专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 21 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为4，那么的面积为 ． 例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． (1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________．    例3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是 ． 例4．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．(1)求的值；(2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明．    例5.（2024.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD． 例6．（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          例7．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 1．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 2．（2024·安徽宿州·一模）如图，若△ABC内一点P，满足，①若，则必有；②若，则必有PC对于这两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②均对 D．①，②均错 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为(    ) A． B． C． D． 4．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 6．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    7．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形中，点E、G分别为边、上一点，连接、．若，， ，则的长    8．（2023·山西晋城·九年级统考期末）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为9，则的面积为 ．    9．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1)求证：；(2)若，求证：． 12．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，且． (1)求证：；(2)如果，求证：．    13．（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点、分别在，上，且，、相交于点，求证：(1)；(2)． 14．（2024·四川南充·二模）在矩形中，，在边上截取，使，点为的中点．如图1，连接并延长交于点，连接交于点． (1)求证：；(2)若，证明． (3)如图2，若，连接，当取最小值时，求的最小值及矩形的面积． 15．（2024·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 16．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维． 【设置情景】王老师给出了如下几何图形： “如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．” 【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答． （1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）； （2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答． 【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明． 17．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践 问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．          探究发现：如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 18．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 21 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为4，那么的面积为 ． 【答案】16 【分析】通过证明，得到相似比，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，，∴， ∴，则相似比为，∴， ∵的面积为4，∴的面积为16，故答案为：16． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．    (1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）设，则，根据黄金分割的含义可得：，即，再解方程即可；（2）证明，推出，推出，可得结论． （3）如图，连接，同理可得：，，可得，证明，，，可得是的黄金分割点，且，可得，设，再解方程可得答案. 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点，， 设，则，∴，即， ∴，∴，解得：（负根舍去），∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴，， 即， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴D点是的黄金分割点． （3）如图，连接，同理可得：，， ∴，∵为的中点，，∴，∴，    ∴，，∴， 同理可得是的黄金分割点，且， ∴，设，∴，整理得：， 解得：（负根舍去），∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，黄金分割点的含义，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法,熟记黄金分割的含义是解本题的关键. 例3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及三角形全等，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．先判定，求出的值，再求，最后利用列式求解即可． 【详解】解：正方形中，，，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，∴，， ∵为中点，∴，∴， ∴， ∵，，∴， ∴，即，解得：，故答案为：． 例4．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值；(2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)；(2)．见解析 【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值； （2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系． 【详解】（1）解：，，， 又，，，即， 点为的中点，，，，， 设，，在中，，， 由勾股定理得：，， 在中，，，由勾股定理得：，； （2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：   ，，为等腰直角三角形，，， ，，， 设，由（1）可知：，，， ，， 在中，，，则， 由勾股定理得：，在中，， 由勾股定理得：，，， ，，， 又，，， 即，， ，，． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 例5.（2024.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD． 证明：（1）∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； （2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴， ∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD， ∴，∴CD2＝AC•BD． 例6．（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（2）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（3）根据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得：，∴； （3）过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例7．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 【答案】(1)，(2)①相似，见解析；；②， 【分析】（1）证明，推出，同法可证，推出，从而，即可解决问题； （2）①由是等腰直角三角形，，即可得，而，故，得到，即可得解；②过作交的延长线于，设，由，知是等腰直角三角形，即得，而，即可得，，，故，，，可得，即可求出． 【详解】（1）解：如图： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）①如图：是等腰直角三角形，，，， ，，即， ，，∴，； ②过作交的延长线于，如图： 设．， 而，是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去），． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积，添加辅助线． 1．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意，故选：B． 2．（2024·安徽宿州·一模）如图，若△ABC内一点P，满足，①若，则必有；②若，则必有PC对于这两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②均对 D．①，②均错 【答案】C 【分析】由直角三角形的性质可判断①，通过证明△ABP∽△BCP，可判断②． 【详解】解：若∠BAC＝90°，∴∠BAP＋∠PAC＝90°，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α， ∴∠PAC＋∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°故①对， 若AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α， ∴∠ABP＝∠BCP，且∠BAP＝∠PBC，∴△ABP∽△BCP ∴，即 PC故②对，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用三角形中的布洛卡点的定义是本题的关键． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，连接，交于，作平分，交于，由矩形性质得，，进而得，，得到，，即得，得到，由平分，可得，得到，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，交于，作平分，交于， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，则，∴，解得，，故选：． 4．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求证，，，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得中，，中，，于是，从而可得出结论． 【详解】解：∵，，∴∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∵，，∴ 又∴∴∴，故B正确，不符合题意； 中，，中，， ∴，故D正确，不符合题意． ∵，∴∴ ∵，故C错误，符合题意；故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而，∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由，得，又∵，∴，故③正确， ④由，得到，不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误，故答案为：①③． 6．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①③④ 【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可． 【详解】解：①∵正五边形， ∴，， ∴， ∴，∴平分；正确； ②∵，，∴，∴， ∵，∴，即，故②错误； ③∵，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形；正确； ④∵，，∴，∴， ∴，即，正确；故答案为：①③④． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 7．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形中，点E、G分别为边、上一点，连接、．若，， ，则的长    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、相交于F，先根据求得，，从而求得，再证明，，得到，即可求得，，然后证明，得到，即可求得，，即可由求解． 【详解】解：延长、相交于F，如图，    ∵，∴，∴， ∵菱形，∴，， ∴， ∴，即，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，解得：或（舍去）， ∴，∴，故答案为∶ ． 8．（2023·山西晋城·九年级统考期末）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为9，则的面积为 ．    【答案】3 【分析】首先证明，得，从而，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，，的面积为9，，故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 9．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴，∴，∴ 又∵∴， （2）∵∴，又∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是上一点，且，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”这一判定定理证明相似，再根据相似三角形性质证明即可． 【详解】证明：∵，，，∴， ∴，∴，∵，∴，∴． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1)求证：；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出是解题的关键．（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，等量代换得出，结合平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定即可得解；（2）根据等腰三角形的性质得出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的中点，，， 又，， ，，，； （2）如图，连接， ∵是的中点，，， ，，，由（1）知，， ，，， ∵是的中点，，，． 12．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：；(2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出； （2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴，∵，∴； （2）证明：∵，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，即． 13．（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点、分别在，上，且，、相交于点，求证：(1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由题意易得，然后可得； （2）由（1）可得，然后可得，最后问题可求证． 【详解】（1）∵是等边三角形，∴， ∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴，即． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2024·四川南充·二模）在矩形中，，在边上截取，使，点为的中点．如图1，连接并延长交于点，连接交于点． (1)求证：；(2)若，证明． (3)如图2，若，连接，当取最小值时，求的最小值及矩形的面积． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)的最小值为，此时矩形的面积为 【分析】（1）证明，即可证明；（2）根据可得，结合，且，可得，即有，证明，即有，即，，根据，可得，问题随之得证；（3）在中，，根据，可得，当且仅当时，，此时有最小值，最小值为，在的条件下，结合勾股定理即可作答． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，∴，， ∵点为的中点，∴，∴，∴， ∵，，∴； （2）证明：∵，，∴， ∴在中，，在（1）中已经证明，且， ∴，∴，， ∴，∴， ∵，∴，∴，即，， ∵，∴， ∴，即； （3）解：在中，，∵，∴， 当且仅当时，，此时有最小值，最小值为 ∵，，∴，即， ∵在中，，，∴，解得，（负值舍去）， ∴，，∴，即的最小值为：， 此时矩形的面积为：， 即：的最小值为，此时矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，问题的难点在（3），得出，当且仅当时，，此时有最小值，最小值为，是解答本题的关键． 15．（2024·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C （2）是的角平分线，，，． 又，与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，．综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解． 16．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维． 【设置情景】王老师给出了如下几何图形： “如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．” 【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答． （1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）； （2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答． 【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）[拓展探索] 【分析】（1）作，，过P作交延长线于H，分别证明和得到，，，进而求得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质得到，，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）延长到P，使，连接，在取一点H，连接，使，根据等腰三角形的性质得到，，进而利用三角形的外角性质结合已知分别得到，，先证明得到，，再证明，推导出，，由得，进而可求解． 【详解】解：（1）如图，作，，过P作交延长线于H， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴， 在中，，∴，则， 在中，，∴，∴； （2）[拓展探索]． 证明：如图，延长到P，使，连接，在取一点H，连接，使， ∴，，∵，又， ∴，∴，则， 设，则， ∵，又， ∴，又，∴，∴，又， ∴，∴，， ∵，即，∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活设参数以及添加合适的辅助线构造全等三角形和等腰三角形求解是解答的关键． 17．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．    探究发现：如图1，在中，，．    （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．    【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用： 【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可；（2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，；故答案为：； （2）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，整理，得：， 解得：（负值已舍掉）；经检验是原分式方程的解．∴； 拓展应用：如图，连接，延长至点，使，连接，    ∵在菱形中，，，∴， ∴， ∴，∴，∴为黄金三角形， ∴，∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 18．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． （1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，，，， ，，，， ，，，点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”，或， 当时，，， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，，， ，， ②，，有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图：是的“理想点”，， 又，，，即，， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$