精品解析：山东省聊城市东阿县第三中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有（　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 2. 把矩形对折，折痕为，且矩形与矩形相似，则矩形的长与宽的比为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 4. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 5. 如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为________． 12. 如图，已知，且，，，则______． 13. 在中，已知，是锐角，若，则的度数为________． 14. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 15. 如图，在中，是斜边上的高．如果，那么的长为 _____． 16. 如图，中，，，点E在AB上且，点F在AC上，连接EF，若与相似，则______． 17. 如图，已知点，，以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为______． 18. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝_____． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； 20. 如图所示，在中，，是边上的高，若，，求． 21. 如图，在中，，，，则的长为多少？ 22. 如图，四边形、、都是正方形． 求证：； 求的度数． 23. 如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与，分别交于点O，F． （1）若的面积为2，求平行四边形的面积； （2）求证：． 24. 如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 25. 如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上. （1）求坡底C点到大楼距离AC的值； （2）求斜坡CD的长度. 26. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有（　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，即可判断出结果． 【详解】∵矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形，菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、两个正方形相似. 故选A. 【点睛】本题考查了相似图形的判定.掌握相似图形的判定方法是解题关键． 2. 把矩形对折，折痕为，且矩形与矩形相似，则矩形的长与宽的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 【详解】设矩形ABCD的长AD=x,宽AB=y,则 ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似, ∴,即 即 ∴ 故选:D. 【点睛】考查相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键. 3. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 4. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF，AB=CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=AE+DE=6+3=9， ∴的周长为：（8+9）×2=34． 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答． 5. 如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件知，已有条件，则可分别添加或，可判定，或添加，可判定，则可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴当或时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定； 当时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定； 即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了两个三角形相似的判定，熟悉相似三角形的判定定理的内容是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解． 【详解】解：设CH与GF交于点M， 正方形， ，， ， ， ， ， 四边形DHMG是矩形， ， ，，正方形的边长是x， ， ， ， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故选：B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 8. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， 设，则， 在中，, 在中，, ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形． 9. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： 由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 10. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质；根据相似多边形的对应角相等得出，再根据四边形内角和即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 如图，已知，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，得到，从而得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：4． 13. 在中，已知，是锐角，若，则的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．根据绝对值和偶次方的非负性可得：，，从而可得，，进而可得，，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查坡度问题，以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识。利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：坡比，， ，即， 解得， （米）， 故答案为：4． 15. 如图，在中，是斜边上的高．如果，那么的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易证，即得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵是斜边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去负值） 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 16. 如图，中，，，点E在AB上且，点F在AC上，连接EF，若与相似，则______． 【答案】或4 【解析】 【分析】根据题意，要使与相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当时；当时．最后利用相似三角形的对应边成比例即可求得线段的长即可． 【详解】解：如图： 当时，则，即，； 当时，则 ，，． 故答案为：或4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质应用．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序．分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏． 17. 如图，已知点，，以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查以点为位似中心图形坐标关系，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，于是把都乘以k或-即可得到点E的对应点坐标； 【详解】解：∵以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，， ∴点的对应点的坐标为：，， 故答案为：或． 18. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解． 【详解】如图，延长AD、BC相交于点E， ∵∠B=90°， ∴， ∴BE=， ∴CE=BE-BC=2，AE=， ∴， 又∵∠CDE=∠CDA=90°， ∴在Rt△CDE中，， ∴CD=． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，立方根，再计算即可； （2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 . 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，立方根，零指数次幂，熟练的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键. 20. 如图所示，在中，，是边上的高，若，，求． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据是边上高，得，再根据直角三角形的特征得，进而可得，再利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】∵是边上高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，，，则的长为多少？ 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过A作交线段延长线于，设长为，表示出，根据列方程求解即可得到答案； 【详解】解：过A作交线段延长线于，设长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴，， 解得：， ∴， 答：的长为． 22. 如图，四边形、、都是正方形． 求证：； 求的度数． 【答案】 （1）证明：设正方形的边长为，则， ∴， 又∵， ∴； （2）45°. 【解析】 【分析】（1）设正方形的边长为a，求出AC的长为a，再求出△ACF与△GCA中∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似；（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°． 【详解】略 解：由得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解题关键． 23. 如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与，分别交于点O，F． （1）若的面积为2，求平行四边形的面积； （2）求证：． 【答案】（1）24 （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定，，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及的面积为2，可求得答案． （2）由，，分别判定，，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论． 【小问1详解】 解： 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ； 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 平行四边形的面积为：． 【小问2详解】 略 24. 如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 【答案】大树的高度为8.6米 【解析】 【分析】如图，作于H，交于G，则，；然后再证明，运用相似三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】如图，作于H，交于G，则，， ∵， ∴， ∴=，即=， ∴ ， ∴（m）． 答：大树的高度为8.6米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 25. 如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上. （1）求坡底C点到大楼距离AC的值； （2）求斜坡CD的长度. 【答案】（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米. 【解析】 【详解】分析：（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可； （2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，得AF=DE，DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可. 详解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=（米） 答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米． （2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形， ∴AF=DE，DF=AE. 设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=x米，CE=x米 在Rt△BDF中，∠BDF=45°， ∴BF=DF=AB-AF=60-x（米） ∵DF=AE=AC+CE， ∴20+x=60-x 解得：x=80-120（米） 故斜坡CD的长度为（80-120）米. 点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 26. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE； （2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC． 【详解】解：（1）由已知得：， 在中， ， （cm）， 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为； （2）如图， 过点B作于点F， ． ， 在中， ， ， ， ， ， （cm）． 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $