2024-2025学年人教版数学九年级上学册期中检测试卷（一）【测试范围：21.1-22.3】

2024-2025学年九年级上学期（人教版） 期中数学检测试卷（一） 【测试范围：人教版九年级上册21.1-22.3】 （总分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。每小题只有1个选项符合题意） 1．一元二次方程x2﹣81=0的解是（    ） A．x1=x2=9 B．x1=x2=﹣9 C．x1=﹣9，x2=9 D．x1=﹣1，x2=2 2．（2024内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 5．（2024广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 6．（2024四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题包括6小题，每空3分，共18分） 9．若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是1，则方程的另一个根是　 　． 10．（2024吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 11．（2024吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 12．（2024甘肃临夏州·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ． 13．（2024四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 14．（2024四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 三、解答题（本题包括8小题，共78分） 15．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）（x﹣3）=12； （2）3x2﹣6x+4=0． 16.（8分）（2024北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 17.（8分）若关于x的方程 x2+4x﹣a+3=0有实数根． （1）求a的取值范围； 18.（9分）（2024广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 19．（10分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 20.（11分）（2024陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动．已知点P，Q的速度分别为2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 22．（12分）（2024四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期（人教版） 期中数学检测试卷（一） （解析版） 【测试范围：人教版九年级上册21.1-22.3】 （总分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。每小题只有1个选项符合题意） 1．一元二次方程x2﹣81=0的解是（    ） A．x1=x2=9 B．x1=x2=﹣9 C．x1=﹣9，x2=9 D．x1=﹣1，x2=2 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【分析】直接开平方法求解可得． 【解答】解：∵x2﹣81=0，∴x2=81，解得：x1=﹣9，x2=9. 故选：C． 2．（2024内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【考点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式. 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【解答】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 3．（2024江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【解答】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【解答】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 5．（2024广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【考点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【解答】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 6．（2024四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 【考点】全等三角形综合问题、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 【解答】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 7．（2024四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：． 故选：B． 8．（2024四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】根据二次函数的图象判断式子符号、一次函数、二次函数图象综合判断、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【解答】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 二、填空题（本题包括6小题，每空3分，共18分） 9．若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是1，则方程的另一个根是　 　． 【考点】根与系数的关系． 【分析】方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到1+t=﹣2，然后解一次方程即可． 【解答】设方程另一个根为t，根据题意得1+t=﹣2，解得t=﹣3，所以方程另一个根为﹣3．故答案为：﹣3．　 10．（2024吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【考点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 11．（2024吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【考点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解. 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【解答】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 12．（2024甘肃临夏州·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【考点】一元二次方程根的判别式 【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可． 【解答】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1． 故答案为：-1. 13．（2024四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【考点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【解答】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 14．（2024四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【考点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【解答】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题包括8小题，共78分） 15．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）（x﹣3）=12； （2）3x2﹣6x+4=0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法． 【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可． 【解答】（1）方程整理得：x2﹣5x﹣6=0， 分解因式得：（x﹣6）（x+1）=0， 解得：x1=6，x2=﹣1； （2）这里a=3，b=﹣6，c=4， ∵△=36﹣48=﹣12＜0， ∴方程无解． 16.（8分）（2024北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【考点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【解答】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 17.（8分）若关于x的方程 x2+4x﹣a+3=0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根． 【考点】根的判别式． 【分析】（1）因为方程有实数根，所以判别式大于或等于0，得到不等式，求出a的取值范围．（2）由a的范围得到a的最小整数，代入方程求出方程的根． 【解答】解（1）△=42﹣4（3﹣a）=4+4a． ∵该方程有实数根， ∴4+4a≥0．解得a≥﹣1． （2）当a为符合条件的最小整数时，a=﹣1． 此时方程化为x2+4x+4=0，方程的根为x1=x2=﹣2． 18.（9分）（2024广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【考点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 19．（10分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，进而得出即可． 【解答】因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元， 所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得： x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800， 解得：x1=220，x2=80． 当x=220时，120﹣0.5×=40＜100， ∴x=220（不合题意，舍去）； 当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100， ∴x=80． 答：该校共购买了80棵树苗． 20.（11分）（2024陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【考点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【解答】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动．已知点P，Q的速度分别为2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】根据四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【解答】∵∠B=90°，AC=10，BC=6，∴AB=8． ∴BQ=x，PB=8﹣2x； 假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于16cm2， 则×6×8﹣x（8﹣2x）=16， 整理得：x2﹣4x+8=0， ∵△=16﹣32=﹣16＜0， ∴假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于16cm2． 22．（12分）（2024四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【考点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$