专题3.3 抛物线的方程及其几何性质（六个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题3.3 抛物线的方程及其几何性质 一、利用抛物线的定义求轨迹方程 四、利用抛物线定义求最值 二、抛物线的标准方程问题 五、抛物线的简单几何性质 三、抛物线定义的应用 六、抛物线的实际问题 知识点1 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点2 抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点3 通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 重难点一 利用抛物线的定义求轨迹方程 1．点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 4．（多选）在平面直角坐标系中，满足下列条件的点P的轨迹一定为抛物线的有（    ） A．动点P（x，y）到F（4，0）的距离比到直线x＝0的距离大4 B．已知定点F和定直线l，Q为l上的动点，点P为线段FQ的垂直平分线与直线l的交点 C．点P（x，y）的坐标满足方程 D．动点P（x，y）到F（4，0）的距离比到直线x＋5＝0的距离小1 5．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 6．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程． 重难点二 抛物线的标准方程问题 7．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 8．抛物线的准线方程为，那么抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 9．直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为 ． 13．已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程为 ． 14．已知椭圆,抛物线开口向上,关于轴对称,抛物线顶点与椭圆的下顶点重合,如图所示,抛物线与椭圆交于两点,且与轴正方向的夹角为,则抛物线为 待定系数法：①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p即可； ②当焦点位置不确定时，注意要对四种形式的标准方程进行讨论 重难点三 抛物线定义的应用 15．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 16．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 17．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 18．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 . 19．已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 20．已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 22．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N；②连接PF;③ (焦点在轴正半轴上时) 重难点四 利用抛物线定义求最值 23．过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 24．已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴的交点为为C上一动点，点，则（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为5 D．的最大值为 27．设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．已知是抛物线：上的一点，直线：，过点作与的夹角为的直线且与交于点，设为点到轴的距离，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 29．（多选）过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．可能取到3 D．可能取到4 30．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 31．在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. 重难点五 抛物线的简单几何性质 32．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 33．已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 35．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 36．在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 重难点六 抛物线的实际问题 37．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 38．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 39．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 40．一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（2）所示.已知接收天线的口径为，深度为.若为接收天线上一点，则点与焦点F的最短距离为（    ） A． B． C． D． 41．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 42．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 一、单选题 1．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 3．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知点A是抛物线C：上的动点，O为坐标原点，F为焦点，，且O、A、B三点顺时针排列．得出下列四个结论：①当点B在x轴上时，；②当点B在y轴上时，点A的坐标为；③当点A与点B关于x轴对称时，；④若，则点A与点B关于x轴对称．其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．在直角坐标系中，已知点，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、填空题 7．已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为 . 8．已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 9．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 二、多选题 10．在平面直角坐标系中，，则下列曲线中存在两个不同的点使得且的有（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的周长为16 C．的面积为 D． 12．已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 四、解答题 13．求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 14．已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 15．已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线过定点； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 抛物线的方程及其几何性质 一、利用抛物线的定义求轨迹方程 四、利用抛物线定义求最值 二、抛物线的标准方程问题 五、抛物线的简单几何性质 三、抛物线定义的应用 六、抛物线的实际问题 知识点1 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点2 抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点3 通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 重难点一 利用抛物线的定义求轨迹方程 1．点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 2．到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 3．已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 4．（多选）在平面直角坐标系中，满足下列条件的点P的轨迹一定为抛物线的有（    ） A．动点P（x，y）到F（4，0）的距离比到直线x＝0的距离大4 B．