专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 y=ax2+bx+c的最值 题型十一 利用二次函数对称性求最短路径 题型十二 待定系数法求二次函数解析式 题型十三 二次函数图象的平移 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 2．（2023·上海金山·一模）抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 3．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（23-24九年级上·山东淄博·期末）将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线与y轴的交点坐标是 D．抛物线的顶点坐标是 2．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴 3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令． (1)若，，求的值； (2)若，，求a的值； (3)若，请直接写出h的取值范围． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2023·上海·模拟预测）已知抛物线与的开口方向相反，且对称轴相同，那么抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线，当抛物线经过一，二，三象限时，需满足 ，当抛物线经过一，二，四象限时，需满足 ． 3．（2024·上海黄浦·二模）问题：已知抛物线L：，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式． (1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是 ② ；然后求出抛物线L的顶点是 ③ ；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W的表达式是 ⑤ ． (2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式． (3)如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海青浦·二模）已知二次函数（），、是其图象上的两点，且，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海金山·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的解析式为． (1)求证：对任意实数，都有与对应的函数值相等； (2)若对应的的整数值有4个，求的取值范围； (3)若抛物线与轴交于不同的点，，且，求的取值范围． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，⑥设，对应的函数值分别是，，则当时，其中正确结论序号为（    ） A．①②③ B．①③⑥ C．①②⑥ D．③④⑤ 2．（2024·上海普陀·一模）沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中， 点和在抛物线上． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽合肥·一模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（2024·浙江台州·二模）“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 3．（23-24九年级上·上海青浦·模拟预测）如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为，（1）若对于，，有，则 ；（2）若对于，，都有，则的取值范围是 ． 3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（23-24九年级上·上海·单元测试）如果抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴为（   ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 1．（2023·上海宝山·一模）如图所示是二次函数图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（    ）． A． B．抛物线的对称轴为直线 C． D．点和在拋物线上，则 2．（2023·上海浦东新·一模）如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 3．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若，求a的取值范围及的取值范围． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点和点均在抛物线上，当时，等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 2．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线经过点，其对称轴为直线，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ． 3．（2023·上海长宁·二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C． (1)将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积． 【经典例题十 y=ax2+bx+c的最值】 【例10】（2023·浙江温州·二模）已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南·模拟预测）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2023·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，函数y的最大值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 【经典例题十一 利用二次函数对称性求最短路径】 【例11】（23-24九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（   ） A．0 B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【经典例题十二 待定系数法求二次函数解析式】 【例12】（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（   ） …… 1 2 …… …… …… A． B． C．0 D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线经过三点，则抛物线的表达式是 ． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，二次函数的顶点坐标为，图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，, ，，直角边落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 【经典例题十三 二次函数图象的平移】 【例13】（23-24九年级上·上海宝山·期末）将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（    ） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 2．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P． (1)求此抛物线的顶点P的坐标． (2)将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 1．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海·单元测试）抛物线的图象的顶点坐标为 ． 7．（2023·上海青浦·一模）二次函数图像上的最低点的横坐标为 ． 8．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 9．（2024·青海西宁·一模）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 10．（23-24九年级上·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ． 11．（2023·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线___________； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 12．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 13．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 14．（2024·贵州遵义·模拟预测）在学习了函数图像的平移后，小明将抛物线进行平移，平移后发现该抛物线经过点和． (1)求平移后该抛物线的表达式？ (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为1，求a的值． (3)平移后的抛物线与轴交于两点，于轴交于点，连接，在直线上方的抛物线上有一动点P，过点P作交于点Q．求的最大值． 15．（2023·河北保定·一模）如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 y=ax2+bx+c的最值 题型十一 利用二次函数对称性求最短路径 题型十二 待定系数法求二次函数解析式 题型十三 二次函数图象的平移 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此类问题的关键．利用二次函数的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 顶点为原点，关于轴对称，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， A、B、C选项错误，不符合题意， 无论x取何值，， D选项正确，符合题意． 故选：D． 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，在同一平面直角坐标系中，画出三个函数的图象，根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，如图， A、三个函数的图象都是关于轴对称，函数和的图象开口向上，函数的图象开口向下，故此选项说法错误，不符合题意； B、三个函数的图象都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意； C、函数和，当时，随的增大而增大；函数，当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数和的图象的顶点是最低点，函数的图象的顶点是最高点，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2023·上海金山·一模）抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 【答案】上升 【分析】根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大 ∴在轴的左侧部分是上升的． 故填：上升． 【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（23-24九年级上·山东淄博·期末）将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标． 先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的，顶点是， ∴将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线的，顶点是， ∴旋转后的抛物线解析式为． 故选：C． 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线与y轴的交点坐标是 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：∵a=-2<0，∴抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意； ∴对称轴为直线x=-1，故选项B正确，不符合题意； 当x=0时，，即抛物线与y轴的交点坐标是，故选项C错误，符合题意； 顶点坐标为（-1，3），故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 2．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数． 【详解】解：二次函数为， 故答案为：． 3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令． (1)若，，求的值； (2)若，，求a的值； (3)若，请直接写出h的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）把点A，B，C三点横坐标代入可求出，再根据两点间距离公式可求出，从而可求出的值； （2）方法同（1）得，即，求出a的值即可； （3）方法同（1）得出，从而可判断出h的取值范围． 【详解】（1）当，时，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时， 当时，； 当时，； ∴ ∴， ∴， ∴的值为1； （2）当时，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时， 当时，； 当时，； ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为； （3）由（1）可知，当时，有， ∵， ∴， ∴， ∴点离抛物线的对称轴最远， ∴h的取值范围是 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2023·上海·模拟预测）已知抛物线与的开口方向相反，且对称轴相同，那么抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据已知条件可得、符号相反且，进而得出，再代入即可得出答案． 【详解】解：抛物线与的开口方向相反， 、符号相反， 对称轴相同， ， ， ， 抛物线的对称轴是直线． 故选：C． 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数，和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下， ∴该函数图象存在三种情况，如图所示， ∴它的图象一定不经过第二象限， 故选：B． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线，当抛物线经过一，二，三象限时，需满足 ，当抛物线经过一，二，四象限时，需满足 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线，经过一，二，三象限，可知抛物线开口向上，即；对称轴在轴左侧，即；抛物线交轴正半轴，即；由抛物线，经过一，二，四象限，可知抛物线开口向上，即；对称轴在轴右侧，即；抛物线交轴正半轴，即；求解作答即可． 【详解】解：∵抛物线，经过一，二，三象限， ∴抛物线开口向上，即；对称轴在轴左侧，即；抛物线交轴正半轴，即； ∴当抛物线，经过一，二，三象限时，，，； ∵抛物线，经过一，二，四象限， ∴抛物线开口向上，即；对称轴在轴右侧，即；抛物线交轴正半轴，即； ∴当抛物线，经过一，二，四象限时，，，； 故答案为：，，；，，． 3．（2024·上海黄浦·二模）问题：已知抛物线L：，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式． (1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是 ② ；然后求出抛物线L的顶点是 ③ ；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W的表达式是 ⑤ ． (2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式． (3)如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据题目所给方法，给定顶点坐标为计算即可解题； （2）仿照（1）中的方法，给定坐标为计算即可解题； （3）抛物线W的顶点坐标为，把抛物线L的顶点是代入求出a的值，然后再根据抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等得到抛物线M过，代入得，求出m值，即可得到解析式． 【详解】（1）先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是；然后求出抛物线L的顶点是；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为；最后写出抛物线W的表达式是． （2）解：， ∴抛物线L的顶点是， 取抛物线W的顶点坐标为， 设抛物线W的解析式为，把代入得：， ∴抛物线W的解析式为； （3）解：令，则，解得：，， ∴抛物线L在x轴上所截得的线段长为， 设抛物线W的顶点坐标为， 设解析式为，把代入得：， 整理得，即， ∴， 又∵抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等， ∴抛物线M在x轴上所截得的线段长为， ∴抛物线M过，代入得， 解得：或， ∴抛物线的解析式为或． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴，， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 1．（2024·上海青浦·二模）已知二次函数（），、是其图象上的两点，且，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数的性质，结合图象上点的坐标特征即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵、是其图象上的两点，且，， ∴当时，，即时，， 当时，，即时，， ∴， 故选项一定正确，选项错误， 当时，，，故选项错误； 当时，，，，故选项错误； 故选：． 2．（23-24九年级上·上海金山·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的解析式为． (1)求证：对任意实数，都有与对应的函数值相等； (2)若对应的的整数值有4个，求的取值范围； (3)若抛物线与轴交于不同的点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点、一元二次方程的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的对称轴即可证明； （2）代入x的值，当时，，当时，，根据有4个整数值分情况求解即可； （3）将函数转换为一元二次方程，根据题意根的判别式大于零列出不等式组求解即可． 【详解】（1）证明：∵抛物线的对称轴为， ∴与关于直线对称， ∴对任意实数，都有与对应的函数值相等． （2）解：当时，， 当时，， 若，当时，， 又∵当时对应的的整数值有4个， ∴， 若，当时，， 又∵当时对应的的整数值有4个， ∴； （3）解：若， ∵抛物线与轴交于不同的两点，，且， ∴，． ∴ ∴． 若， ∵抛物线与轴交于不同的两点，，且， ∴，． ∴ ∴． 综上，当或时，抛物线与轴交于不同两点，，且． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，⑥设，对应的函数值分别是，，则当时，其中正确结论序号为（    ） A．①②③ B．①③⑥ C．①②⑥ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向可得，根据对称轴的位置可得＞1，可得b＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，可对①②进行判断；根据图象与x轴有两个交点可对③进行判断；根据x=1时，y＞0可对④进行判断；根据时，y＜0可对⑤进行判断；根据x＞2时，y随x的增大而减小可对⑥进行判断；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧1和2之间， ∴，＞1， ∴b＞0，， ∴，故①正确； ∵图象与y轴交于y轴负半轴， ∴c＜0， ∴，故②错误； ∵图象与x轴有两个交点， ∴，故③正确； 由图象可知：当x=1时，y=a+b+c＞0，故④错误； 由图象可知：当时，y=＜0，故⑤错误； ∵，x＞2时，y随x的增大而减小， ∴，故⑥正确； 综上所述：正确的结论有①③⑥， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质．当a>0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；当对称轴在y轴左侧时，a、b同号，当对称轴在y轴右侧时，a、b异号；抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；熟练掌握相关性质及数形结合思想是解题关键． 2．（2024·上海普陀·一模）沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则，然后解不等式即可． 【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口． 3．（23-24九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中， 点和在抛物线上． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴为； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由在抛物线上，得，进而得，最后根据对称轴公式进行求解即可； （2）设抛物线的对称轴为，先求得抛物线过，又根据点和在抛物线上，， ，从而得在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大，进而得的开口向上，，对称轴为满足，进而根据抛物线的性质可得解． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为； （2）解：设抛物线的对称轴为， 令抛物线 中得， ∴令抛物线过， ∵点和在抛物线上，， ， ∴的开口向上，，对称轴为满足， ∴，，， ∵当时，由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质判断即可． 【详解】解：对于二次函数，当时，， ∴与y轴交于， 当时，，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在y轴负半轴； 当时，，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， ∴选项C符合题意． 故选：C． 1．（2024·安徽合肥·一模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：B 2．（2024·浙江台州·二模）“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论． 【详解】解：∵方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标， 的一个解为一次函数与直线交点的横坐标， 如图所示： 由图象可知：． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海青浦·模拟预测）如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 【答案】(1)点A的坐标是， (2)点B的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可； （2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标． 【详解】（1）由， 得当时，， 所以点A的坐标是， 设顶点为的抛物线的解析式为， 点在抛物线上，， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）联立， 得：，， 点A的坐标是， 点B的坐标为． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵点、是二次函数图象上的两个点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为，（1）若对于，，有，则 ；（2）若对于，，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】（1）根据对称轴，结合，，有，即可作答； （2）对于，，都有，则根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出，的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵，，有， ∴根据对称轴，即， （2）∵对于，，都有， ∴，， ∵， ∴离对称轴更近， 则，的中点在对称轴的右侧， ∴ ∵ 即， 故答案为：3， 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（23-24九年级上·上海·单元测试）如果抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴为（   ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：由抛物线经过点，，可知：点与点关于抛物线的对称轴对称，所以该抛物线的对称轴为直线； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 1．（2023·上海宝山·一模）如图所示是二次函数图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（    ）． A． B．抛物线的对称轴为直线 C． D．点和在拋物线上，则 【答案】B 【分析】根据图象分别求出a、c的符号，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x=1，即可判断B；把x=-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C；将x=-2与x=2带入二次函数，可得出y与y的值，即可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ∴c＜0， ∴ac＜0 选项A正确； ∵由图像可看出，抛物线与x轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称， ∴抛物线的对称轴不是x=1 选项B错误； 把x=-1代入y=ax+bx+c得：y=a-b+c，由图像可知，x=-1时y=0， ∴a-b+c=0 选项C正确； 把x=-2和x=2代入y=ax+bx+c中，由图像可知，y＞0，y＜0， ∴y＞y 选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a、b、c之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型． 2．（2023·上海浦东新·一模）如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】观察点和点两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线，求AB中点坐标即可得. 【详解】解：∵一条抛物线经过点（-1，0）、（5，0）， ∴这两点关于对称轴对称， ∴x= 即x=2． 故答案是：x=2． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键. 3．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若，求a的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)2； (2)a的取值范围为，的取值范围为． 【分析】（1）根据题意可得点关于抛物线对称轴对称，据此求解即可； （2）先求出点在抛物线上；再分当时，则离对称轴越远函数值越大，当时，则离对称轴越远函数值越小，两种情况根据二次函数的性质列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且， ∴抛物线对称轴为直线，即； （2）解：在中，当时，， ∴点在抛物线上； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴，即，此时不等式组无解， ∴此种情况不成立； 当时，则离对称轴越远函数值越小， ∴， ∴，即， 解得即， 综上所述，a的取值范围为，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点和点均在抛物线上，当时，等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，理解点A与点B的位置关系是解题的关键． 根据点A与点B的纵坐标相同可得点A，B关于抛物线的对称轴对称，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为， ∵点和点在抛物线上， ∴点A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴， 当时，． 故选：B 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意； B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意； C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线经过点，其对称轴为直线，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解即可，解题的关键是正确理解二次函数的图象及性质． 【详解】∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴抛物线一定经过另一点的坐标是， 故答案为：． 3．（2023·上海长宁·二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C． (1)将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积． 【答案】(1)该函数图象的开口向下，对称轴为，顶点坐标为 (2)10 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，进而根据顶点式可得该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据题意求得点的坐标，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵y＝﹣x2+6x﹣5，， ∴该函数图象的开口向下，对称轴为，顶点坐标为； （2）由y＝﹣x2+6x﹣5，令， 即， 解得， ， ， 令，则， 即， 点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为， ， ． 【点睛】本题考查了抛物线的图象的性质，化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，数形结合是解题的关键． 【经典例题十 y=ax2+bx+c的最值】 【例10】（2023·浙江温州·二模）已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案． 【详解】解：函数中， 抛物线开口方向向下，对称轴直线为， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，，取到最大值， ，即， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键． 1．（2024·湖南·模拟预测）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴的性质，开口方向，增减性以及解不等式组的解集等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴为直线，结合开口向上，即可判断①；把代入，再化为顶点式，即可判断②；结合开口向上，抛物线在取到最小值，且为，即可判断③；根据增减性且把和分别代入，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 则开口向上， 则当时，随的增大而增大； 故①是正确的； ∵， ∴， 当时，， ∴抛物线经过坐标原点； 故②是正确的； ∵的对称轴为直线， ∴把代入， 得， ∵，开口向上，在取到最小值，且为， 不论为何值，； 故③是错误的； ∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根， ∴， ∴， ∴， 故④是错误的； 故选：A． 2．（2023·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，函数y的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是：， ∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， ∴函数y的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求b的值； (3)当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式求出最小值，再根据最小值为建立方程求解即可； （3）先求出解析式为，则函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此分对称轴在直线左侧，在直线右侧，和在直线和之间三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当，时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∵当时，函数的最小值为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， ∴（舍去）； 当，即时，函数的最小值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，， ∴函数解析式为． 【经典例题十一 利用二次函数对称性求最短路径】 【例11】（23-24九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 1．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数． 最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出． 【详解】二次函数y=-（x-1）2+5的大致图象如下： ． ①当m＜0≤x≤n＜1时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5， 解得：m=-2，m=2(舍去)． 当x=n时，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5， 解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）； ②当m＜0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5， 解得：m=-2． 当x=1时，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5， 解得：n=2.5， 或x=n时，y取最小值，x=1时，y取最大值， 2m=-（n-1）2+5，n=2.5， ∴m=， ∵m＜0， ∴此种情形不合题意， 所以m+n=-2+2.5=0.5． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【经典例题十二 待定系数法求二次函数解析式】 【例12】（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数解析式．设交点式，然后把代入求出a即可． 【详解】由图象可得抛物线过、、三点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故选：A． 1．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（   ） …… 1 2 …… …… …… A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案． 【详解】解：设二次函数解析式为， 假设三点，，在函数图象上， 把，，代入函数解析式得：， 解得， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线经过三点，则抛物线的表达式是 ． 【答案】/ 【分析】根据待定系数法求解即可。 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将点代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，二次函数的顶点坐标为，图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知为一直角三角形纸片，, ，，直角边落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的特点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据顶点坐标设顶点式，代入点，即可求解； （2）根据题意点的纵坐标为1，当时，解出，，得到或，结合，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为 设 将代入得 函数的解析式为 即 （2）解：，，直角边在轴上 点的纵坐标为1 当时， 解得：， 或 或． 【经典例题十三 二次函数图象的平移】 【例13】（23-24九年级上·上海宝山·期末）将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，解题的关键是熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为， 故选：． 1．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（    ） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】A 【分析】根据抛物线顶点的平移路径即可判断． 【详解】解：将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 从到是向上平移1个单位， 抛物线是向上平移1个单位， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移要看顶点的平移；横坐标改变是左右平移，纵坐标改变是上下平移． 2．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P． (1)求此抛物线的顶点P的坐标． (2)将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1)此抛物线的顶点P的坐标为； (2)平移后新抛物线的表达式为． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的表达式，再配成顶点式，即可求解； （2）利用二次函数图象平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴此抛物线的顶点P的坐标为； （2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵顶点落在直线上， ∴， 解得， ∴平移后新抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数图象平移的性质，掌握相关性质是解题的关键． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于两点， 由图可得：一元二次方程有两个不相等的正实数根， 函数的图象与轴的正半轴有两个交点， 故选：A． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值，再将抛物线解析式表示成顶点式，即可求解； （2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：（1）将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）将一次函数解析式与抛物线解析式联立， 可得， 整理可得， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为4． 故答案为：（1）；（2）4． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出，，根据，得到，令，利用二次函数的性质求出当或时，，则当或时，； （2）当时，解得，，根据得到，得到，令，利用二次函数的性质求出当时，，则当时，且满足。 【详解】（1）解：①∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； ②∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴当或时，； （2）解；在中，当时， 解得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当时，， ∴当时，且满足； 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线过点，两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根据，时，y的最大值为即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线过点，两点， ， 解得：， ∴抛物线即为， 它的开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值， 若，则， ∵当时，y的最大值为， ∴， 即， 解得：， ∵， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由条件可得，即，再结合，进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，等于1 【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可； （2）先证明，根据等腰三角形三线合一，得到平分，结合，推出，然后在中利用勾股定理求出的长度，得到的坐标，下一步求出直线的表达式，联立直线与抛物线，得到点的坐标； （3）设点，作轴于M，作轴于N，通过是中位线表示出点的坐标，然后将点代入抛物线，得到的轨迹方程，将的轨迹方程与分别与联立，利用未达定理，得到，的值，最后算出的值． 【详解】（1）将点，代入抛物线， 得到，解得 抛物线的解析式为 （2），， ， 又， 平分 设，则 在中， ，解得， 设直线解析式为，代入点，则，解得 直线解析式为 联立抛物线与直线， 得，（舍）， 点E的横坐标为； （3）为定值，理由如下： 设点，作轴于M，作轴于N，则， 又为中点， 为中位线 ，为中点 ， ， 将点代入抛物线， 化简得， 设，，，的横坐标分别为，，， 则 由得， 由得， 定值． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与 x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，由题意得出该定弦抛物线过点，，待定系数法求出二次函数解析式为，再根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴该定弦抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为， 故选：B． 3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知、对称轴确定b的正负，即可判定①；根据抛物线可知，再结合①a、b的正负即可判定②；令，由抛物线可知当时，函数值小于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质成为解题的关键． 【详解】解：∵根据抛物线开口方向向上，对称轴为 ∴，，即，故①错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，即，故②错误； 由函数图像可知：当时，函数值小于0，即，故③正确； 根据抛物线与x轴有两个交点，可知； 综上，正确的有③④；共2个． 故选B． 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【答案】D 【详解】 解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 【点睛】 本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 6．（23-24九年级上·上海·单元测试）抛物线的图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】直接利用抛物线的顶点坐标公式， ，即可求出顶点坐标． 【详解】由顶点坐标公式可得：，. ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，解题的关键是运用抛物线的顶点坐标公式：， ． 7．（2023·上海青浦·一模）二次函数图像上的最低点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】将二次函数用顶点式表示出来，再根据函数图像开口向上，即可求得最低点的横坐标． 【详解】解：二次函数可化为，因为二次项系数为1，大于零，所以函数图像开口向上，所以最低点为顶点，横坐标为，故答案为． 【点睛】本题考查函数的最值问题，用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式是解决本题的关键． 8．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定a的取值范围即可．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的， ∴． 故答案为：． 9．（2024·青海西宁·一模）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 11．（2023·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线___________； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据抛物线关于其对称轴对称即可解答； （2）由直线解析式可求出、，进而可利用待定系数法求出抛物线的表达式，再改为顶点式，即得出其顶点坐标． 【详解】（1）∵， ∴点A和点B的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：； （2）∵点A、B在直线上， ∴，， ∴、． ∵点A和点B在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵， ∴顶点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出抛物线的表达式，将二次函数一般式改为顶点式，一次函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 12．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． 13．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由直线与坐标轴的交点得到、，再由抛物线对称性求出抛物线与轴交点，再利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据动点最值问题-将军饮马模型的解法，利用对称性、结合三角形三边关系得到的值最小为线段的长，即可确定取最小值时对称轴上的点，将代入直线的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得，即， 将代入，得，解得，即， 对称轴为直线，点关于对称轴对称， ， 设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，， 当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长， 将代入直线的函数解析式，得， 此时． 【点睛】本题考查抛物线综合，涉及直线与抛物线综合问题、待定系数法确定函数、抛物线与动点最值问题、将军饮马模型等知识，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 14．（2024·贵州遵义·模拟预测）在学习了函数图像的平移后，小明将抛物线进行平移，平移后发现该抛物线经过点和． (1)求平移后该抛物线的表达式？ (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为1，求a的值． (3)平移后的抛物线与轴交于两点，于轴交于点，连接，在直线上方的抛物线上有一动点P，过点P作交于点Q．求的最大值． 【答案】(1)平移后抛物线的解析式为 (2) (3)最大为 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数综合，涉及待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求自变量的值，等腰直角三角形的判定和性质， （1）根据题意可设抛物线的解析式为，代入点和即可； （2）对称轴为，当时，y随x的增大而增大，结合题意知当时，y取最小值，代入得解方程即可； （3）过P点作轴交于点E，设，利用待定系数法求得直线的解析式为，则点，结合点坐标判定为等腰直角三角形，在中，，那么，当最大时，最大，由，当时，求得最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线的解析式为，图像经过点和 得解得 所以平移后抛物线的解析式为； （2）解：对称轴为，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y取最小值，得， 解得（舍去），． 所以； （3）解：如图，过P点作轴交于点E， 设， 因为时，解得． 所以点A坐标为，点B坐标为． 设直线的解析式为 直线经过点和点 解得 直线的解析式为，则点 点和点 ， 为等腰直角三角形， ． ． 在中，， 当最大时，最大． 当时，最大， 则最大． 15．（2023·河北保定·一模）如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【答案】(1)， (2) (3) (4)2或 【分析】（1）时，点为，把代入解得，把代入解得； （2）的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点，则，得到，则，由，解得．由点位于直线的右侧得到．则； （3）由得到．由的面积为4得到．分当B在x轴的负半轴和在x轴的正半轴分别进行求解即可； （4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是或，分别代入，求出a的值，再求出m的值，即可得到k的值． 【详解】（1）解：时，点为， 把代入得， ，解得， 把代入得 ， 解得， 综上可知，，． （2）∵的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点， ∴， ∴． ∴． 由，解得． ∵点位于直线的右侧， ∴． ∴． ∴当点B在x轴的负半轴上时，； （3）∵， ∴． ∵的面积为4， ∴． ∴． ①当B在x轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴ ②当B在x轴的正半轴时， 设， ∵， ∴． ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴不合题意，舍去， 综上所述可知点．代入得到， ∴， ∴． 当时，， 解得． 由（2）可知， ∴． ∴． （4）∵O，F两点间的距离为1． ∴点F的坐标是或， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得 ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当或时，O，F两点间的距离为1． 【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$