专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 1 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 20 36 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）生活中的数学 (1)用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体边长为，③号正方体边长，则_________cm (2)用10块高度都是的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中于点于点，试判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6.5(2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）利用证明，即可求解；（2）利用证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵①号正方体边长为，③号正方体边长， ∴，，， ∵②号正方形，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：6.5； （2）解：，理由：由题意知：，， ∵，∴，∴，， ∵，，∴， 在和中，∴，∴． 例2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．（1）由可得，结合可推出，由，结合三角形的外角性质可得，即可证明；（2）由（1）可知，根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：，， ，， ，，， 在与中，， ； （2）解：，，， ，． 例3．（2023·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解析；（2）PC⊥PQ，证明见解析；（3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【分析】（1）利用定理证明；（2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系；（3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）△ACP与△BPQ全等， 理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直； （3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ， ∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）； ②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×9， 解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s）， 故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分 类讨论思想的灵活运用是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·重庆·月考）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线，∴， ∵，∴，即， ∵， ∴，∴，， ∴，∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，，∴，∴； （3）解：同理（2）可得，，∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为，∴，， ，∴，∴，∴与的面积之和为8． 例5．（2023·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例6．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴，点C在x轴正半轴， 交y轴于点E．(1)如图1，若点B坐标为，直接写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；(2)如图2， 若点B坐标为，过点B作 交x轴于点D，设的长为d，请用含m的式子表示d；(3)如图3，若点 B为第三象限内任意一点，过点B作 交x轴于点 D，判断和的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)，(2)(3)，证明见解析 【分析】（1）过点 B作轴于点H，证明，可得，即可； （2）过点B作轴于点H，轴于点 G， 连接，则，证明，可得，由（1）得：，， ，然后根据，可得 ，即可求解； （3）在上取，连接，证明，可得，从而得到，过点 B作交y轴于点G，可证明，可得．再根据，可得，即可． 【详解】（1）解：过点 B作轴于点H， 在 中， ，∵，∴， ∵点B坐标为， ∴， 又∵，， ∴，∴， ，∴，； （2）解：过点B作轴于点H，轴于点 G， 连接，则， ∴，∵，∴，∴， ∵点B坐标为，∴，∴，∴， 由（1）得：，∴， ， ， ， ， ，即； （3）解：，证明如下：如图，在上取，连接， ∵，，∵，，∴， ∵， ∴，∴， ∴， ∵，∴，， 过点 B作交y轴于点G，∴， ∴，∴， 又∵， ∴，∴． 又 ∵，  ∴，∴， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形等知识，得到全等三角形是解题的的关键． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点． (1)求证：≌；(2)若，，则的长________． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质， 直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质得出,, 则可得出答案. 【详解】（1）证明: ∵, ∴，,∴, 在和中,，∴； （2）∵,∴, ∵,∴,∴, ∴．故答案为: ． 例2．（2023·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又∴△ABE≌△CAF，∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同则=5 故与的面积之和为5故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)，证明见解析 【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；②由的性质及线段和的关系即可证得结论；（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系． 【详解】（1）如图 ①∵，∴，∴． 又∵，，∴． ②∵，∴，，∴． （2）∵，∴，∴． 又∵，∴， ∴，∴． （3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）． ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键． 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，， ∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； 依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：且 由外角定理可得， 又， ∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ． ，， ，， ， 的面积为，， ， ， ∴ 的面积是 故答案为：， ． 3．（2024八年级上·山东·专题练习）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不会改变，理由见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键． （1）根据题意应用证明即可； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证； （3）根据题意证明，得到，，则问题可证． 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，， ∴，， ∴． 又∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知． ∵， ， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；   理由：∵， ， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即（2）中的数量关系不会改变； 4．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质； （1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 5．（2023春·上海·七年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】[模型呈现]证明：∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图①所示，在中，． (1)若，则_______， ______； (2)过点C在外作直线，于点M，于点N，试说明：； (3)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N，（2）中的结论是否仍然成立? 说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不成立，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质．解题关键是利用角的互余关系推出对应角相等，证明三角形全等． （1）根据垂直得到，利用三角形内角和定理即可得到，再利用平角的定义即可得到； （2）利用角的互余关系证明，故可证，从而有，利用线段的和差关系证明结论； （3）类似于（1）的方法，证明，从而有，进而可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）（1）结论不成立；应该是． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵ ∴． 7．（2023·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系.（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_______________。（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论. 【答案】（1）AE=EF；（2）成立，证明见详解；（3）成立，画图、证明见详解. 【分析】（1）证△AGE≌△EBF即可； （2）在AC上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可； （3）在AC延长线上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可. 【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分别是AC、BC的中点 ∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45° ∵AB⊥BF∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135° ∠AGE=180°－∠CGE=135°∴∠EBF =∠AGE ∵AE⊥EF∴∠AEC＋∠FEB=90° ∵∠CAE＋∠AEC=90°∴∠FEB=∠CAE 在△AGE和△EBF中∴△AGE≌△EBF ∴AE=EF （2）成立；在AC上截取点G使AG=EB， ∵AB=AC，∠C=90°AG=BE∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45° ∵AB⊥BF∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135° ∠AGE=180°－∠CGE=135° ∴∠EBF =∠AGE ∵AE⊥EF∴∠AEC＋∠FEB=90° ∵∠CAE＋∠AEC=90°∴∠FEB=∠CAE 在△AGE和△EBF中∴△AGE≌△EBF∴AE=EF （3）成立，如下图：在AC延长线上截取点G使AG=EB ∵AB=AC，∠C=90°AG=BE∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45° ∵AB⊥BF∴∠EBF=90°－∠CBA=45°∴∠CGE =∠EBF ∵AE⊥EF∴∠AEC＋∠FEB=90° ∵∠CAE＋∠AEC=90°∴∠FEB=∠CAE 在△AGE和△EBF中∴△AGE≌△EBF∴AE=EF 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，读懂材料构造全等三角形是解决此题的关键. 8．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒：    (1)______．（用 的代数式表示） (2)当 为何值时，? (3)当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当秒或秒时和全等 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据题意写出表达式即可； （2）根据题意得出当时，，据此计算出即可； （3）分情况根据三角形全等得出的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，， ， 在和中， ， ； ∴， （3）解：①当，时，， ， ， ， 即， 解得； ②当，时，， ， ， ， 解得， ， 即， 解得； 综上所述，当秒或秒时和全等． 9．（2022·河南商丘市·九年级期末）如图（1），已知中，，；是过的一条直线，且，在的异侧，于，于．（1）求证：；（2）若直线绕点旋转到图（2）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线绕点旋转到图（3）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线在不同位置时与，的位置关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；（4）当，在的同测时，；当，在的异侧时，若，则，若，则 【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论； （2）由题中条件同样可得出△BAD≌△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系； （3）同（2）的方法即可得出结论．（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE 在△ABD与△ACE中 ∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC，∴BD=DE+CE （2）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE 在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC∴BD=DE-CE， （3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°， 又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC， 在△ABD与△CAE中，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE=BD+CE，∴BD=DE-CE． （4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE. 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10.（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图： (1)如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； (2)如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； (3)如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)与的面积之和等于 【分析】（1）由同角的余角相等证，进而即可证明（）； （2）根据三角形的外角性质证，，进而即可证明（）； （3）过点作于，由，得，进而得，由（）知，，则，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）； （2）证明：∵，， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴（）； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴ 由（）知，， ∴， ∴， 即：与的面积之和等于． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，同角的余角相等，垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 11．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1 【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可； （2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，从而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，从而得到EI=IG，即可求证； （3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，从而得到DP=EQ，然后根据两平行线间的距离，可得AP=BC，进而得到PD=1，即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°， 又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD， 在△AEC和△CDB中，∴△AEC≌△CDB（AAS）； （2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N， 由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN， 在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中点； （3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD， ∵ED=CD-CE，∴ED=EA－BD ；故答案为：ED=EA－BD ②如图，过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q， 根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ， 直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP， ∵BC=3，∴AP=BC=3，∵AD=2，∴DP=AP-AD=1，∴EQ=1， ∴△ADE的面积为．故答案为：1 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，平行间的距离，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，平行间的距离，并利用类比思想解答是解题的关键． 12．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （2）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （3）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 13．（2022秋·八年级课时练习）在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，______°； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）50；（2）=5时，，理由见详解；（3）当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形 【分析】（1）先求出∠B=30°，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴∠B=（180°-120°）÷2=30°， ∵， ∴180°-100°-30°=50°， 故答案是：50； （2）当AP＝5时，， 理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝30°， 又∵∠APC是△BPC的一个外角， ∴∠APC＝∠B＋＝30°＋， ∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD， ∴＝∠APD， 又∵AP＝BC＝5， ∴； （3）△PCD的形状可以是等腰三角形， 则∠PCD＝120°−α，∠CPD＝30°， PC＝PD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝（180°−30°）÷2＝75°，即120°−α＝75°， ∴α＝45°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°−α＝30°， ∴α＝90°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°−2×30°＝120°， 即120°−α＝120°， ∴α＝0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 14．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）（1）探索发现： 如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．    （2）阅读分析： 小明遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系． 小明利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．图2中的、、三条线段之间的数量关系为 ，并说明理由．    （3）类比探究： 如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且．    ①全等的两个三角形为 ，并说明理由． ②若，的面积为3，直接写出的面积： ． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）①，理由见解析；②6 【分析】本题考查了同高三角形的面积，全等三角形的判定和性质． （1）作于H．则，即可得出结论； （2）通过证明，得出，，即可得出结论； （3）①根据，得出，再推出，即可求证；②根据，得出，则，进而得出，，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1中，作于H．    ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2中，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）①，理由如下： 如图3，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．（2023春·绵阳市·八年级专题练习）如图，线段AB=6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）， （1）求证：△AEP≌△CEP； （2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由； （3）△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）是，为16． 【分析】（1）根据正方形的性质得到DP平分∠APC，PC=PA，求得∠APD=∠CPD=45°，根据全等三角形的判定定理得到△AEP≌△CEP（SAS）； （2）根据全等三角形的性质得到∠EAP=∠ECP，求得∠BAP=∠FCP，根据垂直的定义得到CF⊥AB； （3）过点C作CN⊥PB．根据平行线的性质得到∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB，根据全等三角形的性质得到CN=PB=BF，PN=AB，推出AE=CE，于是得到△AEF的周长． 【详解】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形， ∴DP平分∠APC，PC=PA，∠APC=90°， ∴∠APE=∠CPE=45°， 在△AEP与△CEP中， ， ∴△AEP≌△CEP（SAS）； （2）CF⊥AB，理由如下： ∵△AEP≌△CEP， ∴∠EAP=∠ECP， ∵∠EAP=∠BAP， ∴∠BAP=∠FCP， ∵∠APC=90°， ∴∠FCP+∠CMP=90°， ∵∠AMF=∠CMP， ∴∠AMF+∠PAB=90°， ∴∠AFM=90°， ∴CF⊥AB； （3）过点C作CN⊥PB． ∵CF⊥AB，BG⊥AB， ∴∠PNC=∠B=90°，FC∥BN， ∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB， 又AP=CP， ∴△PCN≌△APB（AAS）， ∴CN=PB=BF，PN=AB， ∵△AEP≌△CEP， ∴AE=CE， ∴△AEF的周长=AE+EF+AF =CE+EF+AF =BN+AF =PN+PB+AF =AB+CN+AF =AB+BF+AF =2AB =16． 故△AEF的周长是否为定值，为16． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，其中（3）中证明△PCN≌△APB（AAS）是本题的关键． 16．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)如图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高． （1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到． 【详解】（1）证明： 中，， ， 又直线经过点，且于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）如图3， 中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 、、之间的关系为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 1 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 20 36 【知识储备】 1.“一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 例1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）生活中的数学 (1)用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体边长为，③号正方体边长，则_________cm (2)用10块高度都是的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中于点于点，试判断的数量关系，并说明理由． 例2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 例3．（2023·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 例4．（23-24八年级上·重庆·月考）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和． 例5．（2023·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 例6．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴，点C在x轴正半轴， 交y轴于点E．(1)如图1，若点B坐标为，直接写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；(2)如图2， 若点B坐标为，过点B作 交x轴于点D，设的长为d，请用含m的式子表示d；(3)如图3，若点 B为第三象限内任意一点，过点B作 交x轴于点 D，判断和的数量关系，并给出证明． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点．(1)求证：≌；(2)若，，则的长________． 例2．（2023·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 3．（2024八年级上·山东·专题练习）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 4．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状． 5．（2023春·上海·七年级专题练习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图①所示，在中，． (1)若，则_______， ______； (2)过点C在外作直线，于点M，于点N，试说明：； (3)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N，（2）中的结论是否仍然成立? 说明理由． 7．（2023·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系.（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_______________。（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论. 8．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形 中，，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点运动，设点的运动时间为秒：    (1)______．（用 的代数式表示） (2)当 为何值时，? (3)当点 从点开始运动，同时，点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，是否存在这样 的值，使得 与 全等？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 9．（2022·河南商丘市·九年级期末）如图（1），已知中，，；是过的一条直线，且，在的异侧，于，于．（1）求证：；（2）若直线绕点旋转到图（2）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线绕点旋转到图（3）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线在不同位置时与，的位置关系． 10.（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图： (1)如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； (2)如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； (3)如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和． 11．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． 12．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 13．（2022秋·八年级课时练习）在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，______°；（2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 14．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）（1）探索发现： 如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．    （2）阅读分析：小明遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系． 小明利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．图2中的、、三条线段之间的数量关系为 ，并说明理由． （3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且． ①全等的两个三角形为 ，并说明理由．②若，的面积为3，直接写出的面积： ．       15．（2023春·绵阳市·八年级专题练习）如图，线段AB=6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）， （1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由； （3）△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 16．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)如图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$