专题05 实际问题与二次函数【三大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题05 实际问题与二次函数【三大题型】 二次函数的最值 1．（2023•朝阳区校级期中）二次函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（　　） A．﹣2 B．2 C．5 D．9 3．（2023•朝阳区校级期中）在关于n的函数S＝an2+bn中，n为自然数，当n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0．则当S的值最小时，n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2023•顺义区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+m﹣3的最小值为3，则m＝　 　． 6．（2023•朝阳区校级期中）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　 　． 7．（2023•昌平区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标； （2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值． 8．（2023•海淀区校级期中）已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根． （1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值． （2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由． 根据实际问题列二次函数关系式 9．（2023•大兴区校级期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（　　） A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2 10．（2023•顺义区校级期中）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x） C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x） 11．（2023•朝阳区校级期中）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝　 　． 12．（2023•大兴区校级期中）某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x元时，则销售利润y＝　 　． 二次函数的应用 13．（2023•朝阳区校级期中）下面的四个问题中都有两个变量：①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，利润为y元．其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 14．（2023•石景山区校级期中）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　） A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s 15．（2023•东城区校级期中）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系yx2x，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 16．（2023•通州区期中统考）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（　　） A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q 17．（2023•朝阳区校级期中）某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价 　 　元时，服装店每天盈利最多． 18．（2023•房山区期中统考）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米． （1）活动区面积S与x之间的关系式为 　 　； （2）菜园ABCD最大面积是 　 　平方米． 19．（2023•朝阳区校级期中）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　 　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　 　． 20．（2023•朝阳区校级期中）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为 　 　． 21．（2023•西城区校级期中）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： （1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由； （2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 m． 22．（2023•顺义区校级期中）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 　 　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 实际问题与二次函数【三大题型】 二次函数的最值 1．（2023•朝阳区校级期中）二次函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 解：二次函数y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因此当x＝﹣1时，y最小＝﹣2， 答案：A． 2．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（　　） A．﹣2 B．2 C．5 D．9 解：∵y＝﹣x2+2x+4化成顶点式y＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，顶点为（1，5）， ∴函数的最大值为5， 答案：C． 3．（2023•朝阳区校级期中）在关于n的函数S＝an2+bn中，n为自然数，当n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0．则当S的值最小时，n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵函数S＝an2+bn图象经过原点， n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0， ∴S＝0时，n＝0或n在9﹣10之间， 即图象对称轴在4.5﹣5之间， ∴当n＝5时，S取最小值． 答案：C． 4．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．或 解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2， ①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2， 解得：m； ②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2， 解得：m2（舍）； ③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2， 解得：m或m1（舍）， ∴m的值为或， 答案：D． 5．（2023•顺义区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+m﹣3的最小值为3，则m＝　10　． 解：原式可化为：y＝（x﹣2）2﹣7+m， ∵函数的最小值是3， ∴﹣7+m＝3， 解得m＝10． 答案：10． 6．（2023•朝阳区校级期中）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　a≥1　． 解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线， 当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4， ∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4， ∴a≥1， 答案：a≥1 7．（2023•昌平区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标； （2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值． 解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得， y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4， ∵对称轴是直线x＝1． ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4， ∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5， ∴a＜0不合题意； ②a＞0时，抛物线开口向上， ∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离， ∴x＝﹣2时，y的值最大， ∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5， 将b＝﹣2a代入得，a＝1； （3）①t＜0时， ∵a＝1， ∴b＝﹣2a＝﹣2， ∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3， ∵m﹣n＝3， ∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1； ②t＜1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4， ∵m﹣n＝3， ∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）； ③0＜t时， y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4， m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±1（不成立）； ④t≥1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3， m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2； 综上，t的值为﹣1或2． 8．（2023•海淀区校级期中）已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根． （1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值． （2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x）， ∴对称轴为直线x1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∵方程f（x）＝2x有两相等的实数根， ∴ax2+bx﹣2x＝0，则Δ＝0， ∴（b﹣2）2＝0， ∴b＝2， ∴a＝﹣1， ∴f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴x＝1时，f（x）有最大值1， ∴f（x）在区间[0，3]上的最大值是1； （2）不存在，理由如下， 分三种情况： a、n≤1，有：﹣m2+2m＝4m①，﹣n2+2n＝4n②，m＜n③， 解得m＝n，不合题意； b、m≥1，有：﹣m2+2m＝4n①，﹣n2+2n＝4m②，m＜n③， ①﹣②得：（n﹣m）（m+n）＝6（n﹣m），n﹣m＞0， ∴m+n＝6， 代入①解得：m＝3，n＝3； 不合题意， c、若m＜1，n＞1， ∵此时函数的最大值为1， ∴4n＝1， ∴n， 不合题意， 综上所述：不存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n． 根据实际问题列二次函数关系式 9．（2023•大兴区校级期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（　　） A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2 解：根据题意得y＝2（1﹣x）2， 答案：B． 10．（2023•顺义区校级期中）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x） C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x） 解：设每本降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本， 根据题意得，y＝（30﹣x）（200+20x）， 答案：B． 11．（2023•朝阳区校级期中）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝　﹣x2+10x+600　． 解：设应降价x元，销售量为（20+x）个， 根据题意得：y＝（100﹣x﹣70）（20+x）＝﹣x2+10x+600． 答案：﹣x2+10x+600． 12．（2023•大兴区校级期中）某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x元时，则销售利润y＝　﹣100x2+100x+200（0≤x≤2）　． 解：∵每降低0.1元，其销售量可增加10件， ∴降低x元，其销售量可增加100x件， ∵原来每件的利润为10﹣8，现在降低x元， ∴现在每件的利润为2﹣x，应保证2﹣x≥0， ∴销售利润y＝（10﹣8﹣x）×（100+100x）＝﹣100x2+100x+200（0≤x≤2）． 二次函数的应用 13．（2023•朝阳区校级期中）下面的四个问题中都有两个变量：①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，利润为y元．其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 解：由题意可得， 一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y，则y＝2πx•x+2πx2＝2πx2+2πx2＝4πx2，该函数为开口向上的抛物线，故①符合题意； x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y，则yx（x﹣1）x2x，该函数为开口向上的抛物线，故②符合题意； 某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y，则y＝20x•x＝20x2，该函数为开口向上的抛物线，故③符合题意； 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，利润为y元，则y＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+130x﹣3000，该函数为开口向下的抛物线，故④不符合题意； 答案：D． 14．（2023•石景山区校级期中）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　） A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s 解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得： ， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t， 当t1.25（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下， 则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒． 答案：B． 15．（2023•东城区校级期中）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系yx2x，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 解：当y＝0时，则x2x0， 解得x＝﹣2（舍去）或x＝12． 答案：B． 16．（2023•通州区期中统考）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（　　） A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q 解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长； A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长； 同理可知C点路线优于A点路线， 综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路． 答案：B． 17．（2023•朝阳区校级期中）某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价 　15　元时，服装店每天盈利最多． 解：设每件衬衫应降价x元，设商场获得的总利润为y元，由题意得： y＝（40﹣x）（20+2x） ＝﹣2x2+60x+800 ＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∵﹣2＜0， ∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1250， ∴每件衬衫应降价15元，服装店每天盈利最多， 答案：15． 18．（2023•房山区期中统考）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米． （1）活动区面积S与x之间的关系式为 　S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）　； （2）菜园ABCD最大面积是 　200　平方米． 解：（1）根据题意得：BC＝（40﹣2x）米， ∴S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x， ∵40﹣2x＞0， ∴x＜20， ∴面积S与x之间的关系式为S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）； 答案：S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）； （2）∵S＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，且﹣2＜0，0＜x＜20， ∴当x＝10时，S取最大值200， ∴菜园ABCD最大面积是200平方米； 答案：200． 19．（2023•朝阳区校级期中）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　0≤w≤5　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　5≤w≤20　． 解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒， ∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15， ∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20， ∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）． ∵20﹣15＝5， ∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5； 当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0， ∵20﹣15＝5，20﹣0＝20， ∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20． 答案：0≤w≤5；5≤w≤20． 20．（2023•朝阳区校级期中）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为 　　． 解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h， 解得：a， ∴抛物线的表达式为y（x﹣6）2+h， 由题意得：当x＝9时，y（x﹣6）2+h（9﹣6）2+h＞2.43， 解得：h； 当x＝18时，y（x﹣6）2+h（18﹣6）2+h≤0， 解得：h， 故h的取值范围是h． 答案：h． 21．（2023•西城区校级期中）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： （1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由； （2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 　2.075　m． 解：（1）①描点，连线，作出函数图象， ②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米， 由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为（4，3.6）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 把（0，2）代入解析式得：2＝a（0﹣4）2+3.6， 解得a＝﹣0.1， ∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6； ③当x＝6.5时，y＝﹣0.1×（6.5﹣4）2+3.6＝﹣0.625+3.6＝2.975＜3.05， ∴小石第一次投篮练习没能投进； （2）根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位， 则第二次篮球运行的抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6+m， ∵第二次篮球运行的抛物线经过（6.5，3.05）， ∴3.05＝﹣0.1×（6.5﹣4）2+3.6+m， 解得m＝0.075， ∴2+0.075＝2.075， 答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高，2.075米． 答案：2.075． 22．（2023•顺义区校级期中）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 　不能　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 解：（1）如图2，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6， ∴a， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y（x﹣2）2+1.6， 当y＝0时，0（x﹣2）2+1.6， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）∵OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米， ∴点F的坐标为（5.2，0.7）， 当x＝5.2时，y（5.2﹣2）2+1.60.576＜0.7， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 答案：不能． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$