精品解析：天津市第三中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题

天津市第三中学2024~2025学年度第一学期 高三年级阶段性检测试卷（2024.10） 数学 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】由题设，，则， 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，故充分性成立， 由可得或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质并结合“媒介”数比较大小作答. 【详解】依题意，，， 而，即， 所以，，的大小关系为. 故选：B 4. 为了了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个学生进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在内，按，，，分为4组，并整理得到如下频率分布直方图，其中支出金额在内的学生有人，则的值为（ ） A. 300 B. 320 C. 340 D. 360 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出支出金额在内频率，即可求出样本容量. 【详解】由频率分布直方图可得支出金额在内的频率为， 又支出金额在内的学生有人， 所以. 故选：D 5. 若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案 【详解】解：由图可知，当时，， 取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D， 当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A, 故选：C 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数解析式，利用反比例函数的性质求出值域． 【详解】 故选：C． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解. 【详解】， ， ， ，即或（舍去） 故选：C 8. 已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据基本不等式先求解，从而将的最小值转化为的最小值，再利用乘“1”法求解不等式最小值. 【详解】因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为的最小值，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：D 【点睛】利用基本不等式求解最小值时，注意运用“一正二定三相等”的原则. 9. 若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的范围确定的范围，分别讨论单调递增和单调递减的情况，根据正弦型函数单调性的判断方法可构造不等式组求得的范围，进而确定最大值. 【详解】当时，； 若在上单调递增，则， 解得：，又，若不等式组有解，则 解得：，，则； 若在上单调递减，则， 解得：，又，若不等式组有解，则， 解得：，与矛盾，在上单调递减不成立； 综上所述：，则的最大值为. 故选：B. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（ ）． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质计算依次判断即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，故①错误； 函数的最小正周期，但是， 故非奇非偶函数，即②错误； 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，，故③正确； 因为，所以不是零点，故④错误； 故选：A 二、填空题（共8题，每题4分，共32分） 11. i是虚数单位，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法、复数模的计算公式求解作答. 【详解】， 所以. 故答案为： 12. 设 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的乘法公式和纯虚数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又为纯虚数， 所以，解得. 故答案为：-1 13. 的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得， 常数项为. 故答案为：． 14. 设向量，，且与共线，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由两向量共线列方程求出的值即可. 【详解】因为，且与共线， 所以，解得. 故答案为： 15. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用条件概公式求解即可. 【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球” 所以. （2），. 故答案为：；. 16. 在正六边形中，对角线，相交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF边长为， 则， ， 由，则， 所以有，解得，则. 故答案为： 17. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】 由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果 【详解】，； 又因且，为正三角形， ，，， 设的长为（），则，， 时取等号， 的最小值为. 故答案为：1，. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 18. 已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示， 令，则可化为， 则或， 则关于的方程恰有5个不同的实数解 等价于的图象与直线的交点个数之和为5个， 由图可得函数的图象与直线的交点个数为2， 所以的图象与直线的交点个数为3个， 即此时，解得. 故答案为：. 三、解答题（共3题，19题12分，20题13分，21题13分，共38分） 19. 中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，即可得到，从而求出，即可得解； （2）用同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，再根据两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理，则， 又，所以，即， 由正弦定理可得，因， 所以，则，又，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以. 20. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域； （3）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）求出相位范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得. （3）由（1）的信息求出角，再利用余弦定理、结合基本不等式及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 依题意，， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得，则，即， 所以函数在区间上的值域为. 【小问3详解】 由（1）知，，而，即有，则，解得， 由余弦定理，得， 于是，当且仅当时等号成立，因此， 所以面积的最大值为. 21. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）若，，为边上的中点，求； （2）若为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和求出，进而求出，进而求出，平方后得到，从而求出； （2）由正弦定理得，再利用向量基底表示和数量级运算律推导出，再利用基本不等式“1”的妙用求解出最小值. 【小问1详解】 依题意得：， 由，得：， ∴， ∵D为边的中点，∴ ∴ ， 即. 【小问2详解】 由正弦定理得， ∵E为边上一点，， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当，即取等号， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第三中学2024~2025学年度第一学期 高三年级阶段性检测试卷（2024.10） 数学 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 4. 为了了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个学生进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在内，按，，，分为4组，并整理得到如下频率分布直方图，其中支出金额在内的学生有人，则的值为（ ） A. 300 B. 320 C. 340 D. 360 5. 若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C D. 6. 函数值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8题，每题4分，共32分） 11. i是虚数单位，则的值为______. 12. 设 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为___________． 13. 的展开式中的常数项为______. 14. 设向量，，且与共线，则 ___________． 15. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 16. 在正六边形中，对角线，相交于点，若，则______． 17. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 18. 已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________． 三、解答题（共3题，19题12分，20题13分，21题13分，共38分） 19. 中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 20. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上值域； （3）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值. 21. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）若，，为边上的中点，求； （2）若为边上一点，且，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$