专题06 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题06 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 16 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 33 44 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 例2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，是的两条高． (1)求证：；(2)连接，求证：． 例3.（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 例4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，四边形是内接正方形，，高，则内接正方形边长 ．    变式1．（2024·江苏扬州·二模）如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为 ． 变式2．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 例2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．    例3.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 例4.（2024.山东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值． 变式1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，为的三等分点，且，连接，为的中点，连接并延长，与交于点，若，则线段的长是 ． 变式2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积； (2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积    模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（2023•北京一模）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，则当S△ADE＝1时，四边形DBCE的面积是 　 　． 例2．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．    例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：； 小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．    变式1．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A． B． C． D． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴， ∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ， ∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 1．（2024·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 2. （2021·山东淄博·中考真题）如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 3.（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，中，是它的角平分线，是上的一点，交于点，交于点为的中点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，，，，则对角线与的长分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 5．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在上取D，E两处，使得，并作一条骨架．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（　　）（参考数据：）    A．41 B．57 C．82 D．143 6．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，已知四边形为矩形，点E在的延长线上，．连接，于点G．若交于点F，，则的长度是（    ）    A． B． C．6 D． 7．（23-24八年级下·上海·期末）如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 8．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 9．（2023·四川成都·二模）如图，已知，，为中点，边上的一点，与交于点，若，则 ． 10．（2024·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线与的延长线交于点，与交于点，若，则的长为 ．    11．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，与相交于O，则 ．    12．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______． 13.（2023·安徽·九年级期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 14．（2023·江苏·九年级中考模拟）在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 15．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1)若，求线段AD的长．(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 16．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；（2）若，求的长． 17．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）实践与探究：如图1，在中，，，．点P是边上的动点（不与A，C重合），过点P作交于点M，于点N．(1)求边上的高的长；(2)当时，求的长；(3)连接（如图2），是否存在点P使得与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 18．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．    (1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接．设，若，求四边形的面积． 19．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题． 例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点． 【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．       （1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．求证：①是的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 16 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 33 44 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．首先解得的值，再结合，由求解即可． 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故答案为：． 例2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，是的两条高． (1)求证：；(2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据，可得，可证得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵是的两条高， ∴， 又， ∴，∴，即； （2）证明：由（1）得：，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 例3.（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】(1)证明见详解(2)(3) 【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． (1)解：∵，∴， ∴，∴．∵，∴． (2)解：由（1）得，∵，∴． ∵，∴．∵，∴．∴． (3)解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵，∴由（1）得， ∵，∴，∴． ∵，∴，∴． ∵平分，∴， ∴． ∴．在中，． ∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 例4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，四边形是内接正方形，，高，则内接正方形边长 ．    【答案】 【分析】先设正方形的边长等于，利用正方形性质得出，再利用平行线分线段成比例得出，，之后根据相似三角形对应线段成比例进一步计算即可. 【详解】解：解：如图所示，设交于点，设正方形的边长等于，    ∵四边形是正方形，∴，∴，， ∴，，∴，∵，高，则， ∴，∴．即．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质和正方形性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 变式1．（2024·江苏扬州·二模）如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据四边形为正方形，，得到，，，由，，得到，证明，得到，求得，为中点，又，得，，即得解． 【详解】解： 四边形为正方形， ，，， ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ，解得， ，为中点， 又， ， ， ．故答案为：． 变式2．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点M作于D，由折叠的性质可得， ∵，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：C． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据菱形的性质，勾股定理求得，进而证明得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，，，∴， ∵为边的中点，∴，∵，∴ ∴∴，则， 在中，，∴故答案为：． 例2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】通过导角证明，过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，，证明，得出，设，，依次证明，，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：，，又，， ，，，， 如图，过点D作于点F，，，，    在和中，，，． ，，．，，， ，，设，， ，，，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，，故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是通过导角证明． 例3.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)证明△OAB∽△ODC，可得出结论； (2) 证得AB//CD，可得，则可得结果 . 【详解】证明：（1）．， ． （2） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键． 例4.（2024.山东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】解：（1）∵，∴． 又∵．∴． （2）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，．∴，． 又∵点是中点，∴． 由（1）知，∴，∴． 又∵，∴． 变式1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，为的三等分点，且，连接，为的中点，连接并延长，与交于点，若，则线段的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键．过点作，交于，可推出，结合为的中点可得，即，然后易证，结合为的三等分点可得，从而得到，最后利用，得到即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，交于， ，，， 为的中点，，，， 为的三等分点，且，， ，，，，， ，，，即．故答案为：3． 变式2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积； (2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积    【答案】(1)(2)是定值；是定值；详见解析(3)①；② 【分析】（1）连接，可证，可推出，即可求解； （2）由（1）中结论即可求解； （3）①证即可求解；②根据求出即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接    由题意可知：为的中位线∴∴ ∴ 由题意得：∴∴ ，； （2）解：由（1）同理可得，是定值； ∵∴故点到的距离和点到的距离之比也为 的底相等 故，是定值； （3）解：四边形ABCD是正方形，，，，， 为CD的中点，，，，，即； ，且，，，， ，，正方形ABCD的面积为：． 【点睛】本题以三角形重心为背景，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．掌握相关结论是解题关键． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（2023•北京一模）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，则当S△ADE＝1时，四边形DBCE的面积是 　 　． 【分析】由题意可得出，由相似三角形的性质可得出答案． 【解答】解：∵S△DOE：S△EOC＝1：3，∴＝， ∵DE∥BC，∴△ODE∽△OCB，∴， ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴， ∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9，∴四边形DBCE的面积＝S△ABC﹣S△ADE＝9﹣1＝8． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 例2．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．    【答案】 【分析】先证明，再根据相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练则知识点是解题的关键． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得； （3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 变式1．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，作交于点F，作交于点G，设，则，，设，则，根据平行线分线段成比例定理，推导出与之间的数量关系，即可求解． 【详解】解：作交于点F，作交于点G， ，设，则，，同理，设，则， ，∴，，，， ，则，，则， ，，，， ，，，， ， ，，故选D． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴， ∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ， ∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 【答案】(1)①②(2)20(3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案； （2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可； （3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵，，∴ 又∵，∴，∴，即， 同理可得，∴，即，∴， ∴，∴，即．故答案为：①；②； （2）由（1）可知，，， 当，，时，可得，解得， ∴可有，解得，即物体所成的像的高度为．故答案为：20； （3）如下图，设与交于点，根据题意，， ∵，∴， ∴四边形为矩形，∴， ∵，，∴， ∴，即，由（1）可知，，∴， ∴，∴，即，∴， ∵，∴， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点． 1．（2024·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，，则． 【详解】∵平行四边形ABCD∴，AD=BC ∵E为边AD的中点∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题． 2. （2021·山东淄博·中考真题）如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，∴，， ∴，，∴， ∵，∴，即；故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3.（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，中，是它的角平分线，是上的一点，交于点，交于点为的中点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知是等腰三角形，再根据相似三角形的判定与性质可知，进而解答即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵是的角平分线，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴设，，∴， ∵是的中点，∴，∴， 过作，垂足为，∴，， ∴，故选：．    【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，中点的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，，，，则对角线与的长分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过点B作交于点O，证明，可求得，，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长． 【详解】过点B作交于点O，如图所示：      ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴．∵，∴，∴． ∵，，∵，∴，∴． 在中，，即，解得：，∴． ∵，，∴，∴，∴．故选D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度． 5．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在上取D，E两处，使得，并作一条骨架．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（　　）（参考数据：）    A．41 B．57 C．82 D．143 【答案】C 【分析】设与交于点，连接，交于点，根据已知易证，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：设与交于点，连接，交于点，    ，，，，， ，，，， ，，，， 在中，，， ，，两点间的距离大约是，故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，已知四边形为矩形，点E在的延长线上，．连接，于点G．若交于点F，，则的长度是（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：，∴， ∵，，∴， ∵四边形为矩形，∴，， ∵，∴∴， ∵，∴∴， 设，∴，解得：，负值舍去，故选：A． 【点睛】题目主要考查全等三角形及相似三角形的判定和性质，矩形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 7．（23-24八年级下·上海·期末）如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关的知识．根据题意得出，，进而得到，设和的高为，，根据相似三角形的性质可得，进而得到，，，即可求解． 【详解】解：在梯形中，，点、分别是、的中点，，， ，，，设和的高为，， ，，，， ，，故答案为：． 8．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，， ，，．故答案为：10． 9．（2023·四川成都·二模）如图，已知，，为中点，边上的一点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，，延长交于，过作于，由为中点，，可得四边形是平行四边形，有，从而可得，证明，知，设，，证明，有，故，可得，即得，有，从而可得． 【详解】解：延长到，使，连接，，延长交于，过作于，如图： 为中点，，四边形是平行四边形，， ，，，，， ，，，， 设，，，， ，，，， ，，，，， ，，，．故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 10．（2024·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线与的延长线交于点，与交于点，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】如图所示，取中点H，连接，先求出，再由线段垂直平分线的性质得到，点D为中点，证明得到，则，再由三角形中位线定理得到，进而证明，得到，利用勾股定理可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，连接， ∵，∴，∴， ∵垂直平分线段，∴，点D为中点， 又∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵点H为中点，点D为中点，∴为 中位线，∴， ∴，∴，∴， ∴，故答案为：．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 11．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，与相交于O，则 ．    【答案】 【分析】如图所示，延长交各格线于点D，证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，延长交网格线于点D，由网格的特点可知点E在格点处， ∵，∴，∴，故答案为：．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 12．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______． 【答案】1∶3 【分析】先设四边形和四边形的边长为x，然后根据AEM∽ABC可得，进而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分别求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴设四边形和四边形的边长为x， 则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x， ∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x， ∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得：x＝2.5， ∴AP＝2.5，EM＝5，∴S△AEM＝＝， 又∵S△ABC＝＝25， ∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝25－＝， ∴S△AEM∶S四边形BCME＝∶＝1∶3，故答案为：1∶3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 13.（2023·安徽·九年级期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴， ∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC， ∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（2023·江苏·九年级中考模拟）在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 【答案】 【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可． 【详解】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴，∴，∴， 整理得：，∵点D在AB上，，∴，， ∴抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为， 当和时，均有，综上分析，的取值范围是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键． 15．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1)若，求线段AD的长．(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． (1)∵四边形BFED是平行四边形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； (2)∵四边形BFED是平行四边形，∴，，DE=BF， ∴，∴∴， ∵，DE=BF，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 16．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）或 【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得； ②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值． （2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可． ②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可． 【详解】（1）①由，得． 由，得． 因为是斜边上的中线，所以．所以． 所以．所以． ②若，那么在中，由．可得． 作于H．设，那么． 在中，，所以． 所以．所以． （2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得， 所以四边形是平行四边形．又因为，所以四边形是矩形， 设，已知，所以．已知，所以． 在和中，根据，列方程． 解得，或（ 舍去负值）． ②如图6，当点E在上时，设，已知，所以． 设，已知，那么． 一方面，由，得，所以，所以， 另一方面，由是公共角，得． 所以，所以． 等量代换，得．由，得． 将代入，整理，得． 解得，或（舍去负值）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键． 17．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）实践与探究： 如图1，在中，，，．点P是边上的动点（不与A，C重合），过点P作交于点M，于点N． (1)求边上的高的长；(2)当时，求的长；(3)连接（如图2），是否存在点P使得与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为(2)的长为(3)存在，的长为或 【分析】（1）由勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，根据，即，计算求解即可； （2）设，证明，则，即，解得，证明，则，即，解得，由，可得，计算求解即可； （3）设，由题意知，分与，两种情况求解：①当，则，证明，，由题意知，，则，即，解得，则，由，可得，即，解得，则，计算求解即可；②当，则，证明四边形是平行四边形，则，由题意知，，则，即，解得，则，由，可得，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，即，∴是直角三角形，且， ∴，即，解得，∴的长为； （2）解：设， ∵，∴，∴，即，解得， ∵，，∴，∴，即，解得， ∵，∴，解得，∴的长为； （3）解：设，由题意知，分与，两种情况求解： ①当，则， ∵，∴，∴，，由题意知，， ∴，即，解得，则， ∵，∴，即，解得， ∴，解得，∴的长为； ②当，则， ∵，∴，∴， ∴四边形是平行四边形，∴，由题意知，， ∴，即，解得，则， ∵，∴，即，解得， ∴，解得，∴的长为；综上所述，存在，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．    (1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接．设，若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析(2)①成立，理由见解析② 【分析】（1）过点作，交于点，易得，证明，得到，即可得出结论．（2）①过点作，交的延长线于点，易得，证明，得到，即可得出结论；②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，根据已知条件推出，得到，证明，得到，求出的长，利用四边形的面积为进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形，∴， 过点作，交于点，    ∴，， ∴为等边三角形，∴， ∵，，∴，， 又，∴，∴，∴； （2）①成立，理由如下：∵是等边三角形，∴， 过点作，交的延长线于点，       ∴，， ∴为等边三角形，∴， ∵，，∴，， 又，∴，∴，∴； ②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，由①知：为等边三角形，，， ∵为等边三角形，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，，∴，∴， ∴，设，则：，，∴， ∵，∴，∴，即：②， 联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴， ∴四边形的面积为 ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形． 19．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题． 例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点． 【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．       （1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．求证：①是的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________； 【答案】（1）①见解析②（2） 【分析】（1）①过点作交于点，证明，得出即可； ②由等腰直角三角形的性质得出，由平行线得出，证出，由全等三角形的性质得出，即可得出结论；（2）作 交于点，由三角函数证出，得出，证，得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果． 【详解】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：       四边形是正方形，，， ，，， ，，，，， 在和中，，，，是的中点； ②在中，，，是等腰直角三角形，，， ，，， ，，，即． （2）解：和之间的数量关系为：；理由如下： 过点作 交于点，如图2所示： 四边形是矩形，，，， 在和中，，， ，，，， ，，， 在和中，，，，， 设，则，在中，， ，，即， ，，， ，，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$