13.4 《最短路径》教学设计 2024--2025学年人教版八年级数学上册

初中数学人教版八年级上册《最短路径》教学设计 初中数学人教版八年级上册《最短路径》教学设计 初中数学人教版八年级上册《最短路径》教学设计 13.4 《课题学习——最短路径问题》教学设计 （2个课时） 广州四中新世界校区 数学科 陈玲 一、教学内容与内容分析 1、 教学内容：利用轴对称、平移等变换研究最短路径问题 2、 内容分析： 最短路径问题在现实生活中经常遇到，在初中阶段，主要以“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，同时借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本课主要内容是利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，是轴对称知识的应用，学习它将为后面勾股定理内容中计算最短路径的学习打下坚实的基础，同时也为中考常见题型中的最值问题如线段和最小问题的解决提供了基础和方法。 本课以数学史上著名的“将军饮马问题”和“造桥选址问题”为载体开展对最短路径问题的课题学习研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称和平移等变换知识将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。 二、教学目标与目标分析 1、 教学目标 （1）知识与技能目标：能利用轴对称和平移等变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用； （2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想； （3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。 2、目标分析 教学目标达成的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河流”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，将两点在一线同侧问题转化为两点在一线异侧问题，化“折”为“直”感悟化归思想。 三、教学重点与教学难点： 1、 教学重点：将实际问题转化为数学问题，能通过自主探究，利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题； 2、 教学难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；如何通过逻辑推理证明所求路径最短。 3、突出重点、突破难点的方法与策略： ☆ 突出重点的方法： 通过设置情境问题，引导学生思考、探究和讨论，在学生的自主探究过程中突出重点 ☆ 突破难点的方法： 通过教师的启发引导，充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、探讨交流、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点。 四、教学方法： 根据本节课的教学内容、教学目标以及学生的认知特点和实际水平，教学上本节课采用“复习引入——创设情境——自主探究——合作交流——应用提高”的教学方法，并将学生分成几个小组，实行以个人自主探究、小组合作交流为主，教师适当引导为辅的教学模式。 ☆教师的教法：突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台，及时对学生个人和小组的学习进行评价； ☆学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳，在自主探究、自主思考、合作交流中，掌握本节课的知识、方法和数学思想。 五、教学过程： Part1：复习引入 如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 图1 图2 图3 学生回答：连接AB，与直线l交于点P，则点P为所求最短的泵站，如图3. 教师活动：1、将图3板书到黑板上，为结尾归纳总结点明数学本质作铺垫； 2、图3的板书引导学生在后面一系列的问题中回归到本题进行解答。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题。现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用所学知识来探究数学史中著名的“将军饮马问题”。 【设计意图】复习“两点之间，线段最短”，为后面的探究学习作好铺垫。 Part 2：探索新知——“将军饮马问题” 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图4中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 图4 探索第一步（解决问题） 教师：这是一个实际问题，我们首先将它转化成数学问题。 师生活动：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，请学生画出数学图形（如图5），问题转化为“在直线l上找一点C，使得CA+CB最小．”请学生利用所学知识解决这个问题（如图6）.(可利用几何画板辅助说明点C存在的必然性)，并请学生上台板演，教师点评。 图5 图6 Q1：有同学有其他的作法吗？ 师生活动：学生回答：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l相交于点C，则点C 即为所求。 Q2：两种方法所作出的点C是同一个点吗？ 师生活动：可请学生画图验证点C是同一个点。 教师活动：教师在学生所画图形中任意找一点C’，连接AC’，C’B，提出质疑，Q3 Q3：同学们说你们找出的点C是使AC+CB最小的点，那为什么老师找的点C’不是使AC+CB最小的点呢？你能想办法证明AC+CB最小吗？ 作法： （1）作点B 关于直线l的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l相交于点C； 则点C 即为所求。 【设计意图】让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。学生水平较高，对于此类问题较为轻松解决，学生解决问题后教师引导学生如何进行下一步的证明“最短路径”。 探索第二步（证明）： 师生活动： 教师可用思维流程图对学生进行引导，也可请小组合作交流探讨，师生共同分析，先理清思路，后请学生补充证明过程，教师板书或多媒体展示，或者引导学生进行板书： 证明：如图7，在直线l上任取一点C′（与点C 不重合）， 连接AC′，BC′，B′C′ 由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 即　AC +BC 最短。 图7 教师活动：思维流程图的引导，如图8 图8 Q1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C 不重合），证明 AC +BC＜AC′+BC′ 师生活动：学生小组内相互交流，教师适时点拨：若直线l上任意一个与点C 不重合的点与A，B两点的距离之和都大于AC +BC，就说明AC +BC最短。 【设计意图】1、让学生进一步体会作法的正确性，提高学生的逻辑思维能力。 2、在证明过程中，再次运用和体会轴对称的“桥梁”作用，感悟化归思想。 小结1： Q1: 解决上述问题运用了什么知识和方法 ①两点之间，线段最短（三角形两边之和大于第三边）②轴对称 Q2: 解决上述问题体现了什么数学思想？ 数学思想：转化（化归） （教师解说：利用轴对称化“折”为“直”（即转化为两点之间线段最短问题） ） 师生活动：教师引导学生进行小结，学生回答，教师补充完善 【设计意图】引导学生对前面将军饮马问题探索过程进行方法和思路的整理，理解并掌握将军饮马问题的数学本质，也为后面的拓展题目作好思维的铺垫。 Part 3：应用新知，解决问题 1、如图9，△ABC中，E、N分别是AC、BC上的定点，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小． 师生活动：学生自主分析，独立完成作图。请学生代表分析思路。其基本思路为：△ENF的周长为EN、EF与FN之和，而EN是固定长度的线段，问题就转化为EF与FN之和最小，即转化为两点在一条直线同侧求线段和最小的问题。作图如图10。 图9 图10 【设计意图】将军饮马问题的简单应用，考查学生对两点在一条直线异侧时线段和最小问题的掌握情况。 2、如图11，直线OA、OB相交于点O，P为定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使△PMN的周长最小． 师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：过点P分别作关于直线OA、OB对称的点P’和P’’，连接P’P’’所成线段交OA、OB于点M、N，连接MN、PM、PN，则PM+MN+PN为所求的最短路线。如图12. 图11 图12 【设计意图】将军饮马问题的变式一，让学生进一步巩固利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。本问题小结为：一点在两条相交直线内部的情况。 3、如图13，二中八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：过点C、D分别作关于直线OA、OB对称的点C’和D’，连接C’D’所成线段交OA、OB于点M、N，连接MN、CM、DN，则CM+MN+DN为所求的最短路线。如图14 图13 图14 【设计意图】将军饮马问题的变式二，让学生进一步巩固利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。本问题小结为：两点在两条相交直线内部的情况。 Part 4：拓展新知，解决问题 1（变式三：造桥选址问题）如图15，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短（ 假设河的两岸是平行直线，桥要与河垂直） 图15 探索第一步（解决问题）： 这是著名的“造桥选址问题”。我们首先将实际问题转化为数学问题。 师生活动：学生回答——河的两岸抽象为两条平行的直线a、b，将两地抽象为A、B两点，将桥抽象为一条线段MN（如图16）。学生画图，小组代表展示，教师评价； 教师完善学生回答：A、B两点在两条平行直线a、b的异侧，在直线a、b上找一条线段MN（MN与两平行直线垂直），使得AM+MN+NB的和最小（如图17）。几何画板辅助，帮助学生理解MN是不变的量，问题即转化为使AM+NB最小。 图16 图17 师生活动：教师引导，学生独立思考，自主探究，学生画图分析，并尝试回答，互相补充。 1 思维分析：如图18假定任选位置造桥ＭＮ，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？利用“两点之间线段最短”解决问题时我们遇到了什么障碍呢？ 学生回答：桥的长度MN是固定的，AM+BN最短的时候，AM+MN+BN就最短； 也有同学回答直接连接AB，产生错误的原因是没有意识到条件中桥要与河垂直； ②思维火花：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢什么图形变换能帮助我们呢 学生回答：各抒己见，把A平移到岸边、把B平移到岸边、把桥平移到和A相连、把桥平移到和B相连；或者通过折纸将MN两点重合； 3 合作交流：上述方法能做到使AM+MN+BN不变吗？请画图进行分析检验。 学生回答：单独移动点A或点B，AM+MN+BN会改变，平移桥和点A或点B相连则不会改变； 4 问题解决：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图19所示，而MN是固定的，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥． 作法：(1)将点A沿垂直于河岸的方向平移一个河宽到A’， (2)连接A’B与河岸的一边交于点N； (3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M； 则MN为所建的桥的位置。 图18 师生活动：学生叙述，并请学生代表到黑板画图（图18），其余学生在自己的练习本上画图，教师进行评价。 