专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为 ． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线交与x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)A点坐标为 ，B点坐标为 ； (2)抛物线的顶点坐标是 ； (3)当时，求y的取值范围； (4)当时，求x的取值范围． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 1．（2022·陕西西安·模拟预测）下列关于二次函数的图象判断正确的是（   ） A．对称轴位于轴右侧 B．当时，随的增大而减小 C．与坐标轴有三个交点 D．顶点纵坐标的最大值是 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象经过第一象限的格点（即纵、横坐标都是整数的点）共有 个． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数的图像与轴的正半轴交于点，点的纵坐标与顶点的纵坐标互为相反数，求证：． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（   ） A．米 B．米 C．3米 D．6米 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（   ） A． B． C． D． 1．（20-21九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数的图象的最高点在x轴上，则a=（   ） A． B．1或 C． D．1 2．（2023·黑龙江大庆·一模）有四个解，则的取值范围是 ． 3．（2022九年级·江苏·专题练习）阅读下列材料 我们通过下列步骤估计方程的根所在的范围． 第一步：画出函数的图象，发现图象是一条连续不断的曲线． 第二步：因为当时，；当时，，所以图象与轴的一个公共点的横坐标在0，1之间，所以可确定方程的一个根所在的范围是． 第三步：通过取0和1的平均数缩小所在的范围； 取，因为当时，，又因为当时，，所以． (1)请仿照第二步，通过运算验证的另一个根所在范围是； (2)小明在的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将所在范围缩小，得到的近似值约为，请问小明的这个结论是否正确，并说明理由． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象上有两点和，则的值等于（    ） A．11 B．12 C．15 D．9 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 3．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 2．（24-25九年级上·上海青浦·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海静安·模拟预测）已知y是关于x的二次函数：，则下列描述正确的是 ． ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点，； ④若在函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 3．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如表是二次函数中与的部分对应值，则方程的一个根的取值范围是（    ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.165 0.51 … A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·一模）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点A为抛物线上的动点，点B为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则b的值为（    ） A． B． C．－1 D． 5．（2023·湖北黄石·一模）如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2023·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 8．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ． 9．（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“Y函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“Y点”．若关于x的“Y函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：（，且m，n是常数）交于两点，当满足时，则直线l经过的定点为 ． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，平行于轴的直线分别交抛物线与交于，两点，过点作轴的平行交于点，直线，交于点，则 ． 11．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，求函数y的值． (2)当x取何值时，函数y的值是8？ 12．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 13．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）． (1)求点、点、点坐标； (2)若抛物线顶点为，求的面积； 14．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应任务． “阶梯点”的研究总结【一般概念】 若抛物线上存在一点，的横、纵坐标之和为，则称点为抛物线上的“阶梯点”． 例如：点就叫做抛物线的“阶梯1点”． 【求抛物线上的“阶梯点”的方法】 例如：求抛物线上的“阶梯9点”的点．设点的坐标为． ，，整理，得，解得， 点的坐标为▲____________或． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； (2)按照材料中的方法，求抛物线上的“阶梯1点”； (3)若抛物线上存在“阶梯2点”，直接写出的取值范围． 15．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： (1)方程的解是______． (2)方程的解是______． (3)方程的解是______． (4)方程的解的情况怎样？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，依据题意，先利用因式分解的方法得到交点、坐标为，，所以，然后带入计算即可． 【详解】， 抛物线与轴的交点、坐标为，． ． ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键． 利用二次函数对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，， ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线交与x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)A点坐标为 ，B点坐标为 ； (2)抛物线的顶点坐标是 ； (3)当时，求y的取值范围； (4)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)； (4)或． 【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，求二次函数的顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时，x的值即可求出A、B的坐标； （2）把解析式化为顶点式即可求出顶点的坐标； （3）先根据解析式求出当时，函数有最大值4，再分别求出和时的函数值即可得到答案； （4）求得时，x的值；时，x的值，根据函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是； 故答案为：； （3）解：∵， ∴当时，函数有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； （4）解：在中，当时，则，即， 解得或， 当时，则， 解得或， ∴当时，x的取值范围是或． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与坐标轴的交点，令中，求解即可出结论．解题的关键是掌握求二次函数的图像与坐标轴交点的方法：①与轴的交点，令后求解；②与轴的交点，令后求解． 【详解】解：令二次函数中， ∴， ∴二次函数与轴的交点坐标是． 故选：D． 1．（2022·陕西西安·模拟预测）下列关于二次函数的图象判断正确的是（   ） A．对称轴位于轴右侧 B．当时，随的增大而减小 C．与坐标轴有三个交点 D．顶点纵坐标的最大值是 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称轴，二次函数的性质，二次函数图象与坐标轴的交点个数的关系，二次函数图象的顶点坐标分别对各个选项进行判断． 【详解】解：A．，对称轴为，对称轴位于轴左边，故此选项不符合题意； B．对称轴位于轴左边，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意； C．，当时，，当时，抛物线与轴只一个交点，此时抛物线与坐标轴就没有三个交点，故此选项不符合题意； D．，顶点的纵坐标为，，，，顶点纵坐标的最大值是0，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，二次函数的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的顶点坐标，关键是理解和灵活用这些知识解题． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象经过第一象限的格点（即纵、横坐标都是整数的点）共有 个． 【答案】1999 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．求得抛物线与坐标轴的交点即可求得图象经过第一象限的整格点（即纵、横坐标是正整数的点）的个数． 【详解】解：∵二次函数 ∴令，得 解得或 令，得 ∴抛物线与坐标轴的交点有和， ∴图象经过第一象限时，． ∴故一共有1999个格点． 故答案为1999． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数的图像与轴的正半轴交于点，点的纵坐标与顶点的纵坐标互为相反数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标，解题的关键是先确定，继而得到顶点的纵坐标为，再根据抛物线的顶点坐标公式即可得证． 【详解】证明：∵二次函数的图像与轴的正半轴交于点， 当时，得， ∴，即点的纵坐标为， ∵点的纵坐标与顶点的纵坐标互为相反数， ∴顶点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（   ） A．米 B．米 C．3米 D．6米 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，设二次函数的解析式为：，用待定系数法求出抛物线解析式，把代入，求出x，根据题意选择合适得值即可． 【详解】解：根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为， 设二次函数的解析式为：， 由∵，的中点O为原点建立平面直角坐标系， ∴， 把代入可得出：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 当时， 即 解得：，（舍去）， 则此瓜农从点O沿向左最多能走． 故选：A． 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，进而确定t的最小值，然后再求出时t的值，然后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即t在的范围内的最小值为， 当时，；当时，； 所以t的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，根据题意确定t的最小值是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    【答案】3 【分析】根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再化成顶点式即可求解； （）把代入得，，解方程得到，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质，利用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入得，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， 故选：． 1．（20-21九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数的图象的最高点在x轴上，则a=（   ） A． B．1或 C． D．1 【答案】C 【分析】由题意可知二次函数的顶点在x轴上，即二次函数图象与x轴只有一个交点，令y=0得到关于x的一元二次方程其判别式为0，即可求得a． 【详解】解：∵二次函数的图象的最高点在x轴上， ∴二次函数图象与x轴只有一个交点， 令y=0可得，则该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=0，即，则有 解得：a=1或， 又最高点即开口向下，所以a= ． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数的图象性质以及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．（2023·黑龙江大庆·一模）有四个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，作出直线与的图像，根据图像的交点情况即可解答． 【详解】解：方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点， 如图，作函数的图像和直线的图像， 由有四个解，则直线的图像与的图像应有四个交点， ∴当时，有4个交点，即有四个解．      故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数图像与方程的解，根据直线与函数图像交点的个数得到方程解的个数．掌握数形结合的数学思想是解答本题的关键． 3．（2022九年级·江苏·专题练习）阅读下列材料 我们通过下列步骤估计方程的根所在的范围． 第一步：画出函数的图象，发现图象是一条连续不断的曲线． 第二步：因为当时，；当时，，所以图象与轴的一个公共点的横坐标在0，1之间，所以可确定方程的一个根所在的范围是． 第三步：通过取0和1的平均数缩小所在的范围； 取，因为当时，，又因为当时，，所以． (1)请仿照第二步，通过运算验证的另一个根所在范围是； (2)小明在的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将所在范围缩小，得到的近似值约为，请问小明的这个结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小明的这个结论不正确，理由见解析 【分析】（1）计算和时，的值，确定其所在范围是； （2）先根据第三步和的平均数确定，计算时的值，得，即可判断小明的这个结论不正确． 【详解】（1）因为当时，；当时，， 所以方程的另一个根所在的范围是． （2）小明的这个结论不正确，理由如下： 取，因为当时，， 又因为当时，， 所以． 故小明的这个结论不正确． 【点睛】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合、 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图象上有两点和，则的值等于（    ） A．11 B．12 C．15 D．9 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．由题意可得，是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可． 【详解】解：函数的图象上有两点和， ， 把代入得，， 函数的图象上有两点和， ，是方程的两个根， ，， ， ． 故选：B 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．根据图象及二次函数的性质判断即可 【详解】解：根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，故，故A错误； 抛物线对称轴在y轴右边或左边，故无法确定，故B错误； 抛物线一定经过第一、二、四象限，故抛物线与x轴有2个交点， 故，故C正确、D错误； 故选：C． 2．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键时利用数形结合的方法，画出图像，分析图像和性质才能得出结论，属于较难题型．在坐标系中画出抛物线与抛物线的图象，分情况找到临界位置的的值，进而确定的取值范围． 【详解】对于抛物线，当时，或， 对于抛物线，当时，或， 两条抛物线如下图： ∴，，， 当直线经过时，，得， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在下方时，只有两个交点不符合题意； 当直线与抛物线只有一个交点时， 即：方程只有一个解，即：方程只有一个解， ∴，解得：， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在上方时，最多只有两个交点不符合题意； 综上，当时，直线与抛物线与抛物线有三个不同交点， 故答案为：． 3．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的性质和代数式的运算， 结合题意可求得a的值，再结合系数即可求得代数式的值； 根据抛物线与x正半轴交点可将m和n用p和q表示，再将m和n作差，进行异分母的通分化简，结合，求得对应的各单项式的正负即可判断其关系． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，解得， 则； （2）解：∵当时，抛物线与x正半轴交点， ∴，则， 同理，， 则 ∵， ∴，，， 则， 那么，． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与轴的交点坐标等知识，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．由函数图像可确定，，，即可判断结论①；由，易得，即可判断结论②；由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，结合对称轴为直线，可得函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，故方程（）必有一个根大于且小于0，即可判断结论④；由函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，可知当时，，即可判断结论③． 【详解】解：由函数图像可知，该函数图像开口向下， ∴， ∵该函数图像的对称轴为直线， ∴可有， ∴， ∵该函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当时，可有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； 由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴为直线， ∴函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴方程（）必有一个根大于且小于0，故结论④正确； ∵函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，， ∵， ∴，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个． 故选：C． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据函数值确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．分别求出新图象与直线的交点有3个时a的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在中，令得， 解得：或， ∴， 由图可知，当直线经过B时，新图象与直线的交点有3个， 此时， ∴， 当直线为直线时，新图象与直线的交点有3个， 此时有两个相等实数根， 即的判别式， ∴， ∴， 由图可知，若新图象与直线的交点少于4个，则或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海青浦·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 【答案】④⑥/⑥④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴， 由函数图象可知，抛物线的对称轴在轴的的右侧， ∴ ∵ ∴ 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以． 故③错误． 由函数图象可知，当时，函数取得最大值， 所以当时的函数值小于时的函数值， 即， 所以，故④正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而，且， 所以．故⑤错误． 方程的解可看成函数和直线交点的横坐标， 因为两个函数的图象有四个不同的交点， 所以方程有四个根； 又因为点A和点D，点B和点C关于直线对称， 所以，， 即，． 所以， 即方程的四个根之和为4． 故⑥正确． 故答案为：④⑥． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 【答案】(1)①；②或 (2)①；②见解析，． 【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及二次函数的性质，根据题意，作出相应草图，分情况分析是解题关键． （1）①把点和代入函数解析式即可；②分两种情况分析：；；分别根据二次函数的性质作出草图求解即可； （2）①根据题意得出当时，对称轴：，再由（1）②得出对称轴，然后求解即可；②根据题意分别将点点M和点N代入一次函数，即可确定点在函数图象上，然后联立一次函数与二次函数求解即可． 【详解】（1）解：①∵经过和两点， ∴， ∴， ∴c的值为，a，b满足的关系式为． ②由①可知： ∴对称轴，． 若，则 ， ∵A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴右边，y随x增大而增大， ∴， ∴． 若，则 ，A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴左边，y随x增大而增大， ∴， 解得：． ∴综上：a的取值范围：或． （2）①由题可知：当时， ∴对称轴：， 由（1）②可知： ， 对称轴， ∴， ∴． ②∵，， ∴，． ∵M在直线上， ∴， 再将代入， ∴成立， ∴N也在直线上． 联立与有两个不同的实数根， ∴， ∵， ∴． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2， 当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0， 设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2， 则x1+x2＝6，x1x2＝， ∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4， ∴|x1﹣x2|＝4， ∴（x1﹣x2）2＝16， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16， ∴36﹣4×＝16， 解得，a＝， 故选：D． 【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式. 2．（24-25九年级上·上海静安·模拟预测）已知y是关于x的二次函数：，则下列描述正确的是 ． ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点，； ④若在函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，函数图像上点的坐标特征，抛物线在x轴上截得的线段长等知识；把代入函数解析式中，化成顶点式，即可对①作出判断；求出抛物线与x轴的交点坐标，求得的值，即可判断②；把函数式整理为，当时，y的值与m无关，求出x、y的值，即可判断③；当时，抛物线的对称轴为直线，由抛物线的开口方向及增减性质可判断④． 【详解】解：把代入函数解析式中，得， 即抛物线的顶点坐标为；故①正确； 令，即， 解得：， 即抛物线与x轴交点坐标为， ∵， ∴， ∴函数图象在x轴上截得的线段的长度；故②正确； 把函数式整理为， 当时，y的值与m无关， 解得：， 当时，；当时，； ∴当时，函数图象总过定点，；故③正确； 当时，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，y随自变量的增大而增大，即， ∴，故④错误． 综上，正确的为①②③； 故答案为：①②③． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【答案】(1)，在x轴上截得的线段长是 (2)有交点，见解析 【分析】（1）将点代入解析式求出m的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点即可得到抛物线在x轴上截得的线段长； （2）求出判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴ ∴抛物线为， 当时，， 解得或， ∴抛物线在x轴上截得的线段长为； （2）， ∵， ∴ ∴该二次函数图像与x轴有交点． 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，判断二次函数与x轴交点个数，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可判断①；根据对称轴和开口即可判断②；由函数与轴的交点是，即可判断③；求出函数的解析式得出其顶点坐标即可判断④； 【详解】解：由图象可得：二次函数的对称轴为：， ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵函数与轴的交点是， ∴函数与轴的交点是， ∴，故③错误； ∴，故②正确； 设函数，将点代入可得： ，解得： ∴ ∴函数的顶点坐标为，翻折后为 ∴将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定m的取值． 【详解】解：如图： 令，则 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点， ∴，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴， 即有两个相等实根， ∴， 即． 若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是, 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想求解是解答的关键．先求得原二次函数与x轴的交点坐标，求得直线过临界点A、B时的b值，再求得翻折后的二次函数的图像与直线相切时的b值，利用图像即可得出b的取值范围． 【详解】解：如图，令，由得，， ∴，， 将点A代入得， 将点B代入得， 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后的表达式为， 由得， 由得， 根据图像，当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是或， 故答案为：或． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键． （1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式； ②根据图象写出答案即可； （2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解． 【详解】（1）解：①把，分别代入可得， ，解得， 则抛物线的解析式为． 把，分别代入可得， ，解得， 则直线的解析式为． ②不等式的解集为或； （2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令， 解得：，， 故P，Q两点的坐标分别为，． 如图，当直线，经过点时，可得； 当直线经过点时，可得， 的取值范围为， 翻折后的二次函数解析式为． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 的取值范围为：， 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，得出，从而判定不成立，判定③不正确，解答即可． 本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴两点是对称点，故对应函数值相等， ∴①正确； ∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，； 当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； 当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； ∴②正确； ∵抛物线与x轴交于不同两点，， ∴不成立， ∴③不正确， 故选A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断④． 【详解】解：的对称轴为， ， ， 抛物线经过， ，即，， 若，则， ，①正确． ， ， ， 与异号， ， 抛物线与轴有2个不同交点，②正确． ， ， 方程中， ， 时，，方程有两个相同实数解，③错误． 抛物线对称轴为直线， 把代入得， 抛物线顶点坐标为， 把代入得， 点坐标为， 设解析式为，把，代入得， 解得， ， 把代入得， 直线经过，④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题． 【详解】设当时， ∵当和时，函数值相等， ∴当时，的两个根为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与坐标轴交点问题，熟练掌握相关知识是解题关键．根据该函数图像与轴交于正半轴，可得；根据该函数图像经过，可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该函数图像与轴交于正半轴， ∴， ∵该函数图像经过， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如表是二次函数中与的部分对应值，则方程的一个根的取值范围是（    ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.165 0.51 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围． 【详解】解：时，；时，； 抛物线与轴的一个交点在和点之间， 方程有一个根在之间． 故选：C 4．（2024·山东济南·一模）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点A为抛物线上的动点，点B为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则b的值为（    ） A． B． C．－1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，一元二次方程根的判别式，根据定义表示，并根据二次函数的性质确定最小值是解题的关键 根据定义表示出曼距，当A、B两点横坐标相等时，取得最小值，求解即可． 【详解】由题意得：设，， ∴， 当A、B两点横坐标相等时，取得最小值， ∴， ∵曼距的最小值为1； ∴， 解得：或， ∵抛物线与直线没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：， 因此， 故选：D． 5．（2023·湖北黄石·一模）如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④； 【详解】∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为 ∴A、B两点关于直线对称． ∵B(1，0)， ∴A(-3，0)， ∴． 