第04讲 运动学图像 追及相遇问题 讲义 -2024-2025学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册

第04讲_运动学图像 追及相遇问题 辅导讲义（学生版） 主讲内容 匀变速直线运动的图像问题 追及相遇问题 第04讲_运动学图像 追及相遇问题 [学生版] 知识图谱 思考 1．对x-t图像、v-t图像 “轴”“线”“斜率”“面积”“截距”“特殊点”的理解。 2．总结处理追及相遇问题的思路和技巧。 匀变速直线运动的图像问题 知识精讲 · 基础过关 1．对x-t图像的理解 图线斜率的大小表示速度的大小；斜率正负表示速度的方向。 2．对v-t图像的理解 （1）图线斜率的大小表示加速度的大小：斜率正负表示加速度的方向。 （2）图线与坐标轴围成的“面积”表示位移的大小。 若此面积在时间轴的上方，表示位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负。 3．图像问题的三个提醒 （1）x-t图像、v-t图像都不是物体运动的轨迹，图像中各点的坐标值x、v与t一一对应。 （2）x-t图像、v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。 （3）无论是x-t图像还是v-t图像，所描述的运动情况都是直线运动。 · 重难点突破 一、运动图像问题的解题思路 用图像来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图像解题的能力可归纳为以下两个方面： 1．读图 从图像中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图像所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，一般需要关注的特征量有三个： 第一：关注横、纵坐标 （1）确认横、纵坐标对应的物理量各是什么。 （2）注意横、纵坐标是否从零刻度开始。 （3）坐标轴物理量的单位也不能忽视。 第二：理解斜率、面积、截距的物理意义 （1）图线的斜率：通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况。 （2）面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段，所围图形的面积，一般都能表示某个物理量，如v-t图像中的面积表示位移。 （3）截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距。 注意：函数图像由函数表达式决定，写出关于横、纵坐标的关系式，可明确斜率、截距等对应的物理意义。 第三：分析交点、转折点、渐近线 （1）交点：往往是解决问题的切入点。 （2）转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用。 （3）渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势。 2．作图和用图 依据物体的状态或物理过程所遵循的规律，作出与之对应的示意图或数学函数图像来研究和处理问题。 匀变速直线运动的x-t图像 例题 1 在某次百米田径比赛中，用轨道摄像机拍摄运动员，摄像机和运动员的水平位移随时间变化的图像如图所示，下列说法中正确的是（　　） A.在水平方向上，摄像机做直线运动，运动员做曲线运动 B.0～t1时间内摄像机在前，t1～t2时间内运动员在前 C.0～t2时间内摄像机与运动员的平均速度相同 D.0～t2时间内任一时刻摄像机的速度都大于运动员的速度 随练 2 如图是某质点运动的图象，根据图象可知下列判断正确的是（　　） A.该质点做的是曲线运动 B.质点在0~14s内的平均速度大小为1.0m/s C.质点在0~10s内和0~20s内的平均速度不同 D.质点在时的瞬时速度一定等于它在0~20s内的平均速度 3 [多选题] 甲、乙两物体沿同一直线运动，它们的x﹣t图如图所示。由图象可知（　　） A.t＝0时刻，甲、乙相距250m B.乙运动后，甲、乙相向做匀速直线运动 C.乙运动后，甲、乙速度大小之比为2:1 D.t＝3s时，甲乙相遇 4 [多选题] 如图所示，质点甲的位置－时间图像为曲线t2时刻后图线与横轴平行；质点乙的位置－时间图像为直线，质点甲的图线在t1时刻的切线与质点乙的图线平行，两图线在t2时刻相交。下列说法中正确的是(　　) A.质点甲的速度越来越小 B.两质点都先向正方向运动，再向负方向运动 C.t＝t1时刻两质点的速度大小和方向都相同 D.0～t2时间内，质点甲的位移等于质点乙的位移 5 某电动自行车在平直的实验公路上先匀速运动，从时刻开始进行电动自行车刹车实验，以检验该性能是否符合国家标准，通过传感器在电脑上自动描绘出其图像如图所示。则下列分析正确的是(　　) A.刚要刹车时车的速度为12m/s B.刹车加速度大小为 C.刹车过程的位移为9m D.刹车前1s和最后1s通过的位移比为 匀变速直线运动的v-t图像 例题 6 某质点从t＝0时刻出发做直线运动，其v－t图像如图所示，根据图像可知(　　) A.质点在1s末距离出发点最远 B.质点距出发点的最远距离为5m C.前4s内质点的位移大小为5m D.前4s内质点通过的路程为6m 随练 7 一物体运动的速度随时间变化的关系图像如图所示，根据图像可知（　　） A.内，物体速度的变化量为 B.内，物体的速度一直在减小 C.物体的加速度方向在时改变 D.内，物体在做匀变速曲线运动 8 用图像描述和表达物理过程是物理研究中常用的方法。一辆汽车在训练场上沿平直道路行驶，用如图所示的图像描述汽车在0～8s这段时间内的运动，图像中直角坐标系选时刻t为横轴。若图中纵轴表示汽车的速度v（单位为m/s），下列说法正确的是(　　) A.汽车在0～2s内的加速度大小为10m/s2 B.汽车在2～6s内保持静止 C.汽车在6s末运动方向发生变化 D.汽车在6～8s内行驶的距离为20m 9 如图所示是同一平直公路上同向行驶的甲、乙两汽车的图像，时两车恰好并排行驶，则(　　) A.时刻，甲在乙前方处 B.时刻，甲在乙的前方 C.时刻，乙在甲前方处 D.时刻，两车再次并排行驶 匀变速直线运动的a-t图像 例题 10 质点由静止开始做直线运动，加速度与时间关系如图所示，t2=2t1，则（　　） A.质点一直沿正向运动 B.质点在某个位置附近来回运动 C.在0~t2时间段内，质点在t1时刻的速度最小 D.在0~t2时间段内，质点在t2时刻的速度最大 随练 11 类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，我们学习了由图象求位移的方法。如图所示，甲、乙两个物体静止开始做某直线运动时的图象、图象，根据图象，可以判断以下说法正确的是(　　) A.甲物体在末回到了出发点 B.甲物体在内的位移是 C.乙物体在末的速度是 D.乙物体在末的速度是 12 [多选题] 自然界中某个物理量D的变化可以记为ΔD，发生这一变化所用的时间间隔可以记为Δt；ΔD与Δt之比就是这个量对时间的变化率，简称变化率。在运动学中也可以引入“加速度的变化率”来表示加速度对时间变化的快慢。图表示某一物体做直线运动时加速度随时间变化的a－t图像。由图像可知，在前2s内该物体(　　) A.“加速度的变化率”为－2m／s3 B.可能做加速直线运动 C.一定做减速直线运动 D.速度变化量为8m／s 追及相遇问题 知识精讲 · 基础过关 1．追及、相遇问题的两类情况 （1）若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。 （2）若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近。 2． “一个临界条件”、“两个等量关系” （1）一个临界条件：速度相等。 它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。 （2）两个等量关系：时间关系和位移关系。 通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。 3．能否追上的判断方法 物体B追赶物体A，开始时两个物体相距x0，若vA=vB时： （1），则能追上； （2），则恰好追上（恰好追不上）； （3），则不能追上。 · 重难点突破 一、解题思路 二、解题技巧 1．“三看”：一看谁在前谁在后，二看谁速度大谁速度小，三看速度变化，是变大还是变小。 2．紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 3．审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 4．处理追击相遇问题还可以利用二次函数求极值、二次方程判别式等数学方法，以及应用图像和相对运动的知识求解等方法。 速度小者追速度大者 例题 13 某一长直的赛道上，有一辆赛车前方180m处有一安全车正以8m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶。求： （1）赛车经过多长时间可以追上安全车？ （2）赛车在追上安全车之前，经过多长时间与安全车距离最远，最远距离为多少？ 随练 14 图示为甲、乙两辆汽车从同一位置出发沿同一直线运动的v－t图象，则（　　） A.甲、乙两辆汽车一定同向而行 B.甲、乙两辆汽车一定相向而行 C.在t=10s时，甲、乙两车相遇 D.在5s~10s内，甲的加速度大于乙的加速度 15 A、B两车在平直马路上同向行驶，当它们相遇时开始计时，此后它们的位移随时间的变化关系分别为：xA＝（3t＋t2）m，xB＝（9t﹣2t2）m。 （1）分析A车做什么运动； （2）求A、B再次相遇的时间和地点； （3）分别写出A、B的速度随时间的变化关系式； （4）在同一坐标系中画出A、B运动的v﹣t图象，并标出相关的数据和单位。 16 如图所示，甲、乙、丙三车沿一条直线公路上不同车道同向运动，为简化问题可将三车视为质点。当甲车刚从收费站开出时（此时t＝0）。乙车距收费站的距离与x1＝70m，丙车距收费站的距离x2＝60m，甲车的速度v0＝0，乙车的速度v1＝8m/s，丙车的速度v2＝12m/s，此后，甲车做加速度a0＝3m/s2的匀加速直线运动，乙车做匀速运动，丙车刹车做加速度a2＝2m/s2的匀减速直线运动，求： （1）甲车追上丙车的时间； （2）丙车能否追上乙车，通过计算说明理由； （3）若某段时间甲乙行驶在同一单行直公路上，甲在前，乙在后，甲、乙速度分别为v甲＝6m/s、v乙＝8mn/s，甲、乙彼此之间的距离为5m。乙车司机发现甲车开始以1m/s2的加速度匀减速时，立即刹车列减速运动，若两车都停下来时均未发生撞车事故，乙车的加速度至少要多大？（结果保留两位有效数字） 速度大者追速度小者 例题 17 十一放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝6m限速区内的速度不超过v0＝6m/s，如图所示。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20m/s和v乙＝30m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2m/s2的加速度匀减速刹车。 （1）在刹车后3s末，甲车的速度为多少？ （2）甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？ （3）甲车经刹车到达离收费站窗口前6m处的速度恰好为6m/s，乙车发现甲车刹车后立刻以大小为a乙＝4m/s2的加速度匀减速刹车直到速度减为6m/s后一直以这一速度匀速运动。为避免两车相撞，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ 随练 18 [多选题] 甲、乙两辆遥控小汽车在两条相邻的平直轨道上作直线运动，以甲车运动方向为正方向，两车运动的v－t图象如图所示。下列说法正确的是(　　) A.两车若在t＝5s时相遇，则另一次相遇的时刻是t＝10s B.两车若在t＝5s时相遇，则t＝0时两车相距15m C.两车若在t＝10s时相遇，则另一次相遇的时刻是t＝20s D.两车若在t＝10s时相遇，则相遇前两车的间距是逐渐减小的 19 今年全国多地出现了暴雨或大暴雨，局部特大暴雨，汽车在雨天行驶很容易造成交通事故。某公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝72km/h和v2＝45km/h，轿车在与货车距离x0＝9.375m时轿车司机才发现前方的货车，此时轿车立即刹车做匀减速直线运动，因路面湿滑，轿车要经过x＝80m才能停下来。两车可视为质点。 （1）求轿车在湿滑路面上刹车时的加速度大小； （2）若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶请通过计算证明两车会相撞； （3）为避免发生事故，轿车在刹车的同时通过灯光给货车发出信号，信号发出后经时间t0＝1s货车开始以加速度a2做匀加速运动，为使两车不相撞，求a2的最小值。 拓展 20 某质点做直线运动的位移—时间图像如图所示，下列说法中正确的是(　　) A.该质点在t3时刻离出发点最远 B.在t1～t2时间内，该质点运动的加速度方向不变 C.该质点在0～t1时间内的速度，大于在t2～t3时间内的速度 D.在0～t3时间内，该质点运动速度方向始终不变，先做加速运动，后做减速运动 21 [多选题] 在同一平直公路上行驶的汽车，两辆汽车a和b，其位移时间图像分别如图中直线a和曲线b所示，下列说法正确的是(　　) A.t＝3s时，两车速度相等 B.a车做匀速运动，b车做加速运动 C.在运动过程中，b车始终没有超过a车 D.在0~3s时间内，a车的平均速度比b车的大 22 [多选题] a、b、c三物体在同一条直线上运动，其位移图像如图所示，图像c是一条抛物线，坐标原点是该抛物线的顶点，下列说法中正确的是（　　） A.a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同 B.a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度大小相同 C.在0～5s的时间内，时a、b两个物体相距最远 D.物体c做匀加速直线运动，加速度为 23 从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度图象如图所示，在0－t0时间内，下列说法中正确的是(　　) A.t1时刻两个物体相遇 B.Ⅰ、Ⅱ两物体的加速度都在不断减小 C.Ⅰ物体的位移在不断增大，Ⅱ物体的位移在不断减小 D.Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是 24 [多选题] 摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度是随时间变化的，已知电梯在时由静止开始上升，图象如图所示。借鉴教科书中由图象求位移的方法判断，下列说法正确的有(　　) A.电梯在11秒末上升到最大高度 B.第末电梯上升到最大高度 C.电梯上升时的最大速度为 D.电梯上升时的最大速度为 25 [多选题] a、b两质点沿直线Ox轴正向运动，t＝0时刻，两质点同时到达坐标原点O，测得两质点在之后的运动过程中，其位置坐标x与时间t的比值随时间t变化的关系如图所示，以下说法正确的是(　　) A.质点a做匀加速运动的加速度为1.0m/s2 B.质点b做匀速运动的速度为1.0m/s C.t＝1s时，a、b再次到达同一位置 D.t＝2s时，a、b再次到达同一位置 26 公交车作为现代城市交通很重要的工具，它具有方便、节约、缓解城市交通压力等许多作用。某日，李老师在上班途中向一公交车站走去，发现一辆公交车正从身旁平直的公路驶过，此时，他的速度是，公交车的速度是，他们距车站的距离为。假设公交车在行驶到距车站处开始刹车，刚好到车站停下，停车时间。而李老师因年龄、体力等关系最大速度只能达到，起跑后的加速度最大只能达到。 （1）若公交车刹车过程视为匀减速直线运动，其加速度大小是多少？ （2）试计算分析，李老师能否赶上这班车。 27 甲车以3m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2s在同一地点由静止开始，以6m/s2的加速度做匀加速直线运动，两车的运动方向相同。求： （1）在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少。 （2）乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远。 28 羚羊从静止开始奔跑，经过距离能加速到最大速度，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持这个速度。设猎豹距离羚羊时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑。求： （1）猎豹在加速阶段的加速度？ （2）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，值应在什么范围？ （3）猎豹要在其加速阶段追上羚羊。值应在什么范围？ 29 甲、乙两辆汽车在同一直线上同向行驶，其初速度均为v0＝24m／s，甲、乙两汽车刹车制动的加速度大小分别为a1＝6m／s2和a2＝5m／s2．汽车甲的司机在汽车乙后面看到乙车刹车后立即刹车，若甲汽车司机的反应时间为△t＝0.6s，要两汽车不相撞，甲、乙两汽车在乙车刹车前至少相距多远？ 1 高小思的专属讲义 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲_运动学图像 追及相遇问题 辅导讲义（解析版） 主讲内容 匀变速直线运动的图像问题 追及相遇问题 第04讲_运动学图像 追及相遇问题 [解析版] 知识图谱 思考 1．对x-t图像、v-t图像 “轴”“线”“斜率”“面积”“截距”“特殊点”的理解。 2．总结处理追及相遇问题的思路和技巧。 匀变速直线运动的图像问题 知识精讲 · 基础过关 1．对x-t图像的理解 图线斜率的大小表示速度的大小；斜率正负表示速度的方向。 2．对v-t图像的理解 （1）图线斜率的大小表示加速度的大小：斜率正负表示加速度的方向。 （2）图线与坐标轴围成的“面积”表示位移的大小。 若此面积在时间轴的上方，表示位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负。 3．图像问题的三个提醒 （1）x-t图像、v-t图像都不是物体运动的轨迹，图像中各点的坐标值x、v与t一一对应。 （2）x-t图像、v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。 （3）无论是x-t图像还是v-t图像，所描述的运动情况都是直线运动。 · 重难点突破 一、运动图像问题的解题思路 用图像来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图像解题的能力可归纳为以下两个方面： 1．读图 从图像中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图像所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，一般需要关注的特征量有三个： 第一：关注横、纵坐标 （1）确认横、纵坐标对应的物理量各是什么。 （2）注意横、纵坐标是否从零刻度开始。 （3）坐标轴物理量的单位也不能忽视。 第二：理解斜率、面积、截距的物理意义 （1）图线的斜率：通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况。 （2）面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段，所围图形的面积，一般都能表示某个物理量，如v-t图像中的面积表示位移。 （3）截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距。 注意：函数图像由函数表达式决定，写出关于横、纵坐标的关系式，可明确斜率、截距等对应的物理意义。 第三：分析交点、转折点、渐近线 （1）交点：往往是解决问题的切入点。 （2）转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用。 （3）渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势。 2．作图和用图 依据物体的状态或物理过程所遵循的规律，作出与之对应的示意图或数学函数图像来研究和处理问题。 匀变速直线运动的x-t图像 例题 1 在某次百米田径比赛中，用轨道摄像机拍摄运动员，摄像机和运动员的水平位移随时间变化的图像如图所示，下列说法中正确的是（　　） A.在水平方向上，摄像机做直线运动，运动员做曲线运动 B.0～t1时间内摄像机在前，t1～t2时间内运动员在前 C.0～t2时间内摄像机与运动员的平均速度相同 D.0～t2时间内任一时刻摄像机的速度都大于运动员的速度 随练 2 如图是某质点运动的图象，根据图象可知下列判断正确的是（　　） A.该质点做的是曲线运动 B.质点在0~14s内的平均速度大小为1.0m/s C.质点在0~10s内和0~20s内的平均速度不同 D.质点在时的瞬时速度一定等于它在0~20s内的平均速度 3 [多选题] 甲、乙两物体沿同一直线运动，它们的x﹣t图如图所示。由图象可知（　　） A.t＝0时刻，甲、乙相距250m B.乙运动后，甲、乙相向做匀速直线运动 C.乙运动后，甲、乙速度大小之比为2:1 D.t＝3s时，甲乙相遇 4 [多选题] 如图所示，质点甲的位置－时间图像为曲线t2时刻后图线与横轴平行；质点乙的位置－时间图像为直线，质点甲的图线在t1时刻的切线与质点乙的图线平行，两图线在t2时刻相交。下列说法中正确的是(　　) A.质点甲的速度越来越小 B.两质点都先向正方向运动，再向负方向运动 C.t＝t1时刻两质点的速度大小和方向都相同 D.0～t2时间内，质点甲的位移等于质点乙的位移 5 某电动自行车在平直的实验公路上先匀速运动，从时刻开始进行电动自行车刹车实验，以检验该性能是否符合国家标准，通过传感器在电脑上自动描绘出其图像如图所示。则下列分析正确的是(　　) A.刚要刹车时车的速度为12m/s B.刹车加速度大小为 C.刹车过程的位移为9m D.刹车前1s和最后1s通过的位移比为 匀变速直线运动的v-t图像 例题 6 某质点从t＝0时刻出发做直线运动，其v－t图像如图所示，根据图像可知(　　) A.质点在1s末距离出发点最远 B.质点距出发点的最远距离为5m C.前4s内质点的位移大小为5m D.前4s内质点通过的路程为6m 随练 7 一物体运动的速度随时间变化的关系图像如图所示，根据图像可知（　　） A.内，物体速度的变化量为 B.内，物体的速度一直在减小 C.物体的加速度方向在时改变 D.内，物体在做匀变速曲线运动 8 用图像描述和表达物理过程是物理研究中常用的方法。一辆汽车在训练场上沿平直道路行驶，用如图所示的图像描述汽车在0～8s这段时间内的运动，图像中直角坐标系选时刻t为横轴。若图中纵轴表示汽车的速度v（单位为m/s），下列说法正确的是(　　) A.汽车在0～2s内的加速度大小为10m/s2 B.汽车在2～6s内保持静止 C.汽车在6s末运动方向发生变化 D.汽车在6～8s内行驶的距离为20m 9 如图所示是同一平直公路上同向行驶的甲、乙两汽车的图像，时两车恰好并排行驶，则(　　) A.时刻，甲在乙前方处 B.时刻，甲在乙的前方 C.时刻，乙在甲前方处 D.时刻，两车再次并排行驶 匀变速直线运动的a-t图像 例题 10 质点由静止开始做直线运动，加速度与时间关系如图所示，t2=2t1，则（　　） A.质点一直沿正向运动 B.质点在某个位置附近来回运动 C.在0~t2时间段内，质点在t1时刻的速度最小 D.在0~t2时间段内，质点在t2时刻的速度最大 随练 11 类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，我们学习了由图象求位移的方法。如图所示，甲、乙两个物体静止开始做某直线运动时的图象、图象，根据图象，可以判断以下说法正确的是(　　) A.甲物体在末回到了出发点 B.甲物体在内的位移是 C.乙物体在末的速度是 D.乙物体在末的速度是 12 [多选题] 自然界中某个物理量D的变化可以记为ΔD，发生这一变化所用的时间间隔可以记为Δt；ΔD与Δt之比就是这个量对时间的变化率，简称变化率。在运动学中也可以引入“加速度的变化率”来表示加速度对时间变化的快慢。图表示某一物体做直线运动时加速度随时间变化的a－t图像。由图像可知，在前2s内该物体(　　) A.“加速度的变化率”为－2m／s3 B.可能做加速直线运动 C.一定做减速直线运动 D.速度变化量为8m／s 追及相遇问题 知识精讲 · 基础过关 1．追及、相遇问题的两类情况 （1）若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。 （2）若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近。 2． “一个临界条件”、“两个等量关系” （1）一个临界条件：速度相等。 它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。 （2）两个等量关系：时间关系和位移关系。 通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。 3．能否追上的判断方法 物体B追赶物体A，开始时两个物体相距x0，若vA=vB时： （1），则能追上； （2），则恰好追上（恰好追不上）； （3），则不能追上。 · 重难点突破 一、解题思路 二、解题技巧 1．“三看”：一看谁在前谁在后，二看谁速度大谁速度小，三看速度变化，是变大还是变小。 2．紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 3．审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 4．处理追击相遇问题还可以利用二次函数求极值、二次方程判别式等数学方法，以及应用图像和相对运动的知识求解等方法。 速度小者追速度大者 例题 13 某一长直的赛道上，有一辆赛车前方180m处有一安全车正以8m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶。求： （1）赛车经过多长时间可以追上安全车？ （2）赛车在追上安全车之前，经过多长时间与安全车距离最远，最远距离为多少？ 随练 14 图示为甲、乙两辆汽车从同一位置出发沿同一直线运动的v－t图象，则（　　） A.甲、乙两辆汽车一定同向而行 B.甲、乙两辆汽车一定相向而行 C.在t=10s时，甲、乙两车相遇 D.在5s~10s内，甲的加速度大于乙的加速度 15 A、B两车在平直马路上同向行驶，当它们相遇时开始计时，此后它们的位移随时间的变化关系分别为：xA＝（3t＋t2）m，xB＝（9t﹣2t2）m。 （1）分析A车做什么运动； （2）求A、B再次相遇的时间和地点； （3）分别写出A、B的速度随时间的变化关系式； （4）在同一坐标系中画出A、B运动的v﹣t图象，并标出相关的数据和单位。 16 如图所示，甲、乙、丙三车沿一条直线公路上不同车道同向运动，为简化问题可将三车视为质点。当甲车刚从收费站开出时（此时t＝0）。乙车距收费站的距离与x1＝70m，丙车距收费站的距离x2＝60m，甲车的速度v0＝0，乙车的速度v1＝8m/s，丙车的速度v2＝12m/s，此后，甲车做加速度a0＝3m/s2的匀加速直线运动，乙车做匀速运动，丙车刹车做加速度a2＝2m/s2的匀减速直线运动，求： （1）甲车追上丙车的时间； （2）丙车能否追上乙车，通过计算说明理由； （3）若某段时间甲乙行驶在同一单行直公路上，甲在前，乙在后，甲、乙速度分别为v甲＝6m/s、v乙＝8mn/s，甲、乙彼此之间的距离为5m。乙车司机发现甲车开始以1m/s2的加速度匀减速时，立即刹车列减速运动，若两车都停下来时均未发生撞车事故，乙车的加速度至少要多大？（结果保留两位有效数字） 速度大者追速度小者 例题 17 十一放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝6m限速区内的速度不超过v0＝6m/s，如图所示。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20m/s和v乙＝30m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2m/s2的加速度匀减速刹车。 （1）在刹车后3s末，甲车的速度为多少？ （2）甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？ （3）甲车经刹车到达离收费站窗口前6m处的速度恰好为6m/s，乙车发现甲车刹车后立刻以大小为a乙＝4m/s2的加速度匀减速刹车直到速度减为6m/s后一直以这一速度匀速运动。为避免两车相撞，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ 随练 18 [多选题] 甲、乙两辆遥控小汽车在两条相邻的平直轨道上作直线运动，以甲车运动方向为正方向，两车运动的v－t图象如图所示。下列说法正确的是(　　) A.两车若在t＝5s时相遇，则另一次相遇的时刻是t＝10s B.两车若在t＝5s时相遇，则t＝0时两车相距15m C.两车若在t＝10s时相遇，则另一次相遇的时刻是t＝20s D.两车若在t＝10s时相遇，则相遇前两车的间距是逐渐减小的 19 今年全国多地出现了暴雨或大暴雨，局部特大暴雨，汽车在雨天行驶很容易造成交通事故。某公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝72km/h和v2＝45km/h，轿车在与货车距离x0＝9.375m时轿车司机才发现前方的货车，此时轿车立即刹车做匀减速直线运动，因路面湿滑，轿车要经过x＝80m才能停下来。两车可视为质点。 （1）求轿车在湿滑路面上刹车时的加速度大小； （2）若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶请通过计算证明两车会相撞； （3）为避免发生事故，轿车在刹车的同时通过灯光给货车发出信号，信号发出后经时间t0＝1s货车开始以加速度a2做匀加速运动，为使两车不相撞，求a2的最小值。 拓展 20 某质点做直线运动的位移—时间图像如图所示，下列说法中正确的是(　　) A.该质点在t3时刻离出发点最远 B.在t1～t2时间内，该质点运动的加速度方向不变 C.该质点在0～t1时间内的速度，大于在t2～t3时间内的速度 D.在0～t3时间内，该质点运动速度方向始终不变，先做加速运动，后做减速运动 21 [多选题] 在同一平直公路上行驶的汽车，两辆汽车a和b，其位移时间图像分别如图中直线a和曲线b所示，下列说法正确的是(　　) A.t＝3s时，两车速度相等 B.a车做匀速运动，b车做加速运动 C.在运动过程中，b车始终没有超过a车 D.在0~3s时间内，a车的平均速度比b车的大 22 [多选题] a、b、c三物体在同一条直线上运动，其位移图像如图所示，图像c是一条抛物线，坐标原点是该抛物线的顶点，下列说法中正确的是（　　） A.a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同 B.a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度大小相同 C.在0～5s的时间内，时a、b两个物体相距最远 D.物体c做匀加速直线运动，加速度为 23 从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度图象如图所示，在0－t0时间内，下列说法中正确的是(　　) A.t1时刻两个物体相遇 B.Ⅰ、Ⅱ两物体的加速度都在不断减小 C.Ⅰ物体的位移在不断增大，Ⅱ物体的位移在不断减小 D.Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是 24 [多选题] 摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度是随时间变化的，已知电梯在时由静止开始上升，图象如图所示。借鉴教科书中由图象求位移的方法判断，下列说法正确的有(　　) A.电梯在11秒末上升到最大高度 B.第末电梯上升到最大高度 C.电梯上升时的最大速度为 D.电梯上升时的最大速度为 25 [多选题] a、b两质点沿直线Ox轴正向运动，t＝0时刻，两质点同时到达坐标原点O，测得两质点在之后的运动过程中，其位置坐标x与时间t的比值随时间t变化的关系如图所示，以下说法正确的是(　　) A.质点a做匀加速运动的加速度为1.0m/s2 B.质点b做匀速运动的速度为1.0m/s C.t＝1s时，a、b再次到达同一位置 D.t＝2s时，a、b再次到达同一位置 26 公交车作为现代城市交通很重要的工具，它具有方便、节约、缓解城市交通压力等许多作用。某日，李老师在上班途中向一公交车站走去，发现一辆公交车正从身旁平直的公路驶过，此时，他的速度是，公交车的速度是，他们距车站的距离为。假设公交车在行驶到距车站处开始刹车，刚好到车站停下，停车时间。而李老师因年龄、体力等关系最大速度只能达到，起跑后的加速度最大只能达到。 （1）若公交车刹车过程视为匀减速直线运动，其加速度大小是多少？ （2）试计算分析，李老师能否赶上这班车。 27 甲车以3m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2s在同一地点由静止开始，以6m/s2的加速度做匀加速直线运动，两车的运动方向相同。求： （1）在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少。 （2）乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远。 28 羚羊从静止开始奔跑，经过距离能加速到最大速度，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持这个速度。设猎豹距离羚羊时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑。求： （1）猎豹在加速阶段的加速度？ （2）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，值应在什么范围？ （3）猎豹要在其加速阶段追上羚羊。值应在什么范围？ 29 甲、乙两辆汽车在同一直线上同向行驶，其初速度均为v0＝24m／s，甲、乙两汽车刹车制动的加速度大小分别为a1＝6m／s2和a2＝5m／s2．汽车甲的司机在汽车乙后面看到乙车刹车后立即刹车，若甲汽车司机的反应时间为△t＝0.6s，要两汽车不相撞，甲、乙两汽车在乙车刹车前至少相距多远？ 答案解析 匀变速直线运动的图像问题 匀变速直线运动的x-t图像 例题 1 【答案】 C 【解析】 暂无解析 随练 2 【答案】 B 【解析】 暂无解析 3 [多选题] 【答案】 A B D 【解析】 A、根据图象可知，甲的出发点为x＝250m处，乙从原点出发，所以出发点相距250m，故A正确； B、根据图线的斜率表示速度可知，甲的速度为负，乙的速度为正，则乙运动后，甲、乙相向做匀速直线运动，故B正确； C、图象的斜率表示速度，则甲乙都做匀速运动，甲的速度为，甲的速度大小为50m/s，可知甲、乙相向作匀速直线运动，两者一样快，故C错误； D、图象的交点表示相遇，根据图象可知，甲运动3s时，甲、乙相遇，故D正确。 4 [多选题] 【答案】 A C 【解析】 暂无解析 5 【答案】 C 【解析】 A．根据 可得 故图像的截距就是初速度，则 故A错误； B．图线的斜率为 可得 刹车加速度大小为2m/s2，故B错误； C．刹车所用时间为 则刹车位移为 故C正确； D．刹车前1s的位移 刹车最后1s通过的位移 位移比值为 故D错误。 匀变速直线运动的v-t图像 例题 6 【答案】 C 【解析】 暂无解析 随练 7 【答案】 A 【解析】 A．由图像可知物体的初速度为5m/s，4s末的速度为－3m/s，内物体速度的变化量为 故A正确。 B．4s内物体的速度先减小后反向增大，故B错误； C．物体的斜率一直为负值，所以加速度一直沿负方向，没有发生改变，故C错误； D．速度时间图像只能表示直线运动，不能表示曲线运动，故D错误。 8 【答案】 D 【解析】 A．汽车在0～2s内的加速度大小，A错误； B．汽车在2～6s内速度为20m/s，做匀速直线运动，B错误； C．汽车在8s前速度始终是正，运动方向不变，C错误； D．速度和时间围城的面积表示位移，汽车在6～8s内行驶的距离，D正确。 9 【答案】 A 【解析】 A．时两车恰好并排行驶，时刻，两车间距为 即甲在乙前方处，A正确； B．时刻，两车间距为，两车并排行驶，B错误； C．时刻，两车间距为，乙在甲前方处，C错误； D．到，甲车始终大于乙车速度，则时刻，甲车在乙车前，D错误。 匀变速直线运动的a-t图像 例题 10 【答案】 A 【解析】 AB．由图可知在t1时间内质点做初速度为零的匀加速运动，在t1～t2时间内做匀减速运动，且加速度大小相等，时间相等，故质点一直沿正向运动，故A正确，B错误； CD．由图可知在t1时间内质点做初速度为零的匀加速运动，在t1～t2时间内做匀减速运动，且加速度大小相等，时间相等，故t1时刻的速度最大，t2时刻的速度为零，故CD错误。 随练 11 【答案】 C 【解析】 、甲物体一直沿正方向运动，不会回到出发点，故错误。 、根据图象与时间轴所围的面积表示位移，可得，甲物体在内的位移，故错误。 、根据图象与时间轴所围的面积表示速度变化量，可得，乙物体在内速度增加量为，则乙物体在末的速度是，故正确。 、同理，乙物体在内速度增加量为，则乙物体在末的速度是，故错误。 12 [多选题] 【答案】 A B 【解析】 暂无解析 追及相遇问题 速度小者追速度大者 例题 13 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）设赛车经过时间可以追上安全车，令，则 解得（舍去） （2）赛车在追上安全车之前当赛车与安全车速度相等时距离最远，令经过时间为，则，得 最远距离 随练 14 【答案】 A 【解析】 暂无解析 15 【答案】 （1）A车做初速度为3m/s，加速度为2m/s2的匀加速直线运动 （2）A、B再次相遇距离出发点10m，时间为2s。 （3）A的速度随时间变化：vA＝（3＋2t）m/s，B的速度随时间变化：vB＝（9﹣4t）m/s。 （4）如图所示 【解析】 （1）由匀变速直线运动位移﹣时间公式， 对A：v0＝3m/s，a＝2m/s2．所以A做匀加速直线运动， 对B：v0＝9m/s，a＝﹣4m/s2．所以B做匀减速直线运动； （2）B车停止所需要的时间， 若相遇，则有：xA＝xB， 即为： 解得：t1＝2s， 位移：。 （3）A的速度随时间变化：vA＝（3＋2t）m/s， B的速度随时间变化：vB＝（9﹣4t）m/s， （4） 16 【答案】 （1）8s （2）丙车追不上乙车，理由见解析 （3）1.4m/s2 【解析】 （1）丙停下来的时间为 这段时间内丙的位移为 这段时间内甲的位移 因为x＜x0＋x2 所以丙停下来后甲再追上丙，则有 解得甲车追上丙车的时间为t2＝8s （2）当乙车与丙车速度相等时 解得t3＝2s 乙的位移 丙的位移 因为 所以丙车追不上乙车。 （3）设两车恰好不发生撞车事故，乙车的加速度大小为a，则 v甲－a甲t＝v乙－a乙t 其中s0＝5m，v甲＝6m/s，v乙＝8m/s，a甲＝1m/s2 代入数据解得a乙＝1.4m/s2 所以，若两车都停下来时均未发生撞车事故，乙车的加速度至少为1.4m/s2。 速度大者追速度小者 例题 17 【答案】 （1） （2） （3）25m 【解析】 （1）在刹车后3s末，甲车的速度为 （2）甲车减速到6m/s时，所通过的位移为 则甲车司机需在离收费站窗口至少距离为 （3）设两车速度相等时所用时间为t1，则有 解得 临界速度为 若两车达到共速前没有相撞，则不会相撞，所以甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距的距离为 随练 18 [多选题] 【答案】 B D 【解析】 A、根据速度图象与时间轴所围的面积表示位移，可知，5－15s内两车的位移相等，因此，两车若在t＝5s时相遇，则另一次相遇的时刻是t＝15s，故A错误。 B、两车若在t＝5s时相遇，因为0－5s内两车相向运动，则t＝0时两车相距距离等于0－5s内两车位移大小之和，为，故B正确。 C、两车若在t＝10s时相遇，因为10－20s内乙车的位移大于甲车的位移，所以t＝20s时两车没有相遇，故C错误。 D、两车若在t＝10s时相遇，在0－5s内两车相向运动，两车的间距逐渐减小。在5－10s内，两车同向运动，甲车在乙车的前方，且甲车的速度比乙车的大，则两车间距减小，所以相遇前两车的间距是逐渐减小的，故D正确。 19 【答案】 （1）2.5m/s2 （2）见解析 （3）1.5m/s2 【解析】 （1）对轿车刹车过程有＝2a1x 解得轿车在湿滑路面上刹车时的加速度大小a1＝2.5m/s2 （2）当两车速度相等时即v1－a1t＝v2 轿车行驶的距离x1＝v1t－ 货车行驶的距离x2＝v2t 因为Δx＝x1－x2＝11.25m＞x0＝9.375m 所以两车会相撞。 （3）假设从轿车开始刹车经过时间T两车速度相等 即v1－a1T＝v2＋a2（T－t0） 轿车行驶的距离 货车行驶的距离 两车不相撞的条件是Δx'＝x0＋x2'－x1'≥0 解得a2≥1.5m/s2 所以a2的最小值为1.5m/s2 拓展 20 【答案】 B 【解析】 暂无解析 21 [多选题] 【答案】 A C 【解析】 暂无解析 22 [多选题] 【答案】 B C D 【解析】 暂无解析 23 【答案】 B 【解析】 暂无解析 24 [多选题] 【答案】 B D 【解析】 、根据图线与时间轴所围的的“面积”表示速度变化量，知时电梯的速度为零，内电梯一直在上升，因此，第末电梯上升到最大高度。故错误，正确。 、由图象可知，内速率最大，其值等于内图线下的“面积”，最大速率为：。故错误，正确。 25 [多选题] 【答案】 A B C 【解析】 暂无解析 26 【答案】 （1） （2）能 【解析】 （1）公交车的加速度为： 所以其加速度大小为4.5 （2）公交车从与李老师相遇到开始刹车用时为：， 公交车刹车过程中用时为：， 李老师以最大加速度达到最大速度用时为：， 李老师加速过程中位移为：， 以最大速度跑到车站用时为： 显然，，能赶上这班车。 27 【答案】 （1）12m （2）；70m 【解析】 （1）当两车速度相同时，两车距离最大，v甲＝v乙， 即：a甲t甲＝a乙t乙， 又因为t甲＝t乙＋△t， 代入数据可解得：t乙＝2s，t甲＝4s， 此时甲车运动的位移： ， 乙车运动的位移： ， 则两车距离的最大值： △x＝x甲-x乙＝24m-12m＝12m。 （2）设乙车出发后经过t′时间追上甲车， 由题意知，两车相遇时位移相同，即：x甲′＝x乙′， 此时甲车运动的位移：， 此时乙车运动的位移：， 联立以上式子可解得：， 将t′代入上式可解得：。 28 【答案】 （1） （2） （3） 【解析】 （1）羚羊在加速阶段需时间：， 羚羊的加速度为：， 猎豹在加速阶段需时间：， 猎豹的加速度为：。 （2）猎豹从开始攻击到减速的距离为：； 而羚羊在这段时间内运动的距离为：； 依题意应有：， 即： （3）猎豹在加速阶段运动距离为而羚羊在这段时间内运动距离为： ， 依题意应有：， 即：。 29 【答案】 5.4m 【解析】 乙车刹车后，在反应时间内，甲车做匀速直线运动，甲、乙两车运动的v－t图象如图所示． 设从乙车刹车到甲、乙两车恰好不相撞所经历的时间为t， 则v0－a1（t－△t）＝v0－a2t， 代入数据解得：t＝3.6s 此时，两车的速度都为v＝v0－a2t＝6m／s． 在t＝3.6s的时间内，甲车的位移为 乙车的位移为 要两车不相撞，甲乙两车的距离至少为△x＝x甲－x乙＝（59.5－54.0）m＝5.4m． 答：要两汽车不相撞，甲、乙两汽车在乙车刹车前至少相距5.4m． 1 高小思的专属讲义 . 学科网（北京）股份有限公司 $$