精品解析：山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2025届高三上学期9月月考数学试卷

2024--2025学年第一学期9月月考高三数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效； 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，若，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可. 【详解】因为，若，经验证不满足题意； 若，经验证满足题意. 所以. 故选：B. 2. 函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得. 【详解】由于函数在上是增函数，且， 故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点. 故选：B. 3. 已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】容易得出，，，从而得出，，的大小关系． 【详解】，，； ． 故选． 【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，指数函数的值域．属于基础题. 4. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可得原不等式等价于，再根据单调性解不等式. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递减， 所以不等式等价于， 即， 解得或， 所以满足的x的取值范围是． 故选：B． 5. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】偶函数定义域必关于原点对称，且即可求解. 【详解】由题：定义域为，所以，且解得：， 又对任意， ，恒成立， 即恒成立， 即恒成立，得：， 所以. 故选：C 【点睛】此题考查函数奇偶性概念辨析，判断函数奇偶性，必须定义域关于原点对称，再讨论关系方可求解. 6. 若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用乘“1”法结合基本不等式即可求出，最后解出不等式即可. 【详解】由，且，则 则， 当且仅当时等号成立， 所以，解得， 故选：B. 7. 若实数满足关系式，则的最小值为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，把看作关于的一元二次方程的两根，结合，求t的范围，再由，应用二次函数的性质求最小值. 【详解】令，则， 将看作关于的一元二次方程的两根， 则，故，可得或， 由， 结合二次函数性质，在上递减，在上递增， 又， 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，将看作关于的一元二次方程的两根，利用求参数范围为关键. 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，则函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，考查直线与圆相切，且切点位于第三象限时以及直线过点时，对应的值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】解：当时，，则，等式两边平方得， 整理得， 所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示， 由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点， 直线过定点， 当直线过点时，则，可得； 当直线与圆相切，且切点位于第三象限时，， 此时，解得． 由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点． 因此，实数取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题是真命题是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，，则的最大值为4 C. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 D. 命题，使得，则，都有 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分与必要条件定义可判断A，结合基本不等式可判断B，讨论与可判断C，根据命题的否定定义可判断D． 【详解】对于A，当时有；当时，有或，故A正确； 对于B，由，当且仅当即时取等号，故最小值为4，故B错误； 对于C，当时，命题“”是真命题， 当时，由于，则，解得 则实数的取值范围是，故C错； 对于D，根据命题的否定定义可得 ，都有，故D正确． 故选：AD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数在R上为增函数 C. 函数的值域为 D. 函数只有一个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A．根据分段函数的每一段的取值范围进行分析即可； B．先分析每一段函数的单调性，然后再分析在分段点处的函数值大小关系，由此进行判断； C．分析每一段函数的值域，然后取并集并进行判断； D．分别考虑和时，时的值，由此判断出的零点个数. 【详解】选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确； 选项B：当时，函数为增函数，当时，函数为增函数，且， 所以函数在R上不单调，故B错误； 选项C：当时，，即，当时，，， 所以函数的值域为，故C正确； 选项D：当时，令，解得，当时，令，解得， 故函数有两个零点，故D错误， 故选：AC. 【点睛】易错点睛：分析分段函数时需要注意的事项： （1）分析分段函数的定义域和值域时，求解的是各段函数定义域和值域的并集； （2）分析分段函数的单调性时，先要分析各段函数的单调性，然后分析分段点处的函数值的大小关系，最后得出结论； （3）分析分段函数的零点时，根据各段函数等于零时的值，确定出函数的零点. 11. 已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. D. 是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用赋值法，令代入运算即可；对于C：令，代入运算即可；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A， 令，则，可得， 且不恒为0，所以，故A正确； 对于B，例如，可知是定义域为的非常数函数， 且， 可知符合题意，但，故B错误； 对于C，令，则，可得， 即，故C正确； 对于D，例如，可知是定义域为非常数函数， 且， 注意到同号， 可得， 可知符合题意， 但，即为偶函数，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于选项BD：举反例，通过函数和分析判断. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】令对数的真数等于1，求得、的值，即为定点的坐标，再代入函数的解析式即可求出的值． 【详解】解：令得：，此时， 函数且的图象恒过定点，即， 又点在函数图象上， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 13. 若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得的最小正周期，结合对数的运算性质可得答案． 【详解】解：由是定义在上的奇函数，为偶函数， 可得，，即， 所以，可得， 则的最小正周期为4， 当时，， 则． 故答案为：． 14. 已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围为_____（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】先画出图象，设，可得出，可得出，，，进而得出，令，然后构造函数，利用双勾函数的单调性求得函数在区间上的值域，即为所求. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 不妨设，设，则、、可视为直线与函数的图象的三个交点的横坐标， 由图象可得，且，可得，，， 所以，，令，设， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，则，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查零点相关的代数式的取值范围的计算，构造新函数，将问题转化为新函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知指数函数． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）9 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）代入计算即可. （2）代入计算即可. （3）根据指数函数的单调性化简不等式，再解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，. 小问2详解】 因为，所以. 【小问3详解】 因为指数函数在上单调递增， 所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解； （2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并给予证明； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）； （2）函数为奇函数，证明见解析； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可. 【小问1详解】 根据题意，函数， 所以，解可得， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 由（1）得函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数， 所以， 所以函数为奇函数. 小问3详解】 根据题意，即， 当时，有，解可得，此时不等式的解集为； 当时，有，解可得，此时不等式的解集为 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 18. 若二次函数对任意都满足，其最小值为，且有 （1）求的解析式； （2）解关于的不等式； （3）设函数，求在区间的最小值. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的解析式，代入条件运算得解； （2）将代入，对其对应方程的两根大小讨论得解； （3）求得的解析式和对称轴，根据对称轴和区间的位置关系进行分类讨论，根据二次函数的单调性结合对称轴，求得函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 由，则的对称轴为，且最小值为， 所以设，，又， ，解得， . 【小问2详解】 由（1），，即， 其对应方程的根为， 当即时，解不等式得或， 当即时，解不等式得， 当即时，解不等式得或， 综上，不等式的解集为： 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【小问3详解】 由（1），，对称轴，， 当即时，在上单调递增，则； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当即时，在上单调递减，则. . 19. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a的取值范围为； （2）a的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围. （2）由（1）可得函数在上的最大值为，由条件可得，解不等式可得a的取值范围． 【小问1详解】 任取两个实数，满足， 由题意可得， 即， 在定义域上是增函数. 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，， 所以，可化为 所以 所以， 解得， a的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知函数在定义域上是增函数， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 又是定义在上的奇函数， 所以，又， 所以函数在定义域上的最大值为， 因为不等式恒成立， 所以，所以， 故不等式可化为， 所以， 解得或， 综上，a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年第一学期9月月考高三数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效； 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，若，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 2. 函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知，，，则 A. B. C. D. 4. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数满足关系式，则的最小值为（　） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数取值范围为　　 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题是真命题是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，，则的最大值为4 C. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 D. 命题，使得，则，都有 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数在R上为增函数 C. 函数的值域为 D. 函数只有一个零点 11. 已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. D. 是奇函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知函数（且）图象恒过定点，且点在函数的图象上，则______. 13. 若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则__________. 14. 已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围为_____（用区间表示） 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知指数函数． （1）求的值； （2）若，求值； （3）若，求的取值范围． 16. 已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的定义域； （2）判断奇偶性并给予证明； （3）求关于的不等式的解集. 18. 若二次函数对任意都满足，其最小值为，且有 （1）求解析式； （2）解关于的不等式； （3）设函数，求在区间的最小值. 19. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $