精品解析：江西省南昌雷式厚一实验中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

南昌雷式厚一实验中学2024-2025学年上学期10月份月考 高一数学试卷 一、单选题（每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共40分） 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合．设，下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 4. 若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（　　） A. 和 B. C. D. 和 5. 已知命题: “”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数满足，则的值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 7. 已知为正实数且，则最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题有多个选项符合题意，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 10. 已知关于不等式的解集为，则的值可能为（ ） A B. C. D. 11. 若正数a,b满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 一元二次不等式的解集为______________________. 13. 已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______. 14. 若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 ___________. 四、解答题（写出必要的解题步骤，共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 17. “绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨平均处理成本最低？ （2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？ 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19. 对定义一种新的运算，规定：（其中，），已知． （1）求的值； （2）若，解不等式组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌雷式厚一实验中学2024-2025学年上学期10月份月考 高一数学试卷 一、单选题（每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共40分） 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后再求 【详解】解析： 故选：C. 【点睛】本题考查集合的描述法和求两集合的交集，属于基础题. 2. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 3. 已知集合．设，下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，即可得与的关系. 【详解】由，， 故为的真子集，又，故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（　　） A. 和 B. C. D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的解集为，可得方程的两个根为，利用根与系数的关系可得，即可得出结果. 【详解】若不等式的解集为， 则方程的两个根为且， ，解得， 则函数， 令，解得或， 故函数的图象与轴的交点为和. 故选：A. 5. 已知命题: “”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案． 【详解】命题”为假命题， ∴命题“，”为真命题， 当时，成立， 当时，则，解得：， 综上的取值范围是 故选：D． 6. 若实数满足，则的值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知得，可看成是方程的两根，再利用韦达定理和整体代入，即可得答案； 【详解】由已知得,当时，； 当时，可看成是方程的两根， ， ， . 故选：C. 【点睛】本题考查韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 7. 已知为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 8. 关于x不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数取值范围为或. 故选：B. 二、多选题（每小题有多个选项符合题意，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中是真命题是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可. 【详解】解：对A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误； 对C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确； 对D，当时，方程组等价于，所以方程组有无穷多解，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，且，求解不等式即可. 【详解】由题意可得方程的两根为和，且， 根据根与系数的关系可得， 解得，或， 则或． 故选：AC 11. 若正数a,b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可得出A正确，将等式整理变形可得，即B正确，由不等式性质计算可得C正确，利用基本不等式可判断D错误. 【详解】由题可知： 对于A，易知， 当且仅当时，即时，等号成立； 对于B，由可得，可得， 同理可得，所以， 所以；当且仅当时，等号成立，即B正确； 对于C，由可得， 又， 所以，即，，可得， 即可得，即C正确； 对于D，由可得，即； 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即D错误； 故选：ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 一元二次不等式的解集为______________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由得， 所以的解集为. 故答案为：. 13. 已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由得，由基本不等式进而可得. 【详解】因，是正实数及，可知， 可得，得，得， 因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立， 故，故， 故，故， 故答案为： 14. 若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 ___________. 【答案】31 【解析】 【分析】结合题意先判断出的第211个子集，再由真子集个数求解即可； 【详解】因为， 所以由题意可得的第211个子集为， 所以其真子集个数为个， 故答案为：31 四、解答题（写出必要的解题步骤，共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念求出答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，当时，． 所以，． 【小问2详解】 当时，，解得，满足， 当时，若，则，解得， 故实数的取值范围为． 16. （1）已知，，求取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可； （2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参. 【详解】（1）因为，所以． 又，所以，即． （2）由， 则． 当且仅当即时取到最小值16． 若恒成立，则． 17. “绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？ （2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？ 【答案】（1）500 （2）不能获利，该市政府需要补贴元 【解析】 【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可； （2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低. 【小问2详解】 设该企业每月的利润为， 则， 因为， 所以当时，函数取得最大值，即， 所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损. 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【小问1详解】 由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 19. 对定义一种新的运算，规定：（其中，），已知． （1）求的值； （2）若，解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）因为，先判断出，，根据题意列出不等式组，求解即可 【小问1详解】 由题意知，解得； 小问2详解】 由（1）知， 因为，所以，即；，即； 所以由得， 解得，即， 故方程组的解为 【点睛】关键点点睛：准确理解本题新定义“对定义一种新的运算，规定：（其中，）”是解决本题的关键，第（2）问需先判断出，，再根据定义解不等式组. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $