拓展3-1 直线与圆锥曲线-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

拓展3-1直线与圆锥曲线 一、直线与圆锥曲线的位置关系 ①椭圆的中点弦问题 ①直线与椭圆的位置关系 ②双曲线的中点弦问题 ②直线与双曲线的位置关系 ③抛物线的中点弦问题 ③直线与抛物线的位置关系 三、圆锥曲线的弦长公式 二、圆锥曲线的中点弦问题 四、圆锥曲线的切线问题 一、直线与圆锥曲线的位置关系 ①直线与椭圆的位置关系 方法点拨：判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：⇔直线与椭圆相交；⇔直线与椭圆相切；⇔直线与椭圆相离． 1．若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 2．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 5．直线与椭圆的公共点个数为 ． 6．已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 7．已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ ②直线与双曲线的位置关系 方法点拨：判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去或中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意项或项系数是否为零的情况，否则容易漏解． 8．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 10．（多选）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ． 12．已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 13．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 14．已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 ③直线与抛物线的位置关系 方法点拨：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，一般消元转化为y的方程，然后分和进行讨论 15．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 17．过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 18．（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 19．已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 二、圆锥曲线的中点弦问题 方法点拨：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”. ①椭圆的中点弦问题 20．已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 21．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 22．过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E的离心率为 ． 23．已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 24．已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 25．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 26．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程. ②双曲线的中点弦问题 27．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 28．（多选）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 29．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 30．已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 31．过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程． 32．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 33．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心的轨迹方程； (2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． ③抛物线的中点弦问题 34．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 35．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 36．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 37．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 38．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 39．设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 三、圆锥曲线的弦长公式 方法点拨：求弦长的两种方法： ①出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； ②结合根与系数的关系，利用弦长公式或进行求解 40．已知双曲线（，）的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 41．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 42．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 43．已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 44．已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 四、圆锥曲线的切线问题 方法点拨：椭圆上一点处的切线方程为. 双曲线上一点处的切线方程是 过抛物线上的点的切线方程是. 45．已知直线l：x＋2＝0与x轴交于点P，过点P作抛物线的切线，切点为A，点A到直线l的距离为d，F为C的焦点，则(    ) A． B． C． D． 46．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 47．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 48．已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积． 49．已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 50．已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，. (1)求椭圆C的离心率和焦点坐标； (2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度. 51．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展3-1直线与圆锥曲线 一、直线与圆锥曲线的位置关系 ①椭圆的中点弦问题 ①直线与椭圆的位置关系 ②双曲线的中点弦问题 ②直线与双曲线的位置关系 ③抛物线的中点弦问题 ③直线与抛物线的位置关系 三、圆锥曲线的弦长公式 二、圆锥曲线的中点弦问题 四、圆锥曲线的切线问题 一、直线与圆锥曲线的位置关系 ①直线与椭圆的位置关系 方法点拨：判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：⇔直线与椭圆相交；⇔直线与椭圆相切；⇔直线与椭圆相离． 1．若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 2．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 3．直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线恒过点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可， 即 ，解可得且， 故实数m的取值范围为. 故选：C． 4．已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 【答案】2 【详解】直线 过定点 , ，即定点在椭圆内， 则直线 与椭圆 C 的公共点有两个. 故答案为：2. 5．直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【详解】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 6．已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【答案】证明见解析 【详解】由消去得，，（*） ， 因为在椭圆之外，所以，即， 所以，方程（*）有两个不等的实根，即直线与椭圆有两个不同的公共点； 7．已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. ②直线与双曲线的位置关系 方法点拨：判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去或中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意项或项系数是否为零的情况，否则容易漏解． 8．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 9．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 10．（多选）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】把直线代入双曲线中，消，得 当，即时，直线与双曲线相交有一个交点 当，，即，时，直线与双曲线相切，有一个交点 的值为， 故选:AD 11．已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ． 【答案】3 【详解】解：联立， 消去得， 当，即时， 直线和直线分别与双曲线的渐近线平行， 故只有一个交点； 当时，由， 可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点. 故答案为：3 12．已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 13．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】或 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的的所有取值为或， 故答案为：或. 14．已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【答案】(1)顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. ③直线与抛物线的位置关系 方法点拨：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，一般消元转化为y的方程，然后分和进行讨论 15．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D 16．（9-10高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 17．过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】当斜率不存在时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； 当斜率存在时，设为k，则直线方程为， 联立，得， ①当时，直线方程为，只有一个公共点，符合题意； ②当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点. 所以满足题意的直线有3条. 故选：C 18．（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为， 由方程组消去y得， ①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确； ②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确. （2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确． 综上，直线l的方程为，或. 故选：ABC.    19．已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【答案】答案见解析 【详解】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 二、圆锥曲线的中点弦问题 方法点拨：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”. ①椭圆的中点弦问题 20．已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】设，则①，②， 联立①②整理得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 21．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 22．过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】依题意，，所以直线的方程为， 由消去并整理得， 由弦AB的中点为，得，解得， 由可得上述关于的一元二次方程，    所以椭圆E的离心率为. 故答案为： 23．已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】设坐标为，则， 作差可得，则， 根据题意可得，，则，解得. 当时，联立，可得， 其，满足题意；故. 故答案为：. 24．已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 【答案】 【详解】易知可表示为， 可知圆的圆心坐标为，半径为，如下图所示： 根据题意由圆的性质可知，易知，所以； 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即. 故答案为： 25．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示：    设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 26．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知,解得， 因为， 所以， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在，如图所示 设，设， 消得，， 所以，解得. , 设线段中点的坐标为， 所以 , 又因为线段中点的纵坐标， 所以，解得， 所以直线方程为，即. ②双曲线的中点弦问题 27．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 28．（多选）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意； 斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入， 可得: ，两式相减可得：， 设直线的斜率存在，整理可得. 对于A，，直线， 化简可得，代入可得， 整理可得，显然方程无解，故A错误； 对于B，，直线， 化简可得，代入可得， ，， .由， ，故B正确； 对于C，，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故C正确； 对于，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故D正确. 故选：BCD. 29．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 30．已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 31．过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】 【详解】解：设，，则，， 两式相减得． ∵P为线段AB的中点，∴，． ∴，即所求直线l的斜率为1， ∴直线l的方程为，即．经检验符合题意． 32．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1） 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 且直线的斜率为， 且双曲线的渐近线为，则，可得， 所以，双曲线的渐近线方程为，即， 因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以， 解得，所以，所以双曲线的方程为； （2） 设、， 则， 则，所以， 化简得， 因为线段的中点为，所以，， 所以，所以， 即直线的斜率为， 经检验符合题意， 所以直线的斜率为. 33．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心的轨迹方程； (2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1） ∵圆M与圆外切，且圆M与圆内切， ∴，， ∴， ∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， ∴点M的轨迹方程是； （2）法一：设被点平分的弦所在的直线方程为， 代入双曲线方， 得， ∴， 解得． 设弦的两端点为，， 则． ∵点是弦的中点， ∴，∴． 故双曲线上不存在被点平分的弦． 法二：设双曲线上存在被点B平分的弦，且点，， 则，， 且， 由①②得， ∴， ∴直线的方程为，即． 由消去y，得． 又，∴直线与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦． ③抛物线的中点弦问题 34．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，代入抛物线，可得， 两式相减得， 所以直线的斜率为， 又因为的中点为，可得， 所以，即直线的斜率为. 故选：C. 35．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以， 设，可得，且， 两式相减，可得， 可得，所以直线的方程为， 即. 故选：A． 36．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【详解】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 37．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 38．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 39．设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 三、圆锥曲线的弦长公式 方法点拨：求弦长的两种方法： ①出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； ②结合根与系数的关系，利用弦长公式或进行求解 40．已知双曲线（，）的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】因为双曲线（，）的渐近线方程为， 所以， 所以，代入抛物线得，， 设直线与抛物线的交点为，则， 所以， 故选：D． 41．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 【答案】 【详解】直线经过椭圆的左焦点，则， 的周长为，解得，故， 椭圆的短轴长为， 由，得， 故答案为：；.    42．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 43．已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得，， 椭圆方程为. （2）设直线：，， 联立并整理得，，， ， 解得，符合， 直线方程为，即． 44．已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）双曲线与有相同的渐近线，则， 为的右焦点，则，解得，， 双曲线方程为； （2）直线的方程为，，即， ，，， . 四、圆锥曲线的切线问题 方法点拨：椭圆上一点处的切线方程为. 双曲线上一点处的切线方程是 过抛物线上的点的切线方程是. 45．已知直线l：x＋2＝0与x轴交于点P，过点P作抛物线的切线，切点为A，点A到直线l的距离为d，F为C的焦点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点，易知， 设切线方程为，又，则， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴，∴，∴. 故选：C. 46．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设，由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令，可得，令，可得， 所以面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 47．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②； 由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点 故选：C 48．已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积． 【答案】答案见解析 【详解】    因为，所以，所以直线方程为． 设， 联立得，显然， 所以， 则， 因为，所以，则． 当时，到的距离； 当时，到的距离． 49．已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，，所以， 所以抛物线的方程为；     如图：设， 将直线的方程代入，得，     所以，     因为直线与倾斜角互补， 所以，     即， 所以， 即， 所以. （2）由（1）可知， 所以， 则，      因为， 所以，即，     又点到直线的距离为，     所以，     因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为． 50．已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，. (1)求椭圆C的离心率和焦点坐标； (2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设椭圆方程为 根据题意可得，解得 ∴椭圆方程为，则，且焦点在轴上 ∴求椭圆C的离心率，焦点坐标 （2）设，根据题意可得，即 则 ∵ ∴当，即时，取到最大值 由题意可知切线l的斜率存在，设切线l：，即 联立方程，消去得 根据题意可得：，解得 ∴切线l：，与y轴交于点 ∴ 51．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题设可知，解得 则：． （2）设点M的横坐标为 当直线斜率不存在时，则直线： 易知点到轴的距离为﹔ 当直线斜率存在时，设：，，， 联立，整理得， ， 整理得 联立，整理得， 则，则，即 则，即 ∴此时点到轴的距离大于2； 综上所述，点到轴的最小距离为2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$