精品解析：山东省济宁市育才中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

济宁市育才中学2023级高二上学期阶段性测试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过两点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接应用斜率公式进行求解即可. 【详解】由，得的斜率为． 故选：A 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 4. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解． 【详解】由题意，直线， 令，解得，故；令，解得，所以． 故选：B． 5. 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A. 2 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 6. 直线过点，且方向向量为，则（ ） A. 直线的点斜式方程为 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的截距式方程为 D. 直线的一般式方程为 【答案】D 【解析】 【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2． 因为直线过点， 所以直线的点斜式方程为， 其一般式为．故A错误，D正确； 化为斜截式：，故B错误； 化为截距式：，故C错误. 故选：D 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于的方程，确定的值，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 设，则． 因为平面，所以， 则，解得，． 故． 故选：D 8. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得. 【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 于是，， 又为的中点，则，，,， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解. 【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即． 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 则，解得或， 当时，可得直线的方程为，即； 若时，可得则直线的方程为，即． 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 直线：恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为，通过解方程组即可 . 【详解】由， 可得： 令，解得：， 故答案为： 13. 已知点，直线l过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】画图，结合图象即可求解 【详解】 因为 结合图象可知直线的斜率的取值范围是 故答案为： 14. 如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时___________． 【答案】##60o 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求二面角的方法求解． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示： 设，，则，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 又平面的一个法向量为， 所以，即， 当最小时，，， 所以，所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. （1）求的一般式方程； （2）若直线经过点，且，求的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，在根据两点求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可； （2）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再由直线经过点求出直线方程. 【小问1详解】 由的三个顶点为，且为的中点， 可得，即，则， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，直线的方程为， 因为，可设直线的方程为， 直线经过点，可得，解得， 所以直线的方程为. 16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设. （1）试用表示向量； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示； （2）利用向量的数量积运算求解向量的模. 【小问1详解】 ， 又，，， ∴． 【小问2详解】 因为，． ，．， ， ， ． 17. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 18. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 连接，显然，因为， ． 所以，于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有， ， 点到平面的距离为： . 19. 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点． （1）是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由； （2）若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积； （3）求三棱锥的外接球半径的最小值． 【答案】（1） 存在一点G，当点G为的中点，使得面， 连接，如图所示： ∵点分别是的中点，， 又，且， ∴四边形是平行四边形，，， 又∵平面，且平面EFG，∴平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）存在一点G，当点G为的中点，连接，利用三角形中位线和平行线的传递性得到，再利用线面平行的判定即可证明结论； （2）首先根据题意得到，再求出，根据计算即可； （3）建立空间直角坐标系，首先确定球心在上，设外接球球心为，设，，得出的坐标，设，由，得出，求出的范围，再由即可求出的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由题意可知，平面，且， 是直线与平面所成的角，即， 在中，， ∴在中，， 又 ， ． 【小问3详解】 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接， 则， 所以，， 因为，， 所以，即， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球球心为， 设，，则的坐标为， 设， 则，即， 所以， 设，则，则， 而，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以， 三棱锥的外接球的半径 ， 因为，所以，所以， 三棱锥的外接球半径的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市育才中学2023级高二上学期阶段性测试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过两点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A. 2 B. C. 或 D. 6. 直线过点，且方向向量为，则（ ） A. 直线的点斜式方程为 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的截距式方程为 D. 直线的一般式方程为 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（ ） A. B. C. D. 8. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 直线：恒过定点______. 13. 已知点，直线l过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______. 14. 如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. （1）求的一般式方程； （2）若直线经过点，且，求的方程. 16. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设. （1）试用表示向量； （2）若，求的长. 17. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 18. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 19. 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点． （1）是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由； （2）若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积； （3）求三棱锥的外接球半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $