24.4 一元二次方程的应用（第1课时）（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.4 一元二次方程的应用 第1课时 传播问题与增长率问题 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十四章 一元二次方程 学习目标 1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程. 2.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. 　 温故知新 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 4.分解因式法 1.直接开平方法 2.配方法 3.公式法 5.十字相乘法 x2=p或（x＋n）2= p（p≥0） mx2-nx=0 (x-p)(x-q)=0 x(mx-n)=0 x2-(p+q)x+ pq =0 　 导入新课 看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律. 每次变化都是由一个铃铛变化出3个铃铛 　 导入新课 2021年7月来，新冠病毒的变异毒株“德尔塔”病毒影响全国人民的生活，有研究表明，“德尔塔”病毒具有较强的传染性，当一个人感染了“德尔塔”病毒后，在没有防控的情况下，经过两轮传染后共有144人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人呢？ 讲授新课 知识点一 传播问题 第2轮 ••• A 1 2 x 第1轮 第 1 轮传染后人数 x + 1 A 第 2 轮传染后人数 x(x + 1) + x + 1 A 可以二次传染 讲授新课 设每轮感染中平均一个人感染 x人. 第一轮他感染了x人,第一轮后共有______人感染了病毒. 这（x+1）人是第二轮的感染源 第二轮:这些人中的每个人都又感染了x人, 第二轮后共有____ _______人患了流感. （x+1） 变形为1+x+x(x+1)=(x+1)2 列方程得 (x+1)2=144 解得 x1=11;x2=-13（舍） 1+x+x(x+1) 答：每轮感染中平均一个人感染 11人 讲授新课 如果按照这样的感染速度， 第三轮感染过后总共会有多少人感染“德尔塔”病毒？ 144+144×11=123 = 1728（人） 解决“传播问题”的关键步骤是： 明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数． 讲授新课 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是183，每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 183， 即 x2 + x −182 = 0. 解得 x1 = 13， x2 = −14 (不合题意，舍去). 答：每个支干长出 13个小分支. 讲授新课 传播问题 1. 在传播问题和树干问题中的数量关系时它们有何区别？ 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 讲授新课 典例精析 【例1】某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9. 4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 讲授新课 练一练 1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； 第三轮感染中，被感染的电脑台数不会超过700台. 解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 依题意 60+60x+60x (1+x) =2400 60 (1+x)2 =2400 讲授新课 2、某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 60 60x 60(1 + x) 60(1 + x) 60(1 + x)x 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌. 讲授新课 解：（1）设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60 + 60x + 60(1 + x) x = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. （2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19) = 480000 (个). 讲授新课 知识点二 增长率问题 已知某网店2024年1月份的营业额为100万元，2月份营业额增长了10%，3月份营业额又增长了10%，问该网店3月份营业额是多少？ 第一个月 第二个月 第三个月 100(1+10%)×10% 100 100 = 100(1+10%）2 100(1+10%) + =121 =100(1+10%) 100×10% + 讲授新课 典例精析 【例2】前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 特别强调：下降率不可为负，且不大于1. 讲授新课 练一练 1、前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 讲授新课 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 2、某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 当堂检测 1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980 2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73 C B 当堂检测 3.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 当堂检测 4.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; 当堂检测 (2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 当堂检测 5.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 解：设每天平均一个人传染了x人， 解得 x1=-4 (舍去），x2=2. 答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感. 1+x+x(1+x)=9， 即（1+x）2=9. 9(1+x)5=9(1+2)5=2187， (1+x)7= (1+2)7=2187. 当堂检测 7.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; 当堂检测 (2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 课堂小结 列一元二次方程解应用题 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方要检验根的合理性 传播问题 弄清楚传染源是否继续传播 看清楚是总数还是第N轮传染后的数量 步骤 类型 数字问题 握手问题 互赠照片问题 关键是设出数位上的数字，并准确地表示出原数 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以 2 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以 2 课堂小结 平均变化率问题 1.增长率问题 a(1+x)2=b 2.降低率问题 （其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.） 模型 （其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.） 模型 a(1-x)2=b 谢 谢~ $$