故①正确； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． 故②正确； 根据图象开口向上可知， ∵二次函数对称轴为，即， ∴． ∴． 故③错误； 根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0， 即， ∵，且， ∴，即． 故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 6．（2023·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 【答案】0或1或2 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当时，原函数为一次函数，可求得与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当时，原函数为二次函数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为或，由此可得是正整数，则或． 【详解】解：当时，则，在中，当时，，即函数与x轴的交点的横坐标为1，符合题意； 当时，则当时，有， 解得或， ∵函数与x轴的交点横坐标为正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∴或； 综上所述，整数k的值为0或1或2， 故答案为：0或1或2． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 【答案】 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 8．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 9．（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“Y函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“Y点”．若关于x的“Y函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：（，且m，n是常数）交于两点，当满足时，则直线l经过的定点为 ． 【答案】 【分析】先根据过原点得出，再由“Y函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可． 【详解】解：∵过原点， ∴， ∵是“Y函数”， ∴， ∴， 联立直线l和抛物线得： ， 即： ∴， 又∵， 化简得： ∴， 即， ∴， 当时，， ∴直线l必过定点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数的特点，对于过定点的问题，一般要先写出解析式，然后取适当的x求出对应的y． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，平行于轴的直线分别交抛物线与交于，两点，过点作轴的平行交于点，直线，交于点，则 ． 【答案】 【分析】法一：特值法：假设的横坐标为，则得出，根据轴，得出点纵坐标为，点纵坐标为，分别代入和中得，，，进而求比值即可求解；法二：设，同法一，得出，进而求比值，即可求解． 【详解】解：（法一特值法）： 假设的横坐标为， 将代入得，； 垂直于轴，所以点横坐标为 将代入得，， 轴， 点纵坐标为，点纵坐标为， 分别代入和中得，，， ． ； 法二：设，同法一，， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于轴的点的纵坐标相同，平行于轴的点的横坐标相同，用点的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 11．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，求函数y的值． (2)当x取何值时，函数y的值是8？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的函数值，已知二次函数的函数值求自变量的值．熟练掌握已知二次函数的函数值求自变量的值是解题的关键． （1）当时，，计算求解即可； （2）当时，，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴函数y的值为． （2）解：当时，，整理得， ， ∴或， 解得，， ∴当x取或时，函数y的值是8． 12．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 13．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）． (1)求点、点、点坐标； (2)若抛物线顶点为，求的面积； 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，三角形的面积，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点： （1）令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标； （2）求出顶点M的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解∶当时，，解得，， ∵点在点的右边， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴的面积为． 14．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应任务． “阶梯点”的研究总结【一般概念】 若抛物线上存在一点，的横、纵坐标之和为，则称点为抛物线上的“阶梯点”． 例如：点就叫做抛物线的“阶梯1点”． 【求抛物线上的“阶梯点”的方法】 例如：求抛物线上的“阶梯9点”的点．设点的坐标为． ，，整理，得，解得， 点的坐标为▲____________或． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； (2)按照材料中的方法，求抛物线上的“阶梯1点”； (3)若抛物线上存在“阶梯2点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）将代入，求得值，即可求解； （2）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可； （3）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入， ， “▲”处空缺的内容为； （2）， 设点的坐标为， ， ， ， 解得：或， 则或， 即或 （3）抛物线上存在“阶梯2点”， 设点的坐标为， ， ， ， 即 ， 解得： 15．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： (1)方程的解是______． (2)方程的解是______． (3)方程的解是______． (4)方程的解的情况怎样？ 【答案】(1) (2) (3) (4)无解 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数与直线交点的橫坐标是一元二次方程的解，是解决问题的关键． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （2）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （3）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （4）看二次函数与直线交点的情况，然后结合图象即可求出答案． 【详解】（1）由图象知，二次函数的图象交x轴于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； （2）由图象知，直线与二次函数的图象交于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； （3）由图象知，直线与二次函数的图象交于顶点， ∴方程的解为； 故答案为：； （4）由图象知，直线与二次函数的图象无交点， ∴方程无解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$