高二数学上学期期中押题试卷02（测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（新高考通用）

2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线的顶点为，经过点，，且为抛物线的焦点，若，则　　 A． B．1 C． D．2 2．已知直线与垂直，则　　 A．0 B．0或 C． D．0或 3．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是　　 A． B． C． D． 4．椭圆与椭圆的　　 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5．已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为（﹣6，0），则双曲线的顶点到渐近线的距离为（　　） A．3 B． C．3 D．6 6．若，则实数　　 A．6 B． C．3 D． 7．在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为　　 A．2 B．1 C． D． 8．已知圆，直线的横纵截距相等且与圆相切，则满足条件的直线有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是　　 A． B． C． D． 10．若方程表示圆，则的取值可以为　　 A．2 B．0 C． D． 11．已知椭圆为的左焦点，为上一点，则　　 A．的最小值为 B．的最大值为 C．面积的最小值为 D．面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知分别是平面，的法向量，且，则　　． 13．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 　　． 14．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，为的外心，为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 17．设是坐标原点，直线与圆交于，两点． （1）求线段中点的坐标； （2）若，求该圆的面积． 18．已知点，，圆的圆心坐标为，半径为1． （1）过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）设点，，为圆上任意一点，求的最大值． 19．已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中． （1）求椭圆方程． （2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线的顶点为，经过点，，且为抛物线的焦点，若，则　　 A． B．1 C． D．2 【分析】根据题意可得，进而得到，由此得解． 【解答】解：由， 可得， 所以， 则， 解得． 故选：． 【点评】本题考查抛物线，考查直观想象的核心素养，属于基础题． 2．已知直线与垂直，则　　 A．0 B．0或 C． D．0或 【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果． 【解答】解：直线与垂直， 故，整理得， 解得或． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 3．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆， 则圆心，半径为， 圆， 则圆心，半径， 圆与圆恰有一条公切线， 则两圆内切，即，即，表示以为圆心，1为半径的圆， 对于，圆心到直线的距离为，直线与圆相交，直线经过，故错误； 对于，圆心到直线的距离为，直线与圆相交，直线经过，故错误； 对于，圆心到直线的距离为，直线与圆相切，直线经过，故错误； 对于，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，直线一定不经过，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题． 4．椭圆与椭圆的　　 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【分析】分别求出椭圆与椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果． 【解答】解：椭圆，可知，，， 长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：． 椭圆中， ，，， 长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是． 椭圆与椭圆关系为有相等的焦距． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 5．已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为（﹣6，0），则双曲线的顶点到渐近线的距离为（　　） A．3 B． C．3 D．6 【分析】由题意，解得a，b，c，求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：由题意，c＝6，，c2＝a2+b2， ∴a＝3，b＝3，c＝6， ∴双曲线的焦点（﹣6，0）到渐近线y+x＝0的距离为：＝3． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，比较基础． 6．若，则实数　　 A．6 B． C．3 D． 【分析】依题意，可得，利用向量数量积的坐标运算可求得答案． 【解答】解：， ， ，又，， ，解得． 故选：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题． 7．在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为　　 A．2 B．1 C． D． 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，根据重心的坐标公式写出点的坐标，再利用向量法求点到直线的距离，即可得解． 【解答】解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，6，，，0，，，0，，，0，， 所以， 因为点为的重心，所以，2，，所以，2，， 所以点到直线的距离为． 故选：． 【点评】本题考查空间中点到线距离的求法，熟练掌握利用向量法求点到线距离是解题的关键，考查空间立体感，运算求解能力，属于中档题． 8．已知圆，直线的横纵截距相等且与圆相切，则满足条件的直线有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，讨论直线是否为0，结合相切关系及点线距离公式分别求出对应切线方程即可． 【解答】解：由圆， 则圆心，半径， 若截距为0，设，即， 则， 此时；若截距不为0， 设，即， 则， 此时； 综上，共有3条满足条件的直线． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的方程，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是　　 A． B． C． D． 【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识即可求得． 【解答】解：因为，， 所以，共面，，共面，故，错误； 不存在，，使得，所以，不共面，故正确； 不存在，，使得，所以，构不共面，故正确． 故选：． 【点评】本题考查空间基底的概念、空间向量共面等知识，属于基础题． 10．若方程表示圆，则的取值可以为　　 A．2 B．0 C． D． 【分析】利用圆的一般方程表示圆的充要条件， 求解即可． 【解答】解：由知． 结合选项，符合条件的只有2和0． 故选：． 【点评】本题考查二元二次方程表示圆的充要条件，考查知识的应用能力，是基础题． 11．已知椭圆为的左焦点，为上一点，则　　 A．的最小值为 B．的最大值为 C．面积的最小值为 D．面积的最大值为 【分析】根据椭圆的定义，，当，，三点共线时，取最值，可判断，；易判断面积无最小值，可判断；写出直线的方程，求出与直线平行，且与椭圆相切的直线方程，求出这两条直线间的距离，可求出面积的最大值． 【解答】解：设的右焦点为，则，， 所以，所以， 当，，三点共线，且在线段的延长线上时，的值最小， ，所以的最小值为； 当，，三点共线，且在延长线上时，最大， 且，故，故，均正确； 易知的面积无最小值，故错误； 直线的方程为， 设与直线平行且与相切的直线为， 由，得， 由△，得， 显然直线与距离较远， 所以直线与直线间的距离， 当为直线与的交点时，的面积最大， 此时其面积为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的定义和性质，直线与椭圆的位置关系，属中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知分别是平面，的法向量，且，则　　． 【分析】根据题意，分析可得，由此设，即，1，，，，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，若，则有， 设，即，1，，，，则有， 变形可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的法向量，涉及平面平行的判断方法，属于基础题． 13．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 　或　． 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可得解． 【解答】解：由题知，若在轴、轴上截距均为0， 即直线过原点，又过，则直线方程为， 若截距不为0，设在轴、轴上的截距为， 则直线方程为， 又直线过点， 则，解得， 所以此时直线方程为． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题． 14．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，为的外心，为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为 　　． 【分析】建立空间直角坐标系，设，则，求出的范围，从而得到的取值范围． 【解答】解：不妨设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，，2，，，0，， 由题意得为的中点，所以，1，． 设，，得， 则， 因为， 所以． 当时，． 当时，， 得． 综上，，由得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查空间向量的应用以及异面直线所成角的求解，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解． 【解答】解：（1）由，． 所以， 所以边上的高所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的方程， 即． （2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即． ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【点评】本题考查平行直线，垂直直线的性质的应用，属于基础题． 16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 【分析】（Ⅰ）证明平面即可得出； （Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算和的夹角得出与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求出平面的法向量，计算的夹角得出二面角的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：平面，， 四边形是矩形，， 又， 平面，又平面， ． （Ⅱ）解：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，0，，，0，，，4，，，4，，，0，， ，0，，，0，，，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取可得，1，， ，， 与平面所成角的正弦值为． （Ⅲ）解：，，， 设平面的法向量为，，，则，即，取可得，1，， ． 二面角的余弦值为． 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与线面角、二面角的计算，属于中档题． 17．设是坐标原点，直线与圆交于，两点． （1）求线段中点的坐标； （2）若，求该圆的面积． 【分析】（1）求得的中垂线方程，与直线联立，交点坐标即为的坐标； （2）根据，可知，结合韦达定理可求得值，即可求得圆的半径，进而求得圆的面积． 【解答】解：（1）圆的圆心为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为2，且经过， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得， 所以线段中点的坐标为． （2）由，化简得， 设，，，，则， 又，， 由于，所以，即， 即，所以， 解得，所以圆的半径为， 所以圆的面积为． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，是中档题． 18．已知点，，圆的圆心坐标为，半径为1． （1）过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）设点，，为圆上任意一点，求的最大值． 【分析】（1）由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解； （2）设，，，则，其中，然后结合三角函数最值的求法求解． 【解答】解：（1）已知圆的圆心坐标为，半径为1， 则圆的方程为， 设过点且与圆相切的直线方程为， 则， 则， 即所求直线方程为， 又直线与圆相切， 即所求切线方程为或； （2）已知为圆上任意一点， 设，，， 又点，， 则，其中， 又，， 则当时，取最大值． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了三角函数最值的求法，属中档题． 19．已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中． （1）求椭圆方程． （2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）结合椭圆的性质，以及三角形的面积公式，即可求解； （2）根据已知条件，分动直线的斜率存在、不存在讨论，当动直线的斜率不存在，直接结合平面向量的数量积运算，即可求解；动直线的斜率存在时， 设出直线方程，并与椭圆方程联立，再结合平面向量的数量积运算，即可求解． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为， 所以，即，其中为半焦距， ， 则， 所以，，， ，解得， 故，， 故椭圆方程为； （2）①若过点 的动直线的斜率不存在， 则，或，，此时， ②若过点 的动直线的所率存在， 则可设该直线方程为：， 设， ，，， ，化简整理可得，， 故△ ，； ，， 故 ， 恒成立，故，解得， 若恒成立． 结合①②可知，． 故这个点纵坐标的取值范围为，． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$