九年级上学期期中押题卷（浙教版九上1～3章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

期中押题卷 考试范围：浙教版1-3章 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 5．（2023九年级上·浙江·专题练习）某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（　　） 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780 击中靶心的频率 A． B． C． D． 6．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的直径，半径弦于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线为 ． 12．（2024·浙江·模拟预测）一个不透明的袋子中只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外都相同，现从袋子中随机摸出一个球，则摸出的球恰好是红球的概率为 ． 13．（2024·浙江杭州·一模）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．则图2中的阴影部分的面积为 （结果保留π） 14．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数（a为常数，且），当时，对于任意一个m的值，都有，则m的取值范围为 ． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 三、解答题(本大题共8小题,共66分) 17．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数． (1)写出顶点坐标，对称轴； (2)直接写出当时，x的取值范围． 18．（2024·浙江杭州·二模）某学校给初一全体学生开设了，，，四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． (2)依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ (3)现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分． 小亮的作法如下： 如图， （1）连接；（2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分． (1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）． (2)找出圆的心（保留作图痕迹）． 20．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃（墙足够长，篱笆要全部用完）． (1)问为多少米时，矩形的面积为48平方米？ (2)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）某商店销售进价为40元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表： 时间（天） 售价（元/件） 80 每天销量（件） 设销售商品的每天利润为元． (1)求出与的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠元给贫困地区，在销售的前30天内该商店当日最大利润为2312元，直接写出的值______． 23．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·开学考试）如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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4．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D，      由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 5．（2023九年级上·浙江·专题练习）某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（　　） 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780 击中靶心的频率 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用频率估计概率求解即可； 【详解】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键 6．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可以得到，故选项A不符合题意； ∵是的直径， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴, 故选项C不符合题意； ∵无法证明， ∴选项D符合题意． 7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的直径，半径弦于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，连接，设圆的半径是，由勾股定理得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可得到． 【详解】连接， 设圆的半径是， ， 弦于点， ， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ． 故选：B． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 9．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，有圆周角定理得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，证明是等边三角形，得出，最后再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． ①根据的解集，找到函数图象与轴的交点，将两个交点代入函数表达式，求得的值；②判断函数图象与轴的交点个数应判断的正负性，根据，计算，因为，所以图象与轴始终有两个交点；③将代入函数表达式，整理表达式可得，当时，并不能确定函数的正负性，所以并不符合题意；④将已知点代入函数表达式，求得函数表达式，将代入，可以发现此时，所以并不符合题意． 【详解】解：①若的解集是，则抛物线的开口应向下，且与轴的交点为， ∴函数可写作：， ∴即， ∴解得：；故①符合题意； ②若，则， ， ∴二次函数的图象与轴始终有2个交点，故②符合题意； ③若，则函数表达式为：， 整理可得：， 当时，不能确定正负号，故③不符合题意； ④将代入函数表达式，即 ，解得：， 即函数表达式为：， 将代入，解得：，故④不符合题意； 综上所述：符合题意的是：①②； 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则：“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位后的解析式为，再向下平移3个单位得到抛物线解析式为， 故答案为：． 12．（2024·浙江·模拟预测）一个不透明的袋子中只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外都相同，现从袋子中随机摸出一个球，则摸出的球恰好是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可．本题考查了概率公式．掌握概率所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键． 【详解】解：从袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故答案为：． 13．（2024·浙江杭州·一模）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．则图2中的阴影部分的面积为 （结果保留π） 【答案】7π 【分析】根据计算即可；本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 【详解】解： 故答案为：． 14．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据新定义得出二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数（a为常数，且），当时，对于任意一个m的值，都有，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，对于任意一个m的值，都有，得出，解不等式组即可． 【详解】解：二次次函数的对称轴为：直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，距离对称轴越远的点，函数值越大， ∵当时，对于任意一个m的值，都有， ∴，当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数， ∴此时二次函数的最小值是， 当时，对于任意一个m的值，都有， ∴在时，函数必须取到最小值， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，含的直角三角形的性质，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦”． （1）由E是的中点，，可得，，可得，，即可得的度数； （2）由于直径，根据垂径定理，可以得到所以，又平分，所以，可以证明，所以，由（1）可得，，所以； 【详解】解：E是的中点，， ，， 在中：， ， ， 的度数为∶． 故答案为：． （2）连接如图 直径， 平分， 由（1）得， ， 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题,共66分) 17．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数． (1)写出顶点坐标，对称轴； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次函数的顶点式是解本题的关键； （1）利用配方法把化为顶点式，根据直接写出抛物线的顶点坐标与对称轴即可； （2）先令，解方程，得出抛物线与x轴的交点坐标；根据抛物线的开口向上以及与x轴的交点坐标，从而得出时，自变量的取值范围即． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵， ∴当时，则， ∴或， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，． 18．（2024·浙江杭州·二模）某学校给初一全体学生开设了，，，四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． (2)依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ (3)现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 【答案】(1) (2)48人 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用列表或树状图法求概率，解题的关键是数形结合，熟练掌握统计图的特点，根据题意画出树状图． （1）先求出喜欢A的人数，然后求出喜欢C的人数，再用乘以C所占的百分比即可求解； （2）用总人数乘以D所占的百分比估计总体即可； （3）先画出树状图，然后再利用概率的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：喜欢课程的人数为（人）， 喜欢C课程的人数为（人）， ∴． （2）解：（人）， ∴最喜欢D课程的人数约为48人． （3）解：画树状图如图， ∵共有12种等可能的结果，其中甲、乙被选到的结果有2种， ∴甲、乙被选到的概率为． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分． 小亮的作法如下： 如图， （1）连接；（2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分． (1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）． (2)找出圆的心（保留作图痕迹）． 【答案】(1)不正确，正确作图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置： （1）利用垂径定理即可判断小亮的作法是否正确；先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点； （2）在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置． 【详解】（1）解：小亮作法错误，理由： 直线，平分的是线段，，但，不是，对应的圆上的弦，所以作法错误； 正确作法如下，先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点； （2）解：在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置． 20．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃（墙足够长，篱笆要全部用完）． (1)问为多少米时，矩形的面积为48平方米？ (2)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积． 【答案】(1)3或4 (2)40平方米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． （1）根据为，就为，利用长方形的面积公式，列出方程，解方程即可； （2）设花圃的面积为S平方米，根据长方形的面积公式列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：为3米或4米时，矩形的面积为48平方米； （2）解：设花圃的面积为S平方米， 则， ∵， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为40， 答：围成花圃的最大面积为40平方米， 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． (1)若点E是弧中点，求的长． (2)若，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质： （1）连接，，由圆周角定理可得，再根据勾股定理计算即可； （2）由等腰三角形的性质推出，得到，由平行线的性质推出，进而可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为直径，点E是弧中点， ， ， ； （2）解：， ， |， ， ， ， ， ， ， ， 弧的长． 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）某商店销售进价为40元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表： 时间（天） 售价（元/件） 80 每天销量（件） 设销售商品的每天利润为元． (1)求出与的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠元给贫困地区，在销售的前30天内该商店当日最大利润为2312元，直接写出的值______． 【答案】(1) (2)该商品在第25天时，当天销售利润最大，最大利润是2450元． (3)2 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，利用了函数的性质求最值， （1）根据单件利润乘以数量，可得总利润，分段列出函数关系式可得答案； （2）根据分段函数的性质，可分别得出各自最大值，根据有理数的比较，可得答案； （3）在确定捐赠后的函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，利用了函数的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上所述： （2）当时，， ∵ ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时， ∵，y随的增大而减小． ∴当时，． ∵ ∴该商品在第25天时，当天销售利润最大． 综上所述，该商品在第25天时，当天销售利润最大，最大利润是2450元． （3）根据题意得：， 函数的对称轴：， 当时， 解得：，（舍去）． 当，函数的对称轴：， ∵开口向下， ∴，y随x的增大而减小， ∴时，，解得（舍去）， 故的值2． 23．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米 (2)①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·开学考试）如图1，在中，是直径，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)如图2，点G在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由得到，所以，从而得到结论； （2）①连接、，如图，根据圆周角定理得到，再证明，则可判断四边形为平行四边形，所以，然后利用得到； ②设，则，则利用为的中位线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）①证明：连接、，如图， ， ， ， ∵为直径， ， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ； ②解：设，则， ， ∴为的中位线， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 在中， ∵， ， 整理得， 解得(舍去)， 即的长为1． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$