第22章 二次函数 复习导学案 2024-2025学年人教版九年级数学上册

二次函数复习 一、知识点归纳 1. (1) 已知 (a, b, c;是常数)，当a 时是二次函数； 当a ，b 时是一次函数； 当a ， b ， c 时是正比例函数. (2) 定义要点: ①关于x的代数式一定是整式, a, b, c为常数, 且a≠0. ②等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 2. 抛物线 的对称轴是 (或 ),顶点是 ( ) . 当a>0时,抛物线 的开口 ，顶点是它的最 点； 在对称轴左侧(x<0)，y随x的增大而 ，在对称轴右侧(x>0)，y随x的增大而 ；当a<0时，抛物线 的开口 ，顶点是它的最 点； 在对称轴左侧(x<0)， y随x的增大而 ，在对称轴右侧(x>0)， y随x的增大而 . 3. 抛物线 的对称轴是 (或 ),顶点是 ( ) 当a>0时, 抛物线 的开口 ,在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而 ,当x= 时,y有最 值是 ;在对称轴右侧(x>0), y随x的增大而 . 当a<0时,抛物线 的开口 ，在对称轴左侧(x<0)， y随x的增大而 ，在对称轴右侧(x>0), y随x的增大而 ; 当x= 时, y有最 值是 . 4. 二次函数. 的图象和性质 x<0 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x=__时, y有最___值 当x=____时, y有最__值 增减性 在对称轴左侧 )随x的增大而________ y随x的增大而________ 在对称轴右侧 )随x的增大而_________ y随x的增大而_________ 5. 二次函数 通过配方可得 其抛物线关于直线x= 对称，顶点坐标为 ( ， ) (1)当a>0时,抛物线开口向 ,有最 点, 当x= 时,y有最 值是 ; (2)当a<0时,抛物线开口向 ,有最 点, 当x= 时,y有最 值是 . 6. 二次函数 中, a, b, c, △的符号的确定: (1) a决定开口方向: 当a>0时 , 当a·<0时, . a决定开口大小： . a决定抛物线的形状： . (2) a, b同时决定对称轴位置: a, b同号时对称轴在 .; a, b异号时对称轴在 ; b=0时对称轴是 . (3)c决定抛物线与y轴的交点：当c>0时抛物线交于 ；当c=0时抛物过 ；当c<0时抛物线交于 . (4)△=b²--4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△>0时，抛物线与x轴有 个交点；当△=0时，抛物线与x轴有 个交点；当△<0时，抛物线与x轴 交点. 注意: a+b+c (x=1) ; a--b+c (x=-1); 4a+2b+c (x=2) ; 4a--2b+c(x=-2); b<a+c等. 7. 抛物线顶点式的几种特殊形式： 8. 二次函数的解析式 (1) 二次函数的解析式常见三种形式：①一般式： ； ②顶点式： ；③交点式： (也叫两根式) (2) 根据条件恰当地选择解析式的方法： ①当已知抛物线上任意三点时，通常设为 形式. ②当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为 形式. ③当已知抛物线与x轴的两交点的横坐标时，通常设为 形式. 9. 点二次函数图象的关系： (1) 点P (x₀,y₀)在函数. 的图象上.则有 (2) 求一次函数y= kx+n(k≠0)的图象l与二次函数. 的图象的交点，解方程组 二、典例赏析 例1. 已知函数 (1)当m为何值时，y是x的二次函数? (2)当m为何值时，y是x的一次函数? 例 2. 已知抛物线 (1) 用配方法求其对称轴、顶点坐标； (2)当x为何值时，y随x的增大而减小； (3) 一1≤x≤4时, 求y的最大值和最小值. 例3. 如图，在直角坐标系xOy中，抛物线 与 x轴相交于 O，A两点，点B 是抛物线上一点，且△AOB 的面积等于8，求B 点坐标. 例4. ①将二次函数. 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 . ②抛物线 经过平移得到 平移方法是( ) A. 向左平移1个再向下平移3个单位 B. 向左平移1个再向上平移3个单位 C. 向右平移1个再向下平移3个单位 D. 向右平移1个再向上平移3个单位 ③在平面直角坐标系中，如果抛物线 不动，而把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 . 例5. 已知抛物线. 与x轴对称的抛物线解析式是 ， 即； ； 与y轴对称的抛物线解析式是 ， 即： ； 与原点对称的抛物线解析式是 ， 即： . 例6.(1)抛物线 的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 . (2) 若抛物线 与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 . 例7. 抛物线 的图象如图所示. (1) 当 时, y>Q; (2) 当 时, y=0; (3) 当 时, y<0; (4) 当 时, y≥5; (5) 当 时, y<0; (6) 当 时, 0<y<5. 例8. 如图, 直线y=x+m和抛物线 都经过点A(1, 0), B(3, 2). ①求m的值和抛物线的解析式； ②求不等式 的解集. (直接写出答案) 例9. 二次函数. 的图象过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标。 例10. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，矩形的长是12m，宽是3m，隧道的最大高度是6m，现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 (1) 求出这条抛物线的函数解析式. (2) 若是单向行驶隧道，一大货车高5m，宽4m，那么这辆车能否安全通过? (3) 若是双向行驶隧道，一大货车高5m，宽4m，那么这辆车能否安全通过? 例11. 某种蔬菜在-3-6月份的销售单价与销售月份之间的关系如图 (甲)，成本与销售月份之间的关系如图 (乙). (1) 求该蔬菜5月份的销售单价. (2) 求该蔬菜4月份每千克的成本. (3) 哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大? 每千克的最大收益是多少元? (收益=售价-成本) 例12.如图，平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 B(3, 0) 两点, 与y轴交于点℃(0, 2). (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上一动点，设点D的横坐标为m，连接CD, BD, BC, AC. 当m何值时, (3)如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M ，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标； 若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$