已知定点F和定直线l，Q为l上的动点，点P为线段FQ的垂直平分线与直线l的交点 C．点P（x，y）的坐标满足方程 D．动点P（x，y）到F（4，0）的距离比到直线x＋5＝0的距离小1 【答案】CD 【详解】＝|x|＋4，当x≥0时，化简得y2＝16x；当x＜0时，化简得y＝0，故A不正确．显然点P始终在直线l上，故B不正确．等式的几何意义可理解为点P到定点（1，0）与到定直线x＋y＝0的距离相等，符合抛物线的定义，故C正确．对于D选项，可以转化为点P到F的距离与到定直线x＝－4的距离相等，符合抛物线的定义，故D正确． 5．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 6．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【答案】 【详解】 由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为； 定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程． 重难点二 抛物线的标准方程问题 7．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 【答案】(1) (2) (3)或． (4)或或或． 【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （2）焦点在轴正半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （3）由题意，抛物线方程可设为或， 将点的坐标代入，得或， 或． 所求抛物线的标准方程为或． （4）由焦点到准线的距离为，可知． 所求抛物线的标准方程为或或或． 8．抛物线的准线方程为，那么抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为，可得，解得， 所以抛物线即，即的焦点坐标为. 故选：D. 9．直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的焦点为， 又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为， 将点代入，可得，所以直线的长为. 故选：A. 10．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 11．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得： ，，，所以 可得，由抛物线的定义得 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是． 故选：B 12．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由椭圆的方程可得， 所以椭圆的右焦点为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为． 故答案为：. 13．已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】或 【详解】直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为． 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为． 所以抛物线C的标准方程为或． 故答案为：或. 14．已知椭圆,抛物线开口向上,关于轴对称,抛物线顶点与椭圆的下顶点重合,如图所示,抛物线与椭圆交于两点,且与轴正方向的夹角为,则抛物线为 【答案】 【详解】由与轴正方向的夹角为,设,则点, 代入椭圆得：,解得,即点, 由抛物线开口向上,关于轴对称,抛物线顶点与椭圆的下顶点重合, 可设抛物线方程:,代入点得: , 所以抛物线方程为:. 故答案为: 待定系数法：①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p即可； ②当焦点位置不确定时，注意要对四种形式的标准方程进行讨论 重难点三 抛物线定义的应用 15．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 16．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 17．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 18．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 . 【答案】14 【详解】由题意可得， 设，抛物线的准线：， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 根据抛物线的定义，得， 故， 因为的中点为， 所以，可得， 所以. 故答案为：.    19．已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 20．已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 所以，得. 由点在上，得，结合，解得. 所以的方程为. 故选：A. 21．（多选）已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】BD 【详解】设, 由题意得 , 得,, 解得或. 故选：BD. 22．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 【答案】 【详解】因为，所以是以为顶点的等腰三角形， 则，，即，则， 又，. 故答案为：. 若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N；②连接PF;③ (焦点在轴正半轴上时) 重难点四 利用抛物线定义求最值 23．过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】设，则，圆的圆心，半径， 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 24．已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 25．已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为， 设，则，， 故． 令，则，由，得， 所以， 令，则，所以， 故当，即时，取得最小值． 故选：A． 26．（多选）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴的交点为为C上一动点，点，则（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为5 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】由题意知，当时，，则，故A错误； 当时，点P为抛物线与圆的交点，二者联立并消去y，得，所以，又，所以，故B正确；    过B作l的垂线，垂足为，当P为与C的交点时，P,B,F三点共线时最小，最小值为5，故C正确；    当点P为线段的延长线与C的交点时，P,B,F三点共线时最大，最大值为，故D正确． 故选:BCD． 27．设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为， 如图， 因为，且关于的对称点为，所以， 所以 . 当在线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为. 故选：D 28．已知是抛物线：上的一点，直线：，过点作与的夹角为的直线且与交于点，设为点到轴的距离，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为抛物线的焦点． 设点到直线的距离为， 如图， 过作， 过点作与的夹角为的直线，交于点， 在中，，则， 所以，， 又的最小值为点到的距离， 即的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 29．（多选）过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．可能取到3 D．可能取到4 【答案】AD 【详解】 对于AB，圆的圆心为，半径为， 设，，要使最大，只需最大， 即只需，等号成立当且仅当， 所以的最大值为，的最大值为，故A正确，B错误； 对于CD，由以上分析可知，的取值范围是，的取值范围是， 显然，，由等面积法有， 所以， 又的取值范围是， 所以的取值范围是，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：关键是结合三角函数性质、定义以及等面积法进行适当分析，由此即可顺利得解. 30．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 31．在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由抛物线的定义知，，所以 所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值. 故答案为： 解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. 重难点五 抛物线的简单几何性质 32．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 33．已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示： 设，，， 因为，两点均在轴上方， 所以， 因为抛物线为，所以， 则，， 所以， 则， 又因为的重心为抛物线的焦点， 所以，， 所以， 所以， 又因为， 代入可得， 故， 即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键有两个地方，一是利用点差法得，二是利用基本不等式得到，从而得解. 34．已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点是抛物线上的两点，且， 根据抛物线的对称性，可得关于轴对称， 设直线的方程为，则， 因为的垂心恰好是抛物线的焦点， 所以，可得，即， 解得，即直线的方程为. 故选：C.    35．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 36．在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【答案】答案见解析 【详解】如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象， 由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大.    重难点六 抛物线的实际问题 37．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 38．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．    设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得． 故选：C 39．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 由题意可得. 设抛物线的标准方程为，于是，解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 40．一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（2）所示.已知接收天线的口径为，深度为.若为接收天线上一点，则点与焦点F的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合， 焦点在轴上，如图所示： 设抛物线方程为，由题知：点在抛物线方程上， 所以，解得. 则点与焦点F的最短距离为. 故选：B 41．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由题意，设点所在的抛物线方程为， 又由抛物线与椭圆的交点，代入抛物线方程得，解得， 即抛物线的方程为， 令，可得，解得或（舍去）， 所以，即航天器降落点B与观测点A之间的距离为. 故选：A. 42．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 一、单选题 1．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 2．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆， 抛物线的准线方程为， 由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得. 故选：A. 3．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意作下图： ， ， 垂直于轴， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 故选：B． 4．已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 5．已知点A是抛物线C：上的动点，O为坐标原点，F为焦点，，且O、A、B三点顺时针排列．得出下列四个结论：①当点B在x轴上时，；②当点B在y轴上时，点A的坐标为；③当点A与点B关于x轴对称时，；④若，则点A与点B关于x轴对称．其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】因为，即， 又，所以， 又，所以，所以为等边三角形， 对于①，当点B在x轴上时，又O、A、B三点顺时针排列，所以大致图像如图， 此时OA所在直线方程为，与联立，消去y得， 解得或，所以，故①正确； 对于②，当点B在y轴上时，又O、A、B三点顺时针排列，所以此时A点在x轴下方， 如图， 且OA所在直线方程为，与联立， 消去y得，解得或12， 当时，，即A点坐标为，故②正确； 对于③，当点A与点B关于x轴对称时，又O、A、B三点顺时针排列， 所以此时A点在x轴上方，如图， 且OA所在直线方程为，与联立， 消去y得，解得或12，所以，故③正确； 对于④，当时，得A点横坐标为12， 此时A点可能在x轴上方，也可能在x轴下方． 因为O、A、B三点顺时针排列，所以当A点在x轴上方时，可得点A与点B关于x轴对称； 当A点在x轴下方时，可得此时B点在y轴上，点A与点B不关于x轴对称，如图 故④错误． 故选：A． 6．在直角坐标系中，已知点，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】设，中点，则. 　．代入前面式子得到， 化简得到，即，则的轨迹为抛物线. 抛物线焦点恰好是， \过P向抛物线垂线作垂线，垂足为,如图所示. 运用抛物线定义，知道，当三点共线时， 最小，最小值. 故选:C． 三、填空题 7．已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为 . 【答案】 【详解】因为抛物线，所以， 设，由得，所以， 由，，所以， 所以中点的横坐标为， 故答案为： 8．已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 【答案】2 【详解】因为O为中点，轴平行于准线，所以为的中点， 因为，所以与垂直，因为，所以， 所以，故，代入可得， 化简得， 由于，所以，（舍去）， 故答案为：2 9．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可设，，， 又，，， ，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 直线的斜率的最大值为． 故答案为：． 二、多选题 10．在平面直角坐标系中，，则下列曲线中存在两个不同的点使得且的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题，线段的垂直平分线为：，与曲线有两个不同的交点， 对于A选项，圆心，圆心到直线的距离为，直线与圆只有一个交点，不合题意，故A选项错误； 对于B选项，联立，故B选项正确； 对于C选项，无解，故C选项错误； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：BD. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的周长为16 C．的面积为 D． 【答案】AB 【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为． 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程， 整理可得．，解得或（舍去负值）， 所以，代入可得，． 设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确； 对于C项，易知，故C项错误； 对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误． 故选：AB    12．已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【详解】对A，把点代入抛物线，得， 所以抛物线的准线方程为，故A正确； 对B，因为，，，， 所以，，， 又由，得， 所以，故B正确； 对C，因为三点共线，所以线段是焦点弦， 设直线：， 联立得， 所以，故C不正确； 对D，设的中点为， 因为，， 所以，得， 即的中点到轴距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD 四、解答题 13．求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对双曲线：，其左顶点为. 对抛物线，焦点为，所以抛物线的标准方程为：. （2）椭圆：的焦点坐标为：，. 如图： 直线与圆：相切， 设直线的倾斜角为，则. 所以对双曲线焦点在轴上，且. 所以双曲线的标准方程为：. 14．已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）因为抛物线过点，则①，又， 且焦点为，即②， 结合①②解得或， 即，或． （2）当时，此时，则， 所以； 当时，，则， 所以． 15．已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）抛物线，, 其焦点为，准线方程为， 可得，且， 解得，或（舍去），， 则抛物线的方程为； （2）如图，设直线的方程为，， 联立，可得， 则，又，所以， 由，可得即，解得，或（舍去）， 所以直线恒过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$