精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学、府谷县第一中学2025届高三上学期第二次月考数学试题

2024年秋季学期高三年级第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合、常用逻辑用语与不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、三角函数与解三角形、数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为整数集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用集合补集运算及一元二次不等式的解法即可得到答案. 【详解】因为. 故选：D． 2. 已知命题“，使得”，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 则命题的否定是“，使得”. 故选：C. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 5. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 6. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案. 【详解】设，则 . 故选：A 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，对任意实数x都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数的图象关于对称 D. 在区间上有一个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的性质求周期，再利用最值求，再根据CD选项，采用代入的方法，结合函数的性质，即可判断. 【详解】选项A．．故A正确； 选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程． ，．．，，故B正确； 选项C，，不是最值，故C错误； 选项D，当时，， 当且仅当即时,故此区间上有1个零点． 故选：ABD． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】由奇函数的定义可求解A、B；用特值法可判断C；分段求解不等式可判断D. 【详解】，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 因为，，又，故C错误； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，所以不等式的解集为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若的图象在处的切线与直线垂直，则实数 C. 当时，不存在极值 D. 当时，有且仅有两个零点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数即可判断；对于B，根据导数的几何意义可判断；对于C，取，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D，结合函数单调性，利用零点存在定理说明有且仅有两个零点，继而由可推出，即可证明结论，即可判断. 【详解】因为，定义域为且， 所以， 对于A，当时，，所以在和上单调递增，故A正确； 对于B，因为直线的斜率为， 又因为的图象在处的切线与直线垂直， 故令，解得，故B正确； 对于C，当时，不妨取， 则， 令，则有，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上分别单调递减； 所以此时函数有极值，故C错误； 对于D，由A可知，当时，在和上单调递增， 当时，， ， 所以在上有一个零点， 又因为当时， ， ， 所以在上有一个零点， 所以有两个零点，分别位于和内； 设， 令，则有， 则 ， 所以的两根互为倒数，所以，故D正确． 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明时，要注意推出，进而证明结论 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 【答案】 【解析】 【分析】确定扇形的圆心角的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得该公园护栏的总长度. 【详解】因为，所以，扇形的圆心角为，半径为， 所以，该花园的护栏的总长度为. 故答案为：. 13. 已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 14. 对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，从而得，即，由累乘法即可求得的值. 【详解】解：由数列的二阶商数列的各项均为，可知， 而， 故数列是以1为首项，为公比的等比数列， 即， 即， 即． 所以， 故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解． 【小问1详解】 依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分和两种情况，分析可知数列等比数列，结合等比数列分析求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法分析求解. 【小问1详解】 因为， 若，可得，解得； 若，可得，， 两式相减得，整理得， 且，可得， 可知数列是以首项为1，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 则， 所以. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得的单调性，由极值点的定义可求得极值； （2）求导后，分别在和的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性. 【小问1详解】 当时，，则定义域为，， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由题意知：定义域为，； 当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 【答案】（1） 对于，由一次函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，故区间是的“Ω区间”， 对于，由反比例函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，此时不满足， 也不满足，故区间不是的“Ω区间”. （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义逐步检验即可. （2）利用给定定义结合对参数分类讨论，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若是函数的“Ω区间”， 而，不满足性质2，必然满足性质1， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且， 即，所以， 满足，符合题意， 当时，在上单调递减， 所以，而，符合题意， 当时，在上单调递减， ，所以，不符合题意， 综上可得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）极小值为1，无极大值. （2） （3）证明：由（2）知，时，即， 于是， ，， ， 因此 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可. （3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，，令，，求导的， 当,,当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期高三年级第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合、常用逻辑用语与不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、三角函数与解三角形、数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为整数集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题“，使得”，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 6. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，对任意实数x都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数的图象关于对称 D. 在区间上有一个零点 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若的图象在处的切线与直线垂直，则实数 C. 当时，不存在极值 D. 当时，有且仅有两个零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________． 13. 已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 14. 对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 18. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $