1.1椭圆及其标准方程同步练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1　椭圆及其标准方程 A组 基础巩固 1.平面内,若点M到定点F1(0,-1),F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹为(　　). A.椭圆 B.直线F1F2 C.线段F1F2 D.直线F1F2的垂直平分线 2.若已知椭圆=1,焦点在x轴上.若焦距为4,则m等于(　　). A.4 B.5 C.7 D.8 3.若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(　　). A.(-9,25) B.(8,25) C.(16,25) D.(8,+∞) 4.如图,椭圆=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为(　　). (第4题) A.8 B.2 C.4 D. 5.已知椭圆C:+y2=1的一个焦点为F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B.若=3,则||=(　　). A. B.2 C. D.3 6.已知椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　 ,∠F1PF2的大小为　　　　　.  7.已知椭圆的焦点F1,F2在x轴上,且a=c,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为16,求椭圆的标准方程. 8.求焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程. B组 能力提升 1.(多选题)已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,P为椭圆C上异于椭圆C与x轴的交点的动点,则下列结论正确的有(　　). A.△PF1F2的周长为10 B.△PF1F2面积的最大值为2 C.当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为 D.存在点P使得=0 2.已知P是椭圆=1上一点,若以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积为1,则点P的坐标为(　　). A. B. C. D. 3.已知椭圆=1的两个焦点为F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是(　　). A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 4.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　). A.5 B.7 C.13 D.15 5.已知△ABC的顶点A(-2,0)和B(2,0),顶点C在椭圆=1上,则=　　　　　.  6.已知椭圆C1:mx2+y2=8与椭圆C2:9x2+25y2=100的焦距相等,则m的值为　　　　　.  7.已知点P在椭圆上,且点P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.经过点P且与椭圆的焦点所在直线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程. 参考答案 A组 基础巩固 1.答案:C 解析:由|MF1|+|MF2|=2=|F1F2|知,点M的轨迹不是椭圆,而是线段F1F2. 2.答案:A 解析:∵椭圆焦点在x轴上, ∴a2=10-m,b2=m-2. 又c=2,∴10-m-(m-2)=4. ∴m=4. 3.答案:B 解析:由题意知 解得8<m<25,故选B. 4.答案:C 解析:由椭圆的定义,知|MF1|+|MF2|=2a=10,又因为|MF1|=2,所以|MF2|=8.因为N为MF1的中点,所以ON为△F1MF2的中位线, 所以|ON|=|MF2|=4. 5.答案:C 解析:如答图,设l与x轴交于点A1,过点B作x轴的垂线,垂足为点B1,设||=t, (第5题答图) 则||=,从而||=,||=,||=, 故B(),把点B的坐标代入椭圆方程,得=1,解得t2=2,从而t=或t=-(舍去). 6.答案:2　120° 解析:由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2. 又因为|F1F2|2=(2c)2=4c2=4×(9-2)=28, 所以在△PF1F2中,cos∠F1PF2 = =-. 所以∠F1PF2=120°. 7.解:因为椭圆的焦点在x轴上, 所以设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 因为△ABF2的周长为16, 所以4a=16,a=4. 因为a=c, 所以c=2. 所以b2=a2-c2=16-8=8. 故椭圆的标准方程为=1. 8.解:因为椭圆的焦点在y轴上, 所以设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0), 所以 解得 故所求椭圆的标准方程为+x2=1. B组 能力提升 1.答案:AB 解析:由椭圆C:=1的方程可得a=3,b=,c=2,△PF1F2的周长为2a+2c=10,故A正确; 当点P位于椭圆C与y轴的交点处时,△PF1F2的面积最大,最大值为×2c×b=2,故B正确; 当∠F1PF2=60°时,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=16, 所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=16, 所以(2a)2-3|PF1|·|PF2|=16, 解得|PF1|·|PF2|=, 所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|sin 60°=,故C错误; 设点P的坐标为(x0,y0),则=1. ① 由=0可得=4, ② 由①②解得=-,所以不存在这样的点P,故D错误. 故选AB. 2.答案:D 解析:由椭圆方程知c=1,设点P的坐标为(x,y),则×2c×|y|=|y|=1,于是y=±1.将y=±1代入椭圆方程,得=1,解得x=±,则点P的坐标为. 3.答案:B 解析:由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,因为|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又因为|F1F2|=2c=2,所以|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2,即∠MF2F1=90°.故△MF1F2为直角三角形. 4.答案:B 解析:由题意知,椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 5.答案:2 解析:设∠A,∠B,∠C的对边分别为a1,b1,c1. 由题意知,a=4,b=2,c==2,A,B为椭圆的两个焦点.则a1+b1=2a=8,c1=2c=4. 由sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径)得=2. 6.答案:9或 解析:将椭圆C1的方程化成标准方程为=1,椭圆C2的方程化成标准方程为=1. 设椭圆C2的焦距为2c,则c2=-4=. 当椭圆C1的焦点在x轴上时,因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等,所以-8=,解得m=. 当椭圆C1的焦点在y轴上时,因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等,所以8-,解得m=9. 综上可知,m=9或m=. 7.解:设所求的椭圆方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0), 由已知条件得解得 所以b2=a2-c2=12. 于是所求椭圆的标准方程为=1或=1. 学科网（北京）股份有限公司 $$