第1章 专题训练一 带电粒子在匀强磁场中的运动的临界与极值-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册同步练习（人教版2019）

第一章 安培力与洛伦兹力 练 1. 如图所示， 在 MNQP 中 有一垂直纸面向里的匀 强磁场。 质量和电荷量 都相等的带电粒子 a 、 b 、 c ， 以不同的速率从 O 点沿垂直于 PQ 的方向射入磁场， 图中实线是它们的运动 轨迹。 已知 O 是 PQ 的中点， 不计粒子重 力。 下列说法正确的是 （ ） A. 粒子 a 带负电， 粒子 b 、 c 带正电 B. 射入磁场时粒子 a 的速率最小 C. 射出磁场时粒子 b 的动能最小 D. 粒子 c 在磁场中运动的时间最长 2. （多选） 在 xOy 平面上 以 O 为圆心、 半径为 r 的圆形区域内 ， 存在 磁感应强度为 B 的匀 强磁场 ， 磁场方向垂 直于 xOy 平面。 一个质量为 m 、 电荷量为 q 的带电粒子， 从原点 O 以初速度 v 沿 y 轴正方向开始运动， 经时间 t 后经过 x 轴 上的 P 点 ， 此时速度与 x 轴正方向成 θ 角， 如图所示。 不计重力的影响， 则下列 关系一定成立的是 （ ） A. 若 r< 2mv qB ， 则 0°<θ<90° B. 若 r≥ 2mv qB ， 则 t≥ πm qB C. 若 t= πm qB ， 则 r= 2mv qB D. 若 r= 2mv qB ， 则 t= πm qB 3. （多选） 如图所示 ， 圆形 区域半径为 R ， 区域内有 一垂直纸面向外的匀强磁 场， 磁感应强度的大小为 B ， P 为磁场边界上的最低 点。 大量质量为 m 、 电荷量大小为 q 的带 负电粒子， 以相同的速率从 P 点射入磁场 区域， 速度方向沿位于纸面内的各个方 向。 粒子的轨道半径为 2R ， A 、 C 为圆形 区域水平直径的两个端点， 粒子重力不 计， 空气阻力不计， 则 （ ） A. 粒子射入磁场的速率为 v= 2RqB m B. 粒子在磁场中运动的最长时间为 t= πm 3qB C. 不可能有粒子从 C 点射出磁场 D. 若粒子的速率可以变化， 则可能有粒 子从 A 点水平射出 4. （多选） 如图所示， 垂直于 纸面向里的匀强磁场分布在 正方形 abcd 区域内， O 点是 cd 边的中点。 一个带正电的 粒子仅在磁场力的作用下， 从 O 点沿纸面 以垂直于 cd 边的速度射入正方形内， 经 过时间 t 0 后刚好从 c 点射出磁场。 现设法 使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30° 角的方向， 以大小不同的速率射入正 方形内， 下列说法正确的是 （ ） M N P Q O a b c 第 1 题图 x y O θ P v v 第 2 题图 A C P 第 3 题图 a b c O d 第 4 题图 专题训练一 带电粒子在匀强磁场中的运动的临界与极值 9 练 高中物理选择性必修 第二册 （人教版） A. 若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5 3 t 0 ， 则它一定从 cd 边射出磁场 B. 若该带电粒子在磁场中经历的时间是 2 3 t 0 ， 则它一定从 ad 边射出磁场 C. 若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5 4 t 0 ， 则它一定从 bc 边射出磁场 D. 若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t 0 ， 则它一定从 ab 边射出磁场 5. 如图所示， 真空室内存在匀强磁场， 磁场 方向垂直于纸面向里， 磁感应强度的大小 B=0.60 T ， 磁场内有一块平面感光板 ab ， 板面与磁场方向平行， 在距 ab 的距离 l= 16 cm 处， 有一个点状的 α 放射源 S ， 它 向各个方向发射 α 粒子， α 粒子的速率都 是 v=3.0×10 6 m/s 。 已知 α 粒子的电荷量与 质量之比 q m =5.0×10 7 C/kg ， 现只考虑在图 纸平面中运动的 α 粒子， 求 ab 上被 α 粒 子打中的区域的长度。 6. 如图所示， 在平面直角坐标系 xOy 的第四 象限有垂直纸面向里的匀强磁场， 一质量 为 m=5.0×10 －8 kg 、 电量为 q=+1.0×10 －6 C 的带电粒子， 从静止开始经 U 0 =10 V 的电 压加速后， 从 P 点沿图示方向进入磁场， 已知 OP=30 cm （粒子重力不计， sin 37°= 0.6 ， cos 37°=0.8 ）， 求： （ 1 ） 粒子到达 P 点时速度 v 的大小。 （ 2 ） 若磁感应强度 B=2.0 T ， 粒子从 x 轴 上的 Q 点离开磁场， 求 OQ 的距离。 （ 3 ） 若粒子不能进入 x 轴上方， 求磁感应 强度 B′ 满足的条件。 x y O P v 37° 第 6 题图 S l a b 第 5 题图 10 第一章 安培力与洛伦兹力 练 7. 如图所示， 磁感应强度大小为 B=0.15 T 、 方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径 为 R=0.10 m 的圆形区域内， 圆的左端与 y 轴相切于直角坐标系原点 O ， 右端与很 大的荧光屏 MN 相切于 x 轴上的 A 点。 置 于原点的粒子源可沿 x 轴正方向以不同的 速度射出带正电的粒子流， 粒子的重力不 计， 比荷 q m =1.0×10 8 C/kg 。 （ 1 ） 请判断当粒子分别以 v 1 =1.5 3 姨 × 10 6 m/s 和 v 2 =0.5 3 姨 ×10 6 m/s 的速度 射入磁场时， 能否打到荧光屏上。 （ 2 ） 要使粒子能打在荧光屏上， 求粒子的 速度 v 0 的大小应满足的条件。 （ 3 ） 若粒子的速度 v 0 =3.0×10 6 m/s ， 且以 过 O 点并垂直于纸面的直线为轴 ， 将圆形磁场逆时针缓慢旋转 90° ， 求 此过程中粒子打在荧光屏上离 A 点 的最远距离。 * 8. 放置在坐标原点 O 的粒子源， 可以向第 二象限内放射出质量为 m 、 电荷量为 q 的带正电粒子， 带电粒子的速率均为 v ， 方向均在纸面内， 如图所示。 若在某区 域内存在垂直于 xOy 平面的匀强磁场 （垂直纸面向外）， 磁感应强度大小为 B ， 则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射 到垂直于 x 轴放置的挡板 PQ 上， 求： （ 1 ） 挡板 PQ 的最小长度。 （ 2 ） 磁场区域的最小面积。 x y O M A C N 2R 第 7 题图 x y O P Q 第 8 题图 11 参考答案与解析 专题训练一 带电粒子在匀强磁 场中的运动的临界 与极值 1. D 【解析】 若 a 、 b 、 c 均带正电， 根据运动电荷 所受洛伦兹力方向即可判断出 a 、 b 、 c 均应向左偏转， b 、 c 偏转方向与假设相反， 因此粒子 a 带正电， 粒子 b 、 c 带负电， 故 A 错误； 带电粒子在磁场中做匀速圆 周运动的向心力由洛伦兹力提供， 即 Bvq= mv 2 r ， 解得 r= mv Bq ， 由此可知， 粒子速度越大时， 轨迹半径越大， 易知射入磁场时粒子 c 的速率最小， 动能最小， 又洛伦 兹力不做功 ， 故 B 、 C 错误 ； 粒子运动的周期为 T= 2πm Bq ， 故粒子在磁场中的偏角越大， 运动时间越长， 故 D 正确。 2. AD 【解析】 带电粒子在 磁场中从 O 点沿 y 轴正方向开 始运动， 圆心一定在垂直于速 度的方向上 ， 即在 x 轴上 ， 轨 道半径 R＝ mv qB 。 当 r≥ 2mv qB 时， P 点在磁场内， 粒子不能射出磁 场区， 所以垂直于 x 轴过 P 点， θ 最大且为 90° ， 运动时 间为半个周期， 即 t＝ πm qB ； 当 r< 2mv qB 时， 粒子在到达 P 点之前射出圆形磁场区， 速度偏转角 φ 在大于 0° 、 小 于 180° 范围内， 如图所示。 能过 x 轴的粒子的速度偏转 角 φ>90° ， 所以过 x 轴时 0°<θ<90° ， A 正确、 B 错误； 同理， 若 t＝ πm qB ， 则 r≥ 2mv qB ， 若 r＝ 2mv qB ， 则 t= πm qB ， C 错误， D 正确。 3. ABD 【解析】 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心 力： qvB= mv 2 r ， 解得 r= mv qB ， 根据题意知 r=2R ， 解得 v= 2RBq m ， 故 A 正确； 当粒子以圆形区域直径 2R 为运 动轨迹对应的弦时， 运动时间最长， 由几何关系可知圆 心角为 60° ， 粒子运动的周期为 T= 2πm qB ， 由此可知粒 子在磁场中运动的最长时间为 t= T 6 = πm 3qB ， 故 B 正确； 粒子的轨道半径为 2R ， 磁场的半径为 R ， PC 间的距离 为 2 姨 R ， 易知粒子可能从 C 点射出， 故 C 错误； 由几 何关系易知， 当粒子的轨道半径为 R 时， 竖直向上射入 的粒子可以从 A 点水平射出， 且速度满足 v= qBR m ， 故 D 正确。 4. AC 【解析】 如图所示， 作出 粒子刚好从 ab 边射出的轨迹 ① 、 刚 好从 bc 边射出的轨迹 ② 、 刚好从 cd 边射出的轨迹 ③ 和刚好从 ad 边射出 的轨迹 ④ 。 由从 O 点沿纸面以垂直 于 cd 边的速度射入正方形内， 经过时间 t 0 后刚好从 c 点射出磁场可知， 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期 是 2t 0 。 由几何关系可知， 从 ad 边射出磁场经历的时间 一定小于 1 3 t 0 ； 从 ab 边射出磁场经历的时间一定大于等 于 1 3 t 0 ， 小于 5 6 t 0 ； 从 bc 边射出磁场经历的时间一定大 于等于 5 6 t 0 ， 小于 4 3 t 0 ； 从 cd 边射出磁场经历的时间一 定是 5 3 t 0 。 综上所述， A 、 C 正确。 5. 20 cm 【解析】 α 粒子带正电， 故在磁场中沿逆时针方向做 匀速圆周运动。 用 R 表示轨 迹半径 ， 有 qvB= mv 2 R ， 由 此得 R= mv qB ， 代入数值得 R=10 cm ， 可见 2R>l>R 。 因 朝不同方向发射的 α 粒子的圆轨迹都过 S ， 由此可知， 某一圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切， 则此切点 P 1 就是 α 粒子能打中的左侧最远点。 为确定 P 1 点的位置， 可作 平行于 ab 的直线 cd ， cd 到 ab 的距离为 R ， 以 S 为圆 心， R 为半径， 作圆弧交 cd 于 Q 点， 过 Q 作 ab 的垂 线， 它与 ab 的交点即为 P 1 。 即 NP 1 = R 2 - （ l-R ） 2 姨 。 再 考虑 N 的右侧。 任何 α 粒子在运动中离 S 的距离不可 能超过 2R ， 以 2R 为半径、 S 为圆心作圆弧， 交 ab 于 N 右侧的 P 2 的点， 此即右侧能打到的最远点。 由图中 几何关系得 NP 2 = （ 2R ） 2 -l 2 姨 ， 所求长度为 P 1 P 2 =NP 1 + NP 2 ， 代入数值得 P 1 P 2 =20 cm 。 6. （ 1 ） 20 m/s （ 2 ） 0.90 m （ 3 ） B′>5.33T （取 “ ≥ ” 也可） x y O O′ φ P v 第 2 题答图 ① ④ ③ ② a b c O d 第 4 题答图 第 5 题答图 N P 2 R M a b c Q d R S 2R P 1 5 第二册 （人教版）高中物理选择性必修 【解析】 （ 1 ） 对粒子的加速过程， 由动能定理 qU 0 = 1 2 mv 2 ， 代入数据得 v=20 m/s 。 （ 2 ） 粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动， 有 qvB= mv 2 R 得 R= mv qB ， 代入数据得 R=0.50 m 。 而 OP sin 37° ＝R＝0.50 m ， 由几何关系知， 粒子的轨迹 圆心一定在 x 轴上， 粒子到达 Q 点时速度方向垂直于 x 轴， 轨迹如图甲所示。 由几何关系可知： OQ＝R＋Rcos 37° ， 故 OQ＝0.90 m 。 （ 3 ） 若粒子恰好不从 x 轴射出， 如图乙所示， 由几何关系得 OP>R′＋R′sin 37° ， R′＝ mv qB′ ， 联立以上两式并代入数据得 B′> 16 3 T≈5.33T （取 “ ≥ ” 也可）。 7. （ 1 ） 速度为 v 1 时 ， 能 ； 速度为 v 2 时 ， 不 能 （ 2 ） v 0 >1.5×10 6 m/s （ 3 ） 0.15 m 【解析】 （ 1 ） 粒子以不同速度射入磁场的轨迹如图 甲所示： 由几何知识得当粒子做圆周运动的半径 r>R 时， 粒 子沿图甲中 ① 方向射出磁场能打到屏上， 当粒子做圆周 运动的半径 r≤R 时， 将沿图甲中 ②③ 方向射出磁场， 不能打到屏上。 当粒子速度为 v 1 时 ， 由洛伦兹力提供向心力 ， 得 qv 1 B=m v 2 1 r 1 ， 解得 n= 3 姨 R>R ， 故能打到屏上 ； 同 理， 当粒子的速度为 v 2 时， 解得 r 2 ＝ 3 姨 3 R<R ， 故不能 打到屏上。 （ 2 ） 设当 v 0 ＝v 3 时， 粒子恰好打不到荧光屏上， 则 这时粒子沿图甲中轨迹 ② 从磁场的最高点竖直向上射出 磁场。 由几何关系可知， 粒子在磁场中的轨迹半径 r 3 ＝ R 。 由洛伦兹力提供向心力 ， 得 qv 3 B＝ mv 2 3 r 3 ， 解得 v 3 ＝ 1.5×10 6 m/s 。 由题意可知， 当 v 0 >1.5×10 6 m/s 时， 粒子 能打到荧光屏上。 （ 3 ） 设速度 v 0 =v 4 =3.0×10 6 m/s 时， 粒子在磁场中做 匀速圆周运动的轨迹半径为 r 4 ， 由洛伦兹力提供向心 力， 得 qv 4 B= mv 2 4 r 4 ， 解得 r 4 =2R 。 如图乙所示， 粒子在磁 场中运动的轨迹是以 E 点为圆心， 以 r 4 为半径的一段圆 弧。 因圆形磁场以 O 为轴缓慢转动， 故磁场边界变为以 O 为圆心， 以 2R 为半径的圆弧 ABE ， 当 A 点恰转至 B 点， 此时粒子的出射点为 B ， 偏角 α 最大为 60° ， 射到 荧光屏上 P 点离 A 点最远。 由几何知识得 AP=CA · tan α= （ 2R-r 4 tan 30° ）· tan 60°= 3 姨 -1 5 m≈0.15 m 。 * 8. （ 1 ） mv Bq （ 2 ） π 2 + % & 1 m 2 v 2 q 2 B 2 【解析】 （ 1 ） 设粒子在磁 场中运动的半径为 R ， 由牛顿 第二定律得 qvB＝ mv 2 R ， 即 R＝ mv Bq 。 如图所示， 初速度沿 x 轴负方向的粒子沿弧 OA 运动到 挡板 PQ 上的 M 点， 初速度沿 y 轴正方向的粒子沿弧 OB 运动到挡板 PQ 上的 N 点， 由 几何知识可得 MN=R= mv Bq 。 故挡板 PQ 的最小长度为 mv Bq 。 （ 2 ） 设圆弧 OA 圆心为 C ， 沿与 x 轴负向成任意角 θ 射入的粒子到 E 点时速度平行 x 轴， 圆弧 OE 对应的圆 心为 D ， 则由几何知识可知四边形 OCED 为菱形， 即 E 点在以 C 为圆心的圆上， 即所有粒子射出磁场的位置均 在以 C 为圆心的圆周上， 所以最小磁场区域是以 C 为圆 心， R 为半径的圆的一部分， 即图中 OAEBO 包围的面 积， 有 S min = 3 4 πR 2 +R 2 - 1 4 πR 2 = π 2 + % & １ m 2 v 2 q 2 B 2 。 甲 乙 第 6 题答图 A C ① ③ ② x y O 2R N M x y O 2R N A B C E P M r 4 α 甲 乙 第 7 题答图 E A B C D N P Q M x y O 第 8 题答图 x y O O 2 37° v P 37° x y O P Q v O 1 6