专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 1 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 20 36 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴故答案为：48． 例2．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，．点分别是上的点，且，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，由，得，再由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：且，， 又，，，， 在和中，，，． 例3．（2024七年级下·广东·专题练习）如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，垂直，见解析(2)存在，，或， 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质；（1）由可判定，由全等三角形的性质得，可得，即可得证；（2）分类讨论①若，②若，由全等三角形的性质，即可求解；掌握全等三角形的判定方法及性质，能根据对应顶点的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：全等，垂直； 理由如下：当时，，，又， 在和中，，（）， ，，，即线段与线段垂直； （2）解：存在；理由： ，，， ①若，则，，则，解得：； ②若，则，，则，解得：； 综上所述，存在或，使得与全等． 例4．（2023·黑龙江·八年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-．∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 例5．（2023·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例6．（2024·广东·一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA； （2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与轴交于B点，sin∠ABO=，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式； ②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=25上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）①；②D（3，1）或 【详解】（1）解：由题意可得， ，   ∴ ，∴ ， 在和中，∴ ， （2）解：①如图，过点C作 轴于点D，在Rt△ABO中 sin∠ABO，OB4， ∴设AO=3m，AB=5m，∴OB=4m=4，∴m=1，∴AO=3， 同（1）可证得，∴ ，，∴，∴， ∵，设直线AC解析式为 ，把C点坐标代入可得，解得 ， ∴直线AC解析式为； ②设D坐标为（x，2x-5）, 当D在AB的下方时，过D作DE⊥y轴于E，交BC于F, 同（1）可证得△ADE≌△DPF，∴DF=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x, ∴11-2x+x=8,∴x=3，∴D（3，1）， 当D在AB的上方时，如图，过D作DE⊥y轴于E，交BC的延长线于F, 同（1）可证得，∴DF=AE=（2x-5）-6=2x-11，DE=x，∴2x-11+x=8， ∴，∴，综上述D（3，1）或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法一次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长． 【详解】，，，， ，，， 在和中，，∴，，， ，，，， ，故答案为：． 例2．（2023·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE； （2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α， 补充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=，证法见详解，（3）180º-，DE=EC-BD，证明见详解． 【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA； （2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案； （3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案． 【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC， ∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°， ∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA， 又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS）， BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE． （2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α， ∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA， ∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE， ∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE． （3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD， ∵∠ADB＝∠AEC＝ 180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE， ∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD． 【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键． 例3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明；（2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解；（4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∴ ∴，，∴； （2），证明：由题意可得，， ∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∴ ∴，，∴； （3）设，则，∴ ∵，∴∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得∴，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵面积为18∴∴， ∵的长为9，∴，∴ 1．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标（    ）． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分点P在AB的上方和点P在AB的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即可． 【详解】解：当点P在AB的上方时，过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB延长线于F，如图1， 则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9， ∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB， ∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，∴P(5，5)； 当点P在AB的下方时，同样过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB于F，如图2， 则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a， ∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB， ∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，∴P（3，1）， 综上，点P的坐标为（3，1）或（5，5），故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与图形性质、解一元一次方程等知识，过已知点向坐标轴作平行线或垂线，然后求出相关线段的长是解决此类问题的基本方法． 2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，， ∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 3．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）先利用同角的余角相等，判断出∠DAC=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE； （2）由全等三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴，∴． ∵，∴，∴， ∴．∴ （2）解：∵，∴，．∵，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD≌△CBE是解本题的关键． 4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点C在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接根据一线三垂直模型利用AAS证明即可． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°， ∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键． 5．（2023春·陕西西安·七年级校联考期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____． （2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（2022·河南·八年级校联考期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图2，取的中点，连接，证明．从而得到．请你参考小明的方法解决下列问题． （1）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，证明结论仍然成立；（2）如图4，若把条件“点是边的中点”改为：“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．    【答案】（1）正确，见解析；（2）正确，见解析 【分析】（1）在AB上取点，连接，证明△PAE≌△CEF即可； （2）延长BA至，使=CE，连接，证明△ANE≌△ECF即可． 【详解】解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME． 四边形是正方形， ∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°， ∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF． （2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN=CE，连接NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA， 即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA）∴AE=EF． 【点睛】本题考查的是构造三角形全等证明线段的相等，同时考查了正方形的性质，掌握构造全等三角形是解题关键． 7．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE 【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案． （1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，                            证明：如图，过B作BH⊥CE于点H， ∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH， ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC． （2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE 证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G， ∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG， ∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)由图1，证明：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，，的等量关系并说明理由； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）． 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明过程见解析；(3)，证明过程见解析 【分析】(1)先证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，进而得到DE=CE+DC=AD+BE即可； (2)同(1)中思路，证明△ADC≌△CEB，进而得到DE=CE-DC=AD-BE即可； (3)同(1)中思路，证明△ADC≌△CEB，进而得到DE=DC-CE=BE-AD即可． 【详解】解：(1)证明：在中，∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，， ∵直线经过点，∴； (2)，，的等量关系为：，理由如下： ∵于，于∴， ∴，，∴， 在和中，∴ ∴，，∴； (3)当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是，理由如下： ∵于，于∴， ∴，，∴， 在和中，∴ ∴，，∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键． 9．（2022·山西阳泉·八年级期中）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，积累经验：（1）请写出证明过程； 类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离．拓展提升：（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）1；（2）． 【分析】（1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明△ADC≌△CEB，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明△AOC≌△CEB，进而得出CO=BE，再根据点C的坐标即可得到结果；（3）过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明△CDB≌△AEC，进而得出BD=CE，AE=CD，最后根据点A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)即可求出点B坐标． 【详解】解：（1）证明：∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， 在和中，，∴≌，∴； （2）如图，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 在和中，，∴≌，∴， 又∵点C的坐标(1，0)， ∴，∴，即点B到x轴的距离是1； （3）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，   在和中，，∴≌，∴， 又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)，∴，， 设B点坐标为(a，b)，则a=4－1=3，b=2+2=4，∴点B的坐标为(3，4)． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2023春·浙江·八年级期中）【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由． 【问题解决】（2）若设，试利用图1验证勾股定理． 【拓展应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点C的坐标为(1，2)或(3，3)或． 【分析】（1）利用全等三角形的判定证明≌，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得到结论；（2）利用图形的面积建立等式进行化简即可； （3）分三种情况，作辅助线构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下： 在和中，，∴≌，∴AE= DE，∠AEB=∠EDC， ∵在中，∠C=90°，∴∠EDC+∠DEC= 90°，∴∠AEB+∠DEC= 90°， ∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴是等腰直角三角形； （2）由题可知，四边形ABCD为梯形， ∵≌，，，，∴AB=CE=b，BE=CD=a， ∴， 又∵， ∴，∴，∴； （3）①当∠CAB=90°，CA=AB时，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵点A(2，0)，点B(4，1)，∴BE=1，OA=2，OE=4，∴AE= 2， ∵∠CAB=90°，BE⊥x轴，∴∠CAF+∠BAE= 90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CAF=∠ABE， 又∵AC= AB，∠AFC=∠AEB=90°，∴≌， ∴CF=AE= 2，AF=BE=1，∴OF=OA－AF=1，∴点C坐标为(1，2)； ②当∠ABC＝90°，AB＝BC时，如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BE交EB延长线于点F， ∵∠ABC=90°，BE⊥x轴，∴∠ABE+∠CBF= 90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF， 又∵BC= AB，∠AEB=∠CFB=90°，∴≌， ∴BE=CF=1，AE=BF= 2，∴EF=3，∴点C坐标为(3，3)； ③当∠ACB=90°，CA＝BC时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥CD于点F，BE⊥x轴于点E， ∵∠ACB=90°，CD⊥x轴，∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD， 又∵AC= BC，∠CDA=∠BFC=90°，∴≌，∴CF=AD， BF=CD=DE， ∵AD+DE=AE=2，∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，∴， ∴，，∴点C坐标为， 综上所述，点C的坐标为(1，2)或(3，3)或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的验证，平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，熟练掌握各性质及判定定理，正确作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 11．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②或 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作于，于，证明，，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；②过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点，利用（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，∴， 在和中，，∴， ∴，．故答案为：；． （2）①证明：如图，作于，于， ∵，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，∴，∴，∴点是的中点； ②解：如图，和是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴，，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，， 由（1）可知，，∴，， ∵点的坐标为，∴，， 又∵，∴， 解得：，，∴点的坐标为， ∵，，，由（1）可知，， ∴，，∴点的坐标为． 综上所述，是以为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．（2023春·上海·七年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】[模型呈现]证明：∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 13．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接． （1）当点，都在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 【答案】（1）见解析；（2）图②：；图③： 【分析】（1）过点作交的延长线于点．证明，根据全等三角形的性质可得，．再证，由此即可证得结论；（2）图②：，类比（1）中的方法证明即可；图③：，类比（1）中的方法证明即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点． ∴．∵，∴，． ∵，∴．∴． 在和中，∴．∴，． ∵，，∴． ∴．∴． ∵，，∴． 在和中，∴．∴． ∵，∴． （2）图②：．证明：过点作交于点． ∴．∵，∴，． ∵，∴．∴． 在和中，∴．∴，． ∵，，∴．∴， ∵∴．∴． ∵，，∴． 在和中，∴．∴． ∵，∴． 图③：． 证明：如图，过点作交的延长线于点． ∴．∵，∴，． ∵，∴．∴． 在和中，∴．∴，． ∵，，∴．∴．∴． ∵，，∴． 在和中，∴．∴． ∵，∴． 【点睛】本题是全等三角形的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 14．（2022·安徽·合肥市庐阳中学二模）（1）如图，等腰直角中，，，线段经过点，过A作于点，过作于求证：≌． （2）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是平面直角坐标系中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，在等腰直角中，，，点在线段上从向运动运动到点停止，以点为直角顶点向右上方做等腰直角，求点移动的距离． 【答案】（1）见解析；（2），，，；（3）8 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明即可；（2）分四种情况，由（1）的结论并结合等腰直角三角形的性质即可证明；（3）过点作轴于点，过点作于点，由（1）的结论和等腰直角三角形的性质即可证明． 【详解】解：（1）为等腰直角三角形，， 又，，，， 又，，即，≌； （2）分四种情况讨论：当点为直角顶点时，且点在左侧时，如图，过点作轴于点． 为等腰直角三角形，由（1）可知：≌， ，，，， ，，，； 其余三种情况如图所示， 同理可求得：，，； （3）过点作轴于点，过点作于点，如图， 为等腰直角三角形，由（1）可知：≌， ，，， 点在直线上运动，当点在点时，点的坐标是， 当点在点时，点的坐标是，点运动的距离是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质． 15．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析 【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE = AF即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE = AF即可得出结论; （2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE=AF即可得出结论． 【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF， 证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°， ∵∠BCA = 90°, ∴∠BCE＋∠ACF= 90°, ∵∠BCE＋∠CBE =90°， ∴∠ACF = ∠CBE， ∵AC = BC, ∴△BCE≌△CAF, ∴BE =CF,CE = AF, ∵CF =CE＋EF, ∴EF= CF -CE=BE-AF； ②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180° 当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立; 理由是：如题图2， ∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°, 又∵ ∴∠CBE= ∠ACF, 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF (AAS), ∴BE =CF,CE = AF， ∴EF= CF-CE= BE -AF; 故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ； （2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下 ∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA, 又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° , ∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF ∴∠EBC = ∠ACF， 在△BEC和△CFA中 ∴△ABE≌△CFA(AAS) ∴AF = CE，BE = CF ∵EF= CE+CF, ∴EF= BE＋AF． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE≌△CAF是解题的关键． 16．（2022秋·湖南永州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）。（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由． （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1），小；（2）2，理由见解析；（3）或80° 【分析】（1）根据已知条件， 三角形内角和定理和平角的定义，可得，，进而可得∠EDC，∠DEC，根据题意，可得当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得∠BDA逐渐变小； （2）由（1）可得，，只要,即可证明，进而可得； （3）根据题意，分为顶角和底角两种情况讨论，进而计算的度数． 【详解】（1），， ， ， ， ， ，， 当∠BDA＝105°时， ∠EDC＝， ∠DEC＝； 当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，,则∠BDA逐渐变小， 故答案为：，小； （2），， 当时， （AAS）， ， （3）△ADE的形状可以是等腰三角形，或， ， ， ①当时，， ， ； ②当时，， ， ， ③当时，， ， 此时点与点重合， 由题意可知点D不与点B、C重合， 此种情况不存在， 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键． 17．（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点． （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：； （2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．     【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD． 【分析】（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系． 【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴DE＝AD+BE． （2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD． 如图② ∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE． DE＝AD﹣BE， 如图③ ∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键． 18．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）． （1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标； （2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标； （3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）OD＝8，点A的坐标（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0） 【分析】（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的长，进而即可得到A的坐标； （2）分三种情况：①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C；作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C；③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C，分别求解，即可； （3）分三种情况：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰；②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0），∴OB＝2，OC＝6， ∵∠ACB＝90°，∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°， ∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°， ∴△BOC≌△CDA（AAS），∴CD＝OB＝2，∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6，∴点A的坐标（8，6）； （2）①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C，∴△OAC△OP1C，∴P1（8，-6）； ②∵点O，C关于直线x=3对称，∴作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C， ∴△OAC△CP2O，∴P2（-2，6）； ③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C， ∴△OP2C△OP3C，即：△OP3C△OCA，∴P3（-2，-6）， 综上所述：P的坐标为：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）； （3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰， ∵AD⊥x轴，∴点Q1，O关于直线AD对称，即：Q1（16，0）； ②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时， 则OQ2=OA=10，∴Q2（10，0）； ③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时， 则OQ3=OA=10，∴Q2（-10，0）， 综上所述：Q的坐标为：（16，0）或（10，0）或（-10，0）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 1 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 20 36 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 例2．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，．点分别是上的点，且，若，求证：． 例3．（2024七年级下·广东·专题练习）如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 例4．（2023·黑龙江·八年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 例5．（2023·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 例6．（2024·广东·一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA； （2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与轴交于B点，sin∠ABO=，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式； ②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=25上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 例2．（2023·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE； （2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α， 补充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明． 例3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 1．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标（    ）． A．或 B． C．或 D． 2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 3．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长． 4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点C在上，．求证：． 5．（2023春·陕西西安·七年级校联考期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____． （2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 6．（2022·河南·八年级校联考期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图2，取的中点，连接，证明．从而得到．请你参考小明的方法解决下列问题． （1）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，证明结论仍然成立；（2）如图4，若把条件“点是边的中点”改为：“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．    7．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 8．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)由图1，证明：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，，的等量关系并说明理由； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）． 9．（2022·山西阳泉·八年级期中）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，积累经验：（1）请写出证明过程； 类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离．拓展提升：（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 10．（2023春·浙江·八年级期中）【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由． 【问题解决】（2）若设，试利用图1验证勾股定理． 【拓展应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标． 11．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 12．（2023春·上海·七年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 13．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接． （1）当点，都在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 14．（2022·安徽·合肥市庐阳中学二模）（1）如图，等腰直角中，，，线段经过点，过A作于点，过作于求证：≌． （2）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是平面直角坐标系中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，在等腰直角中，，，点在线段上从向运动运动到点停止，以点为直角顶点向右上方做等腰直角，求点移动的距离． 15．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　．（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 16．（2022秋·湖南永州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）。（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由． （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 17．（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点． （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：； （2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．    18．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）． （1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标； （2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标； （3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$