拓展3-2 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

拓展3-2圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 一、定点问题 ②斜率为定值 ①直线过定点 ③线段长为定值 ②圆过定点 ④数量积为定值 ③确定某定点使得式子为定值 ⑤参数为定值 二、定值问题 三、定直线问题 ①面积为定值 一、定点问题 ①直线过定点 方法点拨：一、引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； 二、特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 1．已知椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)设的右顶点为，点，是椭圆上的两点（异于顶点），若直线，与轴交于点，，若，求证：直线恒过定点. 2．已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.证明：直线恒过定点； 3．已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 4．已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． (1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； (2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 5．设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)设，求当取得最小值时直线的方程； (3)设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 6．已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. ②圆过定点 方法点拨：圆过定点，因为通过推导求出定点难度较大，故常见做法有：1.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算；2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明 7．已知椭圆 ，离心率，它的长轴长等于圆的直径. (1)求椭圆 的方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点 ，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？ 8．已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 9．已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点． ①求、的纵坐标之积； ②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 10．已知圆：，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于、两点，求证：以为直径的圆恒过定点． 11．已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点. (1)求曲线的标准方程； (2)以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 12．已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 13．已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. ③确定某定点使得式子为定值 14．已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 15．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，设动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设，垂直于x轴的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AP和曲线C交于另一点D，过点作直线BD的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 17．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 18．已知双曲线的离心率为，过点的直线与交于两点，当的斜率为时，. (1)求的方程； (2)若分别在的左､右两支，点，探究：是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 二、定值问题 方法点拨：求定值问题常见的思路和方法技巧：1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． ①面积为定值 20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 21．已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 22．如图：已知双曲线（的一支）与双曲线，为上一点，过的直线与另交于、两点. (1)求证：与切于且为中点. (2)过、分别作的切线交于，直线、分别与、交于、. （ⅰ）确定的轨迹. （ⅱ）证明：的面积为定值. 23．已知两条抛物线，． (1)求与在第一象限的交点的坐标． (2)已知点A，B，C都在曲线上，直线AB和AC均与相切． （ⅰ）求证：直线BC也与相切． （ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线相切于D，E，F三点，记的面积为，的面积为．试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 24．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 25．已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由. ②斜率为定值 26．已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 27．如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 28．已知椭圆经过点，且左､右焦点分别为，过的一条直线与椭圆交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与斜率之和为定值. 29．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 30．已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 31．已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 32．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. ③线段长为定值 33．在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． (1)求曲线的方程； (2)已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； (3)在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由． 34．已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点. （i）求与的面积之比； （ii）证明：为定值. 35．已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点． (1)求曲线的标准方程; (2)已知是定值，求该定值; 36．已知双曲线，的左、右焦点分别为，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为. (1)求的标准方程 (2)直线与C交于两点，点是的平分线上一动点，且，试探究是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由， 37．如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程; (2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i) 若，求直线的斜率； (ii) 求证：是定值. 38．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 39．已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线． (1)求的方程； (2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值． 40．已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. ④数量积为定值 41．已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 42．已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于. (1)若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：； (2)求证：为定值； (3)求的最小值. 43．已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 44．一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程，并说明E是什么曲线； (2)若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值． 45．已知分别是椭圆的左右焦点为椭圆的上顶点， 是面积为的直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． ⑤参数为定值 46．已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 47．已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由. 48．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值． 49．已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 三、定直线问题 方法点拨：定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 50．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上. 51．已知椭圆的离心率为，点在C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上. 52．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)直线与交于两点， （i）求面积的最大值； （ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 53．已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 54．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 55．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 56．如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 57．已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展3-2圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 一、定点问题 ②斜率为定值 ①直线过定点 ③线段长为定值 ②圆过定点 ④数量积为定值 ③确定某定点使得式子为定值 ⑤参数为定值 二、定值问题 三、定直线问题 ①面积为定值 一、定点问题 ①直线过定点 方法点拨：一、引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； 二、特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 1．已知椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)设的右顶点为，点，是椭圆上的两点（异于顶点），若直线，与轴交于点，，若，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，的方程为. （2）设，不妨设在左侧，，，，   ，，， 将椭圆平移至，即， 此时平移至，，分别平移至，， 设方程为，， ， ，是关于的方程的两不等实根， 由， 直线的方程为，恒过定点，恒过定点. 2．已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.证明：直线恒过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，当时，，结合韦达定理推理即得. 3．已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 4．已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． (1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； (2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【详解】（1）由题意知， 设，故， 则 ， 当时，取到最小值，即， 又，则， 故双曲线方程为； 将代入可得，由于是双曲线在第一象限内的点，故， 又双曲线渐近线方程为， 不妨设QA方程为，联立， 解得，则, 设QB方程为，联立，得， 则， 由双曲线渐近线方程可知，则, 则为钝角，结合，可得， 故四边形OAQB的面积为； （2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为，设， 联立，得， 则， 因为，故， 故 即， 可得 即得或； 当时，直线l方程为过点，不合题意； 当时，直线l方程为过点； 当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则可取， ，解得或， 时，直线l过点Q，不合题意； 时，直线l也过点， 综合上述，直线l过定点. 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线类题目，比如面积问题以及定值定点问题，解答的思路并不困难，难点在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的运算，计算量较大，需要十分细心. 5．设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)设，求当取得最小值时直线的方程； (3)设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）设，则， 所以从而 因为，所以，即． 则，化简得． 所以点的轨迹方程为． （2）由（1）得，则的最小值为1，此时或， 即或． 当时，可得，从而直线的方程为； 当时，同理可得直线的方程为． （3）设，，由（2）可知， 当时，直线，得，直线； 当时，直线，得，直线． 当是其他点时，直线的斜率存在， 且， 则直线的方程为， 注意到，化简得． 点与关于直线对称， 设，则由， 解得， 又，所以 ， 从而， 令，得，因此直线过定点． 【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于多参设法的消参方法，一是代入消元，如第（1）问中将用动点坐标表示代入关系式即可；二是整体消元，如第（3）问中的应用；三是设而求法，解元消元，如第（3）问中坐标的运算求解. 6．已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离. 根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线. ∵，∴抛物线方程为：. （2）设两点坐标分别为， 则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得. . 因为直线与曲线于两点，所以. 所以点的坐标为. 由题知，直线的斜率为，用替换可得点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用采用设线法并联立抛物线方程得到，再根据垂直关系替换得到，最后求出直线方程即可. ②圆过定点 方法点拨：圆过定点，因为通过推导求出定点难度较大，故常见做法有：1.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算；2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明 7．已知椭圆 ，离心率，它的长轴长等于圆的直径. (1)求椭圆 的方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点 ，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)； (2)存在，定点为. 【详解】（1）圆方程可化为， 则圆的直径为，即，， 由得：， 所以椭圆的方程：； （2）过点作斜率为的直线， 可得直线交椭圆的两个交点为， 则以为直径的圆为， 过点作斜率不存在的直线， 可得直线交椭圆的两个交点为， 则以为直径的圆为， 这两个圆的交点为， 所以猜想存在点，使得以 为直径的圆经过这个定点； 设直线 的方程为，与椭圆， 联立方程组得：， 设交点，则， 所以 ， 所以，即以 为直径的圆经过这个定点. 8．已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 9．已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点． ①求、的纵坐标之积； ②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②过定点，． 【详解】（1）由题意可得， 解得，． 故椭圆的标准方程为． （2）①由（1）可知，． 直线的方程为， 联立解得则． 同理可得 故， 设，则． 因为点在椭圆上，所以，所以， 则， 故． ②法一：由①可知，，    设存在定点，则，． 由题意可知，则， 所以恒成立，所以，． 故以为直径的圆过定点，． 法二：由题意可知在轴的两侧，则以为直径的圆与轴有两个交点， 设以为直径的圆与轴的两个交点分别为（在的左侧）， 直线与轴的交点为， 则， 因为，所以， 则，即以为直径的圆过定点.    10．已知圆：，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于、两点，求证：以为直径的圆恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）的垂直平分线交于点， ，从而， 动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆． 设椭圆的方程为，则，， ，，， 动点的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，则，得， 由题意知，点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 设、，则． 假设在轴上存在定点满足题设，则， 以为直径的圆恒过点， ，即， ， 可化为 ， 由于对于任意的，恒成立，故，解得． 因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为． 【点睛】方法点睛：椭圆中定点问题，首先设直线与椭圆的交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，然后设定点为，由定点满足的条件列出恒等式并代入进行转化，利用恒等式知识求得． 11．已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点. (1)求曲线的标准方程； (2)以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)； (2)过定点，. 【详解】（1）依题意，由椭圆定义可知在以､为焦点，为长轴长的椭圆上 ， 曲线的标准方程为 （2）设当过的切线斜率不存在时，不能和直线相交，所以过的切线斜率存在，设切线的斜率为轴上的截距为，则切线 联立消去得 与曲线相切，， ， 联立，求得 由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在轴上， 设是以为直径的圆上的一点 ，即 以为直径的圆过定点 12．已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点. 【详解】（1）设动圆圆心， 当时，依题意，，即； 当时，点C的轨迹为点，满足， 所以点C的轨迹方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线l方程为：，， 由消去x并整理得，恒成立， 则，令圆心为，则，，， 直径， 则圆的方程为， 当时，， 因此对于，圆恒过原点， 所以存在定点，以MN为直径的圆过定点.    13．已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点 【详解】（1）因为点的横坐标分别为，所以， 则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为. 当时，， 因为，所以以为直径的圆过原点. 以下证明当时，以为直径的圆过原点. 由，消去，得， 由根与系数的关系，得， ， 所以，所以以为直径的圆过原点. 综上，以为直径的圆过原点. ③确定某定点使得式子为定值 14．已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）在轴上存在点使得，理由如下： 设,直线， 联立与椭圆可得， 则， 因为，所以，即， 整理得，即， 即， 则，又，解得， 所以在轴上存在点使得. 15．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，设动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设，垂直于x轴的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AP和曲线C交于另一点D，过点作直线BD的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题设得，即， 整理可得； （2）设,，,，,，显然直线斜率不为0， 设直线方程为， 联立，消去并整理得， 由题设且， 化简得且， 由韦达定理可得，， 直线的方程是， 令得 ， 所以直线过定点． 故， 由于，则为直角三角形， 故存在定点为的中点为，且. 【点睛】关键点点睛：利用韦达定理代入化简求解直线过定点，由为直角三角形，根据中线性质求解. 16．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 17．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)-3 (2)存在，，或 【详解】（1）由题可得双曲线E：， 则， ∴左、右焦点分别为，，直线l的方程为： 设， ，同理可得． ∴； （2）设，如图， 直线方程为， 代入双曲线方程可得：， 所以，则， 则， ， ， ． 同理， 即， 即， ∴或， 又， 若．无解，舍去． ∴，解得，，或，， 若，，由A在直线上可得，， ∴．此时， 若，，由A在直线上可得，， ∴此时 ∴存在点，或，满足． 18．已知双曲线的离心率为，过点的直线与交于两点，当的斜率为时，. (1)求的方程； (2)若分别在的左､右两支，点，探究：是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【详解】（1）依题意，直线， ，故， 联立得， 设，则，则 ， 解得， 故的方程为； （2）存在，使得，且，理由如下， 因为，故， 故，所以， 又，故， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，其中， 由得， 故， 因为，所以 ， 代入，所以， 整理得， 可得， 整理得，此时， 经检验，存在，使得，故. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的直线与曲线之间的关系，得到关于参数的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 19．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴， ∴．抛物线C的方程为． （2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，， 由，得， ∴，，， ∵，∴， ∴ ， ∴或（舍去）， 当时，点M的坐标为，满足，， ∴存在定点． 二、定值问题 方法点拨：求定值问题常见的思路和方法技巧：1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． ①面积为定值 20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【详解】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2） 证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 21．已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）设C的方程为，其中． 由C过A，B两点，故，，解得，． 因此C的方程为． （2）（ⅰ）设，，，其中，，i＝0，1，2．    因为，所以直线BM的斜率为，方程为． 由，得， 所以， ． 因此． 同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为． 由，得， 所以， ， 因此 ． 则，即存在，满足． （ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为， 所以点P到直线MN的距离． 而， 所以的面积为定值． 【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大． 22．如图：已知双曲线（的一支）与双曲线，为上一点，过的直线与另交于、两点. (1)求证：与切于且为中点. (2)过、分别作的切线交于，直线、分别与、交于、. （ⅰ）确定的轨迹. （ⅱ）证明：的面积为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由已知，联立直线与， 即，且， 可得，， 即直线与切于， 法一：设，，中点为， 则， 且，则， 即， 则， 即，即， 又不过原点，则若使，只能与重合， 即为中点； 法二：设，， 联立直线与，即，且得， 则， 过作轴，分别过、作、， 由得：为中点， 故， 则， 为中点； （2）（i）法一：由（1）过点、作的切线，分别为，， 设，则， 则， 则，即， 由（1）得， 即点在直线上， 联立，解得 又，在上，故， 即： 于是轨迹：； 法二：由，可知， 又，则，同理， 所以， 同理， 所以， 于是轨迹：； （ⅱ）由得， 则， 因为、关于对称，则、到的距离比为，由于为中点， 所以，则、到的距离比为 所以、到的距离比为， 即，同理：， 所以∽， 所以，， 则，， 所以， 又， 点到的距离， 所以， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 23．已知两条抛物线，． (1)求与在第一象限的交点的坐标． (2)已知点A，B，C都在曲线上，直线AB和AC均与相切． （ⅰ）求证：直线BC也与相切． （ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线相切于D，E，F三点，记的面积为，的面积为．试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是定值，定值为 【详解】（1）联立方程，且，可得， 故有，从而，代入得， 所以两抛物线在第一象限的交点的坐标为． （2）（ⅰ）设，，， 由题可知，，均不为0且不相等，直线AB，AC的斜率均存在， 则直线AB：，即直线AB：， 同理可得BC：，AC：． 联立，消去y得， 由AB与相切，得， 同理由AC与相切，得． 则，可得， 所以，即， 所以直线BC也与相切，证毕； （ⅱ）不妨设，且A在B上方． 由于，在抛物线上，求导得， 所以点E，F处的切线方程为，， 得，解得，即， 同理，． 过C作y轴的平行线CP交AB于P点，过D作y轴的平行线DQ交EF于Q点， 则，， 由直线AB：，与联立，得， 所以， 同理由直线EF：，与联立，得， 所以，故， 所以． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 24．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. （2）(i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 25．已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆， 设，则，即. 由知， 所以点的轨迹的方程为； （2） 设，则由，得. 因为点均在曲线上，所以， 同向相乘得 整理得： 又因为，所以， 所以， 设，则， 又因为点在曲线上，所以， 整理得：， 又因为，， 代入上式得：，即， 又因为，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于计算出后，利用面积公式得到，从而可通过计算的值得解. ②斜率为定值 26．已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. （2）    不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 27．如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 28．已知椭圆经过点，且左､右焦点分别为，过的一条直线与椭圆交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因椭圆经过点，可得， 由的周长为，可得，解得， 故椭圆方程为：； （2） 如图，依题设直线方程为：，即，代入， 整理可得：， 由，解得或. 设，则 则直线与斜率之和为： 为定值，故得证. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆相交产生的定值问题，属于较难题.解题的关键在于将直线方程与椭圆方程联立消元后，列出韦达定理，化简时，要先利用直线方程消去，通分后将其整理成关于和的对称式，代入韦达定理，化简即可. 29．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 30．已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 31．已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由双曲线过点，则， 又离心率为2，则，即， ，即，代入， 可得，，， 因此，的方程为：. （2） 将双曲线向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线为，得到的双曲线如图所示， 则平移到，平移到， 平移后，变为，，设，，直线的方程为：①， ②， 将①代入②，用“1”的代换得，则， 各项同时除以，得，则， 又直线过，则，即， 因此， 故当直线，的斜率存在时，，的斜率之积为定值. 【点睛】方法点睛：平移齐次化的步骤， （1）平移； （2）与圆锥曲线联立并其次化； （3）同除； （4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去. 32．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①是定值，；② 【详解】（1）由题可知，点到点的距离与到的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故轨迹方程为. （2）①设， 由题可知斜率不为0，设， 联立曲线方程并消去可得， 显然， ，联立曲线方程并消去可得 ， 则是方程的两根，， 所以，同理 因为，所以，所以；    （2）由①知的方程为： 令，， 所以过定点. ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． ③线段长为定值 33．在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． (1)求曲线的方程； (2)已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； (3)在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，分别为，且定值为6 【详解】（1）由于曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：， 故曲线绕原点逆时针旋转后得到曲线：． 设是上任意一点，绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点， 则，， 由于在上，所以，化简得， 故的方程为， （2）设直线，,, 联立直线与双曲线的方程，消去得， ， 所以由韦达定理可得，， 因为，故，， 即， ，化简得， 代入可得，故， 结合，故， 由可得 ， 由于在双曲线上，故， 所以， 代入和可得， 故 （3）由双曲线方程可得， 不妨设，由（2）知， 故， 由于，则，， ， 因此 ， 故存在两个定点，，使得为定值， 且，分别为，且定值为6 【点睛】关键点点睛：利用向量共线坐标关系得，利用得，代入两点距离化简可得，第三中，利用（2）的结合和相似，结合双曲线的定义求解. 34．已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点. （i）求与的面积之比； （ii）证明：为定值. 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见解析 【详解】（1）根据题意解得， 所以椭圆的方程为 （2）如图所示： 设直线的方程为，则， 联立方程消去，整理得， ，得 设，则. （i）， ， 与的面积之比为1. （ii）证明： . 综上，. 35．已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点． (1)求曲线的标准方程; (2)已知是定值，求该定值; 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）令且，因为，所以， 整理可得， 所以的标准方程为. （2）设且，，， 设直线和直线的方程分别为，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 则，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 可得，， 又因为，， 所以， 所以，即， 同理可得，，即， 又因，， 所以 . 36．已知双曲线，的左、右焦点分别为，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为. (1)求的标准方程 (2)直线与C交于两点，点是的平分线上一动点，且，试探究是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由， 【答案】(1) (2)是定值，1 【详解】（1）由椭圆方程知得， 所以，则， 到直线的距离， 双曲线C的标准方程为． （2）由（1）知：， 与双曲线C的左右半支各交于一点， 如图，设，    设中点为，则， 又为的角平分线，； 由得：， ， ， ，即，解得：， ； ， ， ， ， 所以，为定值. 37．如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程; (2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i) 若，求直线的斜率； (ii) 求证：是定值. 【答案】(1) (2)(i)；(ii) 【详解】（1）将点和代入双曲线方程得： ，结合，化简得：，解得， 双曲线的方程为． （2）(i) 设关于原点对称点记为， 则． 因为，所以， 又因为，所以，即， 故三点共线． 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以． 由题意知，直线斜率一定存在， 设的直线方程为，代入双曲线方程整理得： ，故， 直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得． 由弦长公式得 ， 则，且由图可知，即， 代入解得． (ii) 因为，由相似三角形得， 所以 ． 因为． 所以，故为定值． 【点睛】关键点点睛：第二问(ii)的关键是将转化为，结合韦达定理即可顺利得解. 38．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为定值． 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． （2） 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 39．已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线． (1)求的方程； (2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由题意得直线的斜率为负，又直线，则的方程为， 故直线的斜率为， 所以，，， 又，所以， 所以，，的方程为； （2）证明：由（1）知，设直线的方程为（且）， 与联立得， 设，，中点为， 则，，， 设，由得点在线段的垂直平分线上， 所以，， ， 所以， 所以为定值． 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 40．已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以， 故抛物线E的标准方程为. （2）易知抛物线E的焦点， 设直线AB的方程为，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为， 联立可得，即，即， 所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点， 所以，AC的方程为， 同理可知，直线BD的方程为， 在直线AC的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，所以，直线的方程为，即， 设点、，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以， 同理可得， 所以 ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. ④数量积为定值 41．已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【详解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数．    【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是利用圆锥曲线中常用的方法“设而不求”，设出直线方程，设出交点坐标，考查计算能力，属于较难题. 42．已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于. (1)若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：； (2)求证：为定值； (3)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）点是抛物线上任意一点， 设,， 抛物线的准线方程为． 点在直线上的射影为， ， ，， ． （2）由题设知直线的斜率一定存在，设， 由，得， 设,，则，， ， ,，,， ． 故为定值． （3）因为,，， 直线，直线， ，都在直线上， ，， ， 当时，取最小值． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 43．已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． （2）证明：①将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ②由①知，， 所以 ， 故为定值． 44．一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程，并说明E是什么曲线； (2)若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值． 【答案】(1)曲线，曲线E的是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点的椭圆． (2)证明见解析 【详解】（1）设动圆的圆心，动圆半径为r， 因为化为标准方程，故圆心，， 因为化为标准方程，故圆心，， 依题意得，， 所以，故点Q是以、为焦点的椭圆， 所以，，故， 所以曲线，曲线E是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点的椭圆. （2）由（1）得， 当弦的斜率不存在时，此时弦为椭圆的短半轴，此时， 此时直线为椭圆的通径，满足， 从而， 当弦的斜率存在时，设为k， 设直线的方程为，代入曲线E得， 从而， 设直线，代入曲线E得， 设，，则，， 又因为， 所以 ， 所以. 综上所述，为一个定值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线定值问题的解决方法主要包括以下几个步骤： 1.设定变量：需要根据题目情况设定直线方程，通常为或的形式； 2.利用条件表示其他量：通过题目给出的条件，用设定的变量表示其他需要的量，如弦长、距离等； 3.化简求定值：将表示的其他量代入到需要求定的量中，通过计算和化简，最终得到一个与变量无关的定值. 45．已知分别是椭圆的左右焦点为椭圆的上顶点， 是面积为的直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，． 【详解】（1）由为直角三角形，故， 又， 可得 解得 所以， 所以椭圆的方程为； （2）解法一：当切线的斜率不存在时，其方程为， 将代入，得， 不妨设，，又， 所以， 同理当时，也有. 当切线的斜率存在时，设方程为， 因为与圆相切， 所以，即， 将代入，得， 所以， 又 ， 又 ， 将代入上式得，所以， 综上，. 解法2：设点，，显然直线不经过原点，设． 由与圆相切得． 整理得，即． 当（或）在轴上时，不妨令，则，所以， 不妨取，则，此时直线恰过点，为椭圆的右顶点， 所以，则， 当、两点都不在轴上，则． 联立得． 故方程两边同除以并整理得， ∴． 故． ∵ ， ∴． 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据直线与圆相切可得，再求证. ⑤参数为定值 46．已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，，所以， 因为点在上，所以， 解得，故， 所以椭圆的方程为. （2）由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为， 代入椭圆方程，整理得，， 设，则， 又，由得. 所以， 因为， 所以为定值. 47．已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，定值为. 【解析】（1）由题意可得，，，可求得椭的圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立整理得：，设，， 由一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据向量的坐标运算表示出， ，代入计算可求得定值. 【详解】（1）由题可得， 又，所以 因此椭圆方程为 （2）由题可得直线斜率存在，设直线l的方程为， 由消去y，整理得：， 设，，则， 又，，则，， 由可得，所以 同理可得， 所以 所以，为定值. 【点睛】关键点点睛：该题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题目. 48．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析； 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且经过点， 所以有； （2）证明：设直线方程为，，， 由，联立消x得， 所以，，， 由题意知，，均不为． 设，， 由，，A三点共线知与共线， 所以，化简得； 由，，三点共线，同理可得； 由，得，即； 由，同理可得； 所以 ， 所以为定值． 【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 49．已知抛物线的准线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，点其中在抛物线上，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)设为原点，若，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的准线经过点， 所以，所以抛物线的方程为. 设直线的方程为， 由消去并化简得， 由于直线与抛物线有两个不同的交点，所以且， 由于在抛物线上，且，所以，所以， 且直线不过点，即， 所以直线斜率的取值范围是. （2）设，由（1）得， 依题意可知直线的斜率存在， 直线的方程为，令， 即，同理可求得. ，由于， 所以、， 所以， 所以 所以 为定值. 三、定直线问题 方法点拨：定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 50．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得椭圆的半焦距， ，所以， 所以， 所以椭圆C的方程为； （2）不妨设，，l的方程为， 联立，得， 恒成立， 设，，则， 故，， 又的方程为，的方程为， 联立两直线方程得， 即， 因为，所以， 整理得， 故点Q在定直线上. 51．已知椭圆的离心率为，点在C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点在C上， 所以, 所以, 所以椭圆C的方程为. （2）设过点且斜率为的直线为：,即, 联立方程组, 所以, 因为，，所以, 所以 （3）设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M， 所以,又因为， 的中点， 于是,    所以，，即． 则有， 又因为， 所以， 于是， 即， 即，即， 即点在直线上． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是整体思想在圆锥曲线的定直线和定点问题中的应用. 52．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)直线与交于两点， （i）求面积的最大值； （ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析，． 【详解】（1）设焦距为，依题意，解得 又，所以， 所以的方程为． （2）（i）设， 因为，所以， ，解得， 所以， 点到直线的距离， 的面积 当且仅当，即时，面积的最大值为． （ii）设，由，有， 即 因为，所以， 故，于是有， 所以点在定直线． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用韦达定理表示弦长，以及坐标. 53．已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【详解】（1）由双曲线焦距为4可得，，即①. 故右焦点为，由， 令，得，则②， 联立①②解得，. 故双曲线的标准方程为； （2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在， 可设方程为， 联立，消得， 则由题意，且， 设， 由韦达定理知，， 由直线与左、右两支都相交，则，得. 又， 直线的方程为③， 直线的方程为④， ④③得，， 由 ， 故，解得， 当时，不论取何值，点横坐标为常数， 即直线和的交点为在定直线上. 【点睛】关键点点睛：运算化简是解决题目关键环节，以下两方面的化简要注意：一是应用直线方程化简消去如：的变形；二是转化变形式子，应用韦达定理化简点的坐标，如. 54．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定直线 【详解】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 55．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设点P的坐标为， 由得，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）若直线l的斜率不存在，则直线l与曲线只有一个交点，不符合题意， 所以直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为， 设点， 联立方程组，整理得，易知， ，解得， ，解得或， 综上或， 因为， 同理由得， 化简整理得， 所以， 化简整理得，代入， 化简整理得， 所以点D在定直线上．    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再对化简得，代入韦达定理式计算即可. 56．如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 【答案】证明见解析 【详解】证明：法一（常规证法） 由题意，设点，，，． 直线的方程为，直线的方程为． 由得， ∵恒成立，由韦达定理得，， 同理有，， ∴， ∴① 同理可得 ∵，∴，同理∵，∴， ∴， 即② 联立①②得 整理得 化简得，即点在直线上． 法二（参数方程）． 设，，，，（，）， 则， ∴， 同理可得， ∵，且，， ∴ 化简得，同理可得． 由整理得 即，∴点在直线上． 【点睛】本题考查了抛物线中的定直线问题，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 57．已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)点恒在直线上. 【详解】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$