【设计意图】通过教师的引导，为学生探究问题搭建“脚手架”，利用轴对称和平移变换把问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择，渗透化归思想。 探索第三步（证明）： 师生活动： 教师引导，小组合作交流探讨，师生共同分析，学生说明证明过程的思路，请学生补充书写证明过程。 如图19，平移A到A1，使等于河宽，连接 交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短。 证明：另任意作桥（与MN不重合）， 连接，， 图19 由平移性质可知，AM＝，＝MN＝，＝ AM+MN+BN转化为＋，而＋＋转化为＋＋ 在△中，有A1N1+BN1＞A1B，因此＋＋＞ AM+MN+BN。 Q1：证明AM+MN+BN最短时，为什么要在河上另任作桥（与MN不重合），证明 ＋＋＞ AM+MN+BN这里的的作用是什么？ 师生活动：学生相互交流，教师适时点拨：若在河上另任作桥（与MN不重合）与A，B两点的距离之和＋＋都大于AM+MN+BN，就说明AM+MN+BN最短。 【设计意图】在证明过程中，让学生再次体会轴对称和平移变换的“桥梁”作用，感悟化归思想；让学生进一步体会作法的正确性，提高学生的逻辑思维能力。 小结2： Q1: 解决上述问题运用了什么知识和方法 ①两点之间，线段最短（三角形两边之和大于第三边）②平移 Q2: 运用上述方法的目的是什么体现了什么数学思想 数学思想：转化（化归） （教师解说：利用平移清除障碍，化“折”为“直”） 【设计意图】总结造桥选址问题的数学知识、方法和思想，并引导学生强化轴对称与平移在解决最短路径问题中的作用。 2（变式四）如图20，已知A，B是在直线l异侧的两定点，定长线段PQ在l上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长度最短 师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：将定长线段PQ平移至AA’，连接A’B交直线l于点Q，则PQ确定，连接AP，QB，则AP+PQ+QB为所求的最短路线。如图21。 图20 图21 【设计意图】让学生运用新知进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和方法，适当提升思维层次。小结本题的数学模型：两点在一条直线异侧（定长PQ在直线上平行移动）。 3（变式五）如图22，已知A，B是在直线l同侧的两定点，定长线段PQ在l上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长度最短 师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：将定长线段PQ平移至AA’，过点A’作关于直线l的对称点A’’，连接A’’B交直线l于点Q，则PQ确定，连接AP，QB，则AP+PQ+QB为所求的最短路线。如图23。 图22 图23 【设计意图】让学生运用新知进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和方法，适当提升思维层次。小结本题的数学模型：两点在一条直线同侧（定长PQ在直线上平行移动）。 6.归纳小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，引导学生再次对最短路径问题的知识、方法、数学思想进行归纳总结，回归数学模型，进一步提升思维层次，体会化“折”为“直”， 感受数学本质。 师生活动：教师引导学生进行本节课所有模型的归纳总结，并提升数学本质：不管是哪种模型哪种变式，最终都回归到两点在一线异侧的问题。几何画板和黑板展示模型图辅助理解。如图24。 图24 【设计意图】 1、引导学生对本节课变式问题的类型进行归纳总结：两点在一条直线异侧型、两点在一条直线同侧型、一点在两条相交直线内部型、两点在两条相交直线内部型等。 2、引导学生把握研究问题的基本方法和基本思路，体会轴对称和平移变换在解决最短路径问题中的“桥梁”作用，感悟化归思想。 Part 5：你敢挑战更高难度吗？试试吧！ 1、如图25，已知A，B在直线l的同侧的两定点，定长线段PQ与直线l成固定角度（）并保持该角度平行移动（点P在直线l上移动），问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长度最短 师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：将定长线段PQ平移至BB’，过点B’作关于直线l的对称点B’’，连接A’’B交直线l于点P，则PQ确定，连接AP，QB，则AP+PQ+QB为所求的最短路线。如图26。 【设计意图】让学生运用新知进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和方法，进一步提升思维层次（本题为20XX年中考24题（3）问的原型）。小结本题的数学模型：两点在一条直线同侧（定长PQ在直线上以固定角度平行移动）。 2.如图27，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大． 师生活动：学生思考，教师引导，小组交流，成果展示。基本思路：过点B作关于直线l 的对称点B’，连接BB’，连接AB’并延长AB’交直线l于点C，连接BC，则点C为所求的点，使得点C到点A、B的距离之差最大.（如图28） 图27 图28 【设计意图】本节知识的思维提升和灵活运用。 教学设计整体思路： （1）第1课时以将军饮马问题为载体，让学生自主探究去发现问题、解决问题，懂得利用轴对称变换将最短路径问题转化为两点之间线段最短问题，理解将军饮马问题的证明思路；并进行了相应的变式探索，化“折”为“直”，感悟化归思想； （2）第2课时以造桥选址问题为载体，在教师的引导下让学生经历探索的过程，懂得利用平移将“障碍”清除，最终将问题转化为两点之间线段最短问题，即化“折”为“直”，同时也对变式进行探究，并引导学生进行归纳总结：两点在一条直线同侧、一点在两条相交直线内部、两点在两条相交直线内部、平移后的两点在直线异侧、两点在一条直线异侧（定长在直线上平行移动）、两点在一条直线同侧（定长在直线上平行移动）等，所有的变式最终都归结到两点在一线异侧的情况，让学生掌握本节内容的数学本质。 学科网（北京）股份有限公司 $$