 由方程有两个不相等的实数根，可得，不一定得到，例如方程：； 若，则，方程有两个不相等的实数根． ∴已知一元二次方程，则“”是“方程有两个不相等的实数根”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 已知，均为正数，且，的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用“乘1法”即得. 【详解】∵，均为正数，且，∴ 则， 当且仅当即时取等号. 故选：C． 6. 若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求原不等式解集，按m与3的大小分类讨论，使得m的取值满足题意即可. 【详解】原不等式等价于 有两根 当时，原不等式解集为， 其中最多只有2个正整数1和2，故不满足题意. 当时，原不等式解集为， 其中恰有3个正整数只能为4、5、6， 故. 故选：A. 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. R B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次不等式的解集与系数的关系可得，再求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为，故，且与为方程的两根.故，解得，故不等式，即，故，解得或. 故选：D 8. 不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式恒成立，讨论、列不等式组求参数范围. 【详解】不等式 对于恒成立， 当时，不等式成立； 当时，，可得； 综上：的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. “是无理数”是“是无理数”的充要条件. B. 命题“，则”的否定是“存在” C. “都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】A,C,D从充分性和必要性两方面证明即可，B应用含有量词的否定判断. 【详解】对A，，若“是无理数”则“是无理数”，充分性成立， 若是无理数，则是无理数，必要性成立， 故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故A正确； 对B，命题“，则”的否定是“存在”，B错误； 对C，都是偶数，设，则为偶数，充分性成立， 当时，为偶数，但都是奇数，必要性不成立， 故“都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，C正确； 对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，D正确. 故选：ACD. 10. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 11. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. xy最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】 选项ABC直接利用基本不等式求解即可；选项D将原式乘以后展开，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，由选项A得，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，又x，y是正数，故等号不成立，故C错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，集合元素的互异性求得正确答案. 【详解】依题意， 当时，，此时，不符合题意. 当时，（舍去）或， 当时，，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 13. 若命题“”是假命题，则实数的最大值__________. 【答案】 【解析】 【分析】由命题的否定转化为能成立问题，利用分离参数法和基本不等式即可求解. 【详解】由题知命题的否定“”是真命题． 即，即，其中， 因为，当且仅当时等号成立，则 故实数的最大值为 故答案为：. 14. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 【答案】16 【解析】 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式； （1）； （2）： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法解原不等式，即可得出诸不等式的解集． （2）化简后解不等式组即可得到答案； 【小问1详解】 由可得， 即，解得， 故原不等式的解集为． 【小问2详解】 由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 16. 设集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解， （2）根据充分不必要条件转化为以 ，即可根据包含关系求解． 【小问1详解】 由题意知， 当，得； 当，得． 综上所述：实数的取值范围为． 【小问2详解】 由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得实数的取值范围为． 17. （1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ； （2）证明:因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 【解析】 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质证明即可． 【详解】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）略. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 【答案】（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值即可. 【小问1详解】 由题意得，所用篱笆总长为， 因为， 当且仅当时，即，时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. 【小问2详解】 由题意得，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是. 19. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围； （3）若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知不等式的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）由题意得出，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为不等式的解集是或， 所以，和是方程的两个实数根，且， 由韦达定理得，所以； （2）由于不等式的解集是， 所以，解得， 因此，实数的取值范围是； （3）由于不等式的解集为， 则不等式对任意的恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康三中2024-2025学年第一学期高一年级第一次大考 数学试题卷 （2024.10.10） 审题人：邓梅 命题人：袁源贵 满分150分．考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. 已知一元二次方程，则“”是“方程有两个不相等的实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，均为正数，且，的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 1 6. 若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. R B. C. D. 或 8. 不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. “是无理数”是“是无理数”的充要条件. B. 命题“，则”的否定是“存在” C. “都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. xy最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为4 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 13. 若命题“”是假命题，则实数的最大值__________. 14. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式； （1）； （2）： 16. 设集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 19. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围； （3）若不等式的解集为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $