专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 13 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴， 在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4，中，，D为中点，求证：． 例2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法： 如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点E在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作：，使，，边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的．此作图过程需先做出一条线段等于线段m的两倍，然后依据______作出． ③在上截取m得的中点D，连接并延长至点C，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰，满足腰，底边BC上的高． 变式2．（23-24八年级上·福建福州·期中）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：       ①延长到Q，使得；②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明． 变式3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 变式1．（2023·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 变式2．（23-24八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】 如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】 如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______） （______），∴． 4．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 5．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是（    ）． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA (2)AD的取值范围是（    ）． A．    B．    C．    D． (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 7．（2024·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则． (1)【类比探究】如图②，在中，，，点是的中点，求中线的取值范围； (2)【拓展应用】如图③，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题． 如图，已知，点D是的中点，延长至点E，使，连接，易得到，从而得到，．    已知，点D是的中点．    (1)如图1，点E在上，延长交于点F，且，求证：；小明同学应用倍长中线的方法，延长至点M，使，连接，请你帮助他写出证明过程． (2)如图2，点E，G在射线上，连接，延长交于点F，若，G为的中点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点M是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点P，连接，当的周长最小时，求的度数． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 10．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 12．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读理解：在数学兴趣小组活动中，小芳同学遇到了如下问题： （1）如图1，已知平面内的3条射线，反向延长，得到图2，若，判断和的数量关系． 经过小组同学们的观察，思考，交流，对上面的问题形成了如下想法：由于和互补，可以通过探究与的关系，从而得到和的数量关系……根据以上分析过程，请写出和的数量关系：_________． （2）将图1中的反向延长，得到图3，若，请写出图中一对相等的角____________； （3）如图4，在中，，点D，点E分别在边上，过点B作的平行线交的延长线于点F．若，请说明； 拓展应用：（4）如图5，在中，，点D为边上一点，连接，．若，，求的长．（用含a的代数式表示） 14．（23-24七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 15．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】（1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 16．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 17．（23-24八年级上·北京·期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE． （1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数； （2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明． 分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…… ②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的． 请根据上述分析过程，完成解答过程． 18．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证；(2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 20．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． （1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 13 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴， 在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边(2)C(3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．（3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线，, 在与中，,，, 在中，，即，．故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接，是的中点，∴, 又∴，，， ∵，∴,,即， 又∵，∴，∴，∴． 例2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法： 如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）小美同学的解题思路，延长至G，使连接，根据全等三角形的性质得到求得得到根据平行线的性质得到根据角平分线的定义得到平分；小丽同学的解题思路，延长至G，使，连接，根据全等三角形的性质，得到，求得，根据平行线的性质得到， 根据角平分线的定义得到平分； （2）延长到F，使，连接，根据全等三角形的性质得，求得，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）延长至G，使，连接，如图5所示：根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质以及角平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）①小美同学的解题思路，延长至G，使连接，如图： 在和中， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分； ②小丽同学的解题思路，延长至G，使，连接， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分； （2），理由如下：延长到F，使，连接，如图： ∵是的中线，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）延长至G，使，连接，如图： ∵是边上的中线，∴， 在和中，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，在和中， ． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点E在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作：，使，，边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的．此作图过程需先做出一条线段等于线段m的两倍，然后依据______作出． ③在上截取m得的中点D，连接并延长至点C，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰，满足腰，底边BC上的高． 【答案】(1)证明见解析(2)①，；②；③(3)见解析 【分析】（1）由是边上的中线，可知，进而可证； （2）根据全等三角形的判定定理进行作答即可； （3）作延长线到使，根据垂直平分线的性质，分别以为圆心，长为半径画弧，弧的交点即为，连接，则即为所求． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线，∴， ∵，，，∴； （2）解：①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据作出符合条件的；若知道，则可以根据作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出．故答案为：，； ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据作出．故答案为：； ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得，可得． 故答案为：； （3）解：如图，，即为所求； 【点睛】本题考查了中线，垂直平分线的性质，作垂线，全等三角形的判定定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 变式2．（23-24八年级上·福建福州·期中）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：    ①延长到Q，使得；②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），，证明见解析 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）根据可得，即可证明； （3）同（1）可证，得出，，进而可得，推出，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线，， 又，，，， 在中，，，即， ，故答案为：； （2），证明如下：由（1）知，，； （3），，证明如下： 如图，延长至点Q使得，连接，延长交于点P，    同（1）可得，，， ，，，，， ，，， 在和中，，，，， ，，，，， ，，，，综上可得，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形． 变式3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)(3) 证明见解析． 【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论； （3）如图2，过作于 延长交于 证明 可得 再证明 即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到Q，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中， ∴，即， ∴， （2）， 理由是：由（1）知，， ∴， ∴ （3）理由：如图2，过作于 延长交于 ∵是的中线，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴相交所成的角为直角，即 综上： 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论；（2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证；（3）先证明，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，， ∴∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，， ∴，∴，∵，∴； （2）在上取，连接，∵于，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴， ∴，∴，∴， 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又，∴， ∴ ，，，而， ，∴， 又∵，∴，∴ ， 即． 例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分，， 在和中，， ，，， ，， ，，； 方法2：延长到，使，连接， 平分，， 在和中，， ，，， ，， ，，； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下：如图，在上截取，连接， 由（1）知，， ，，， 为等边三角形， ，， ，为等边三角形，，， ，，， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知，，是等边三角形， ，， ，，， ，为等边三角形，，， ，，即， 在和中，， ，， ，； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，，， 在和中，，，，， 在和中，，，， ，． 变式1．（2023·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析． 【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论． 【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB． ∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF． ∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD． ∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD． 在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED． ∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE； （2）猜想：AE=AB+DE+BD． 证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG． ∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE． ∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°， ∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD． ∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键． 变式2．（23-24八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】 如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】 如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    【答案】问题背景：；探索延伸：成立；理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为105海里 【分析】问题背景：延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； 探索延伸：延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； 实际应用：连接，延长、相交于点，根据题意得到，，根据上述的结论计算即可； 【详解】问题背景：解：如图，延长到点．使．连接，则，          在和中，∴，∴， ∵，，∴， ，， 在和中，，，， ，；故答案为：； 探索延伸：成立，即；理由如下：延长到点．使．连接，如图所示： ∵，，∴， 在和中，，，， ，，， 在和中，， ，； 实际应用：连接，延长、相交于点，如图所示： ，， ，， 符合探索延伸中的条件，成立，即(海里)， 此时两舰艇之间的距离为105海里． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了方位角，全等三角形的判定和性质，补角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 【答案】100°/100度 【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 在△BDM和△CDA中， ，∴△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM， ∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°， ∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°， ∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°， ∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 【答案】/ 【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点，∴，在与中，， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，   设，∵， ∴，解得，即．故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______） （______），∴． 【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，延长至点，使，连接，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接， 为中点，（线段中点的定义）， 在和中，，，， ，（两直线平行，同位角相等），， 平分（角平分线的定义）， （等量代换），，∴． 故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换． 4．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析 【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可； （2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证． 【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD， 在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS） ②1＜x＜4， 理由如下： ∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5， ∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x． 由△ACE三边关系得：， 又∵AC＝3，∴， 解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4． （2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． ∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB． 在△CDF与△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG， ∵DE⊥DF，∴．  在△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG． ∴EF＝EG． 在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键． 5．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是（    ）． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA (2)AD的取值范围是（    ）． A．    B．    C．    D． (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【答案】(1)B(2)C(3)见解析 【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可． （1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B； （2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD， ∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C． （3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM． ∵AD是△ABC中线∴CD＝BD ∵在△ADC和△MDB中∴ ∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等） ∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等） ∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角） ∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边） 又∵BM＝AC，∴AC＝BF． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解 【分析】（1）根据旋转的性质可证明，，在中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论； （3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵ ∴∴ 在中根据三角形三边关系可得出：，即 ∴故答案为：； （2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM， 同（1）可得出，∵∴ 在中，∴； （3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN， ∵∴ ∴∴ ∵∴ ∴（SAS）∴ ∴∴． 【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强． 7．（2024·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则． (1)【类比探究】如图②，在中，，，点是的中点，求中线的取值范围； (2)【拓展应用】如图③，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)2＜DG＜5 (2)AD=DC+AB 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，根据SAS可证△DEG≌△MFG，得出MF=3，然后根据三角形三边不等关系定理求出DM取值范围，最后把DM=2DG代入即可求解； （2）延长AE，DC相交于点F，根据ASA可证△ABE≌△FCE，则AB=FC，然后由AE平分∠BAD，ABCD可证∠F=∠DAF，由等角对等边可得AD=DF，最后由线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 又EG=FG，∠EGD=∠FGM， ∴△DEG≌△MFG， ∴DE=MF， 又DE=3， ∴MF=3， 又DF=7， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）延长AE，DC相交于点F， ∵ABCD， ∴∠BAE=∠F， 又BE=CE，∠AEB=∠FEC， ∴△ABE≌△FCE， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， 又FD=CD+DF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识，读懂题意，添加“倍长中线”的辅助线是解题的关键． 8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题． 如图，已知，点D是的中点，延长至点E，使，连接，易得到，从而得到，．    已知，点D是的中点．    (1)如图1，点E在上，延长交于点F，且，求证：；小明同学应用倍长中线的方法，延长至点M，使，连接，请你帮助他写出证明过程． (2)如图2，点E，G在射线上，连接，延长交于点F，若，G为的中点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点M是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点P，连接，当的周长最小时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图所示，延长至点M，使，连接，证明得到，再根据等边对等角和对顶角相等证明，得到，从而可证明； （2）延长至点H，使，连接，证明 ，得到，再证明， 进而证明，即可证明； （3）如图所示，连接交与，连接，由线段垂直平分线的性质得到，由三线合一定理得到垂直平分，，则，故当P点运动到点时，最小，即的周长最小，最小为，此时，则，求出，则 ． 【详解】（1）证明：如图所示，延长至点M，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：延长至点H，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴在和中 ， ∴ ， ∴； （3）解：如图所示，连接交与，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∵且M为的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∵的周长， ∴当P点运动到点时，最小，即的周长最小，最小为， ∴此时， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出解答． （1）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （2）首先得出，即可得出，求出，进而得出答案； （3）作N关于的对称点，根据轴对称的最短路径解答即可． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，、 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作N关于的对称点， 由（2）可知，在上，， 当共线时，最小， 当时，最小， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故的最小值为4． 11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得， 在和中， ， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． （2）结论：． 理由：如图2中，∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接， ∵，∴， ∴，，∴，∴． 延长到，使得，∵， ∴是等边三角形，∴， ∴，∵，∴， ∴，∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 12．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读理解：在数学兴趣小组活动中，小芳同学遇到了如下问题： （1）如图1，已知平面内的3条射线，反向延长，得到图2，若，判断和的数量关系． 经过小组同学们的观察，思考，交流，对上面的问题形成了如下想法：由于和互补，可以通过探究与的关系，从而得到和的数量关系……根据以上分析过程，请写出和的数量关系：_________． （2）将图1中的反向延长，得到图3，若，请写出图中一对相等的角____________； （3）如图4，在中，，点D，点E分别在边上，过点B作的平行线交的延长线于点F．若，请说明； 拓展应用： （4）如图5，在中，，点D为边上一点，连接，．若，，求的长．（用含a的代数式表示） 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、几何图形中角度计算问题， （1）由已知得，再根据平角定义求出结论； （2）由图可知：，再求出即可得出结论； （3）先证进而得出，即可证明结论； （4）延长到点E，使，连接，证明，进而证明即可得到，求出结论即可． 【详解】解：（1），理由如下： 由图可知：，即， ， ， ， ； （2），理由如下： 由图可知：， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）延长到点E，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 点到的距离相等， ， ， 点到的距离相等， ， ， ， ． 14．（23-24七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)FC＝CD+CE 【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论； （2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 15．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可； （2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论． （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可． 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵， ∴， 设，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在的垂直平分线上 ∴． ∴ ∵BD平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 在中， ∴ ∴的最小值是3． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 16．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】见解析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 17．（23-24八年级上·北京·期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE． （1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数； （2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明． 分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…… ②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的． 请根据上述分析过程，完成解答过程． 【答案】（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析 【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出，然后根据轴对称的性质得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由进行求解即可； （2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． 再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE． 【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵， ∴， ∵B、D关于AP对称， ∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴∠AEB＝60°． （2）AE＝BE＋CE． 证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG． ∵∠AEB＝60°， ∴△BGE是等边三角形， ∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°， ∴∠ABG＝∠CBE． 在△ABG和△CBE中， ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键 18．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 【答案】（1）解答过程见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，理解题意做出辅助线是解题的关键． （1）在上截取，可得是的垂直平分线即可求证； （2）在线段上截取，连接，证明即可求证 【详解】证明：（1）在上截取，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）在线段上截取，连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【详解】（1）解：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 20．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． （1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；② 【分析】（1）根据三角形全等可得； （2）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明即可， 方法二：延长CO交BD于点E，证明即可； （3）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明， 方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明； 【详解】（1）O是线段AB的中点 在和中 （2）数量关系依然成立． 证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E． ∵∴ ∴四边形CEFD为矩形∴， 由（1）知，∴，∴． 证明（方法二）：延长CO交BD于点E， ∵，，∴，∴， ∵点O为AB的中点∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． （3）数量关系依然成立．证明（方法一）： 过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E． ∵∴ ∴四边形CEFD为矩形．∴， 由（1）知，∴，∴．10分 证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E， ∵，，∴， ∴，∴点O为AB的中点，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，根据题意找到全等的三角形，证明线段相等，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$