高二数学上学期期中押题试卷01（测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（新高考通用）

2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是　　 A． B． C． D．1 3．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，，则该椭圆的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．如图，在四面体中，，，．点在上，且，为的中点，则　　 A． B． C． D． 5．在长方体中，，0，，，0，，，3，，则　　 A．，3， B．，3， C．，3， D．，4， 6．已知两平行直线与之间的距离是，若，则　　 A．0 B． C．1 D． 7．直线与圆的位置关系为　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．与的值有关 8．如图，棱长为2的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列命题正确的个数是　　 ①存在点，使垂直于平面； ②对于任意点，平行于平面； ③直线被球截得的弦长为； ④过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为． A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若为圆上任意一点，点，则的取值可以为　　 A．0.6 B．2 C．3.41 D．3.42 10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．椭圆的焦距为6 D．椭圆的离心率为 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是　　 A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，分别是椭圆的左、右焦点．若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 　　． 13．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与成角的余弦值是 　　． 14．已知点、分别在直线与直线上，且，点，，，则的最小值为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知两点、． （1）求直线的斜率； （2）已知实数，，求直线的倾斜角的取值范围． 16．已知圆，其中． （1）已知圆与圆：外切，求的值； （2）如果直线与相交所得的弦长为，求的值． 17．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面底面，，是的中点． （1）证明：； （2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．已知圆，圆． （1）若直线经过圆与圆的公共点，求直线的方程； （2）若圆过两圆的交点且圆心在直线上，求圆的方程． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，上、下顶点分别为、，为椭圆上的点，且满足． （1）求椭圆的标准方程； （2）过、作两条相互平行的直线，交于，和，，顺次连接构成四边形，求四边形面积的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，求得直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系，算出直线的倾斜角． 【解答】解：根据题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且，，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，考查概念的理解能力，属于基础题． 2．已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是　　 A． B． C． D．1 【分析】根据斜率的定义即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查斜率的定义，属基础题． 3．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，，则该椭圆的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】首先利用对称关系得到四边形为矩形．进一步利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】解：椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，设左焦点为． 所以， 根据对称关系：四边形为矩形． 所以， 由于，设， 所以，， 所以， 所以， 由于，，故， 所以， 所以，即离心率的范围． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线的定义的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 4．如图，在四面体中，，，．点在上，且，为的中点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【解答】解：，为的中点，，，， 则 ． 故选：． 【点评】本题主要考查向量的线性运算，是基础题． 5．在长方体中，，0，，，0，，，3，，则　　 A．，3， B．，3， C．，3， D．，4， 【分析】根据空间向量的坐标表示求解． 【解答】解：因为，0，，，0，，，3，， 所以，3，，所以，3，． 故选：． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题． 6．已知两平行直线与之间的距离是，若，则　　 A．0 B． C．1 D． 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行直线间的距离公式求出，可得结论． 【解答】解：两平行直线，即， 它与之间的距离是，且， ． 再根据， 或 （舍去）， 则， 故选：． 【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式的应用，属于基础题． 7．直线与圆的位置关系为　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．与的值有关 【分析】由题意得直线恒过定点，可得点在圆内，即可得出答案． 【解答】解：直线的方程为，即， 令，则直线恒过定点， ， 该点在圆内， 直线与圆相交， 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题． 8．如图，棱长为2的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列命题正确的个数是　　 ①存在点，使垂直于平面； ②对于任意点，平行于平面； ③直线被球截得的弦长为； ④过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①当点为中点时，证明平面；②当点与重合时，在平面上，在平面外，说明不成立；③点是线段的中点，利用弦长公式求弦长；④当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，利用③的结果求圆的面积． 【解答】解：当为中点时，，，， ，平面，平面， 平面平面，平面，， 同理，，，平面， 所以平面，即平面，故①正确； 当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确； 如图，点是线段的中点，由对称性可知， 由勾股定理可知易知，， 球心到距离为， 则被球截得的弦长为， 故③正确； 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是， 面积为，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查线面垂直的判定定理，球的截面问题，化归转化思想，属中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若为圆上任意一点，点，则的取值可以为　　 A．0.6 B．2 C．3.41 D．3.42 【分析】根据已知可求出圆心坐标和半径，进而可求出圆心到点的距离，根据圆上动点到点的最近距离为，圆上动点到点的最远距离为，可得线段长度的范围，再判断选项即可． 【解答】解：圆化为标准方程得， 半径，，， 所以的取值区间为． 故选：． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，是基础题． 10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．椭圆的焦距为6 D．椭圆的离心率为 【分析】根据椭圆的简单几何性质即可分别求解． 【解答】解：椭圆， ，，， △的周长为，正确； △面积的最大值为：，正确； 椭圆的焦距为：，错误； 椭圆的离心率为，不正确． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题． 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是　　 A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 【分析】对于，由线面平行的判定定理证明即可；对于，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于，由平面法向量求解即可；对于，由点到平面的距离公式计算即可． 【解答】解：对于选项，由于，分别是，的中点， ，平面，平面， 平面，故正确； 对于选项，，2，，，0，，，0，，，2，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故错误； 对于选项，由，2，，，0，，，0，，，2，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 平面的一个法向量，故正确； 对于选项，，点到平面的距离为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，分别是椭圆的左、右焦点．若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 　　． 【分析】设直线交轴于点，由已知可得：有解，又，则，然后求解即可． 【解答】解：设直线交轴于点， 由已知可得：有解， 又， 则， 则， 即， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属基础题． 13．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与成角的余弦值是 　　． 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，然后利用空间向量的数量积与夹角公式，算出答案． 【解答】解：以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 设，则，2，，，0，，，2，，，0，，，0，， 根据中点坐标公式，得，1，，，1，， 所以，，，，1，， 可得直线和直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用空间坐标系求异面直线所成角及其应用，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题． 14．已知点、分别在直线与直线上，且，点，，，则的最小值为 　　． 【分析】先求出，点的坐标，再利用两点间的距离公式求出，再得到当点在点与点之间，且三点共线时，距离和最小，求出最小值即可． 【解答】解：直线与直线的平行， ，， 设直线 方程为， 联立得，解得，， 同理得，， ， 则表示点到点与点距离和的最小值， 当点在点与点之间，且三点共线时，距离和最小， 最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查两平行直线间的距离公式，两点间的距离公式，以及动点间距离的最值问题，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知两点、． （1）求直线的斜率； （2）已知实数，，求直线的倾斜角的取值范围． 【分析】（1）根据斜率公式计算即可， （2）已知实数，，利用不等式的性质求出斜率的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角的范围． 【解答】解：（1）当时，直线的斜率不存在； 当时，． （2）①当时，； ②当时，，，， ，，． 综合①②，知直线的倾斜角为，． 【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题． 16．已知圆，其中． （1）已知圆与圆：外切，求的值； （2）如果直线与相交所得的弦长为，求的值． 【分析】（1）由两圆外切圆心距离等于半径之和，可得参数值； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长得结论． 【解答】解：（1）圆标准方程是，圆心为，半径为， 因为圆与圆：外切， 所以，解得； （2）圆心到已知直线的距离为， 所以根据圆的几何性质有，，． 【点评】本题考查了两圆的位置关系以及直线与圆相交后有关弦长的计算，属于基础题． 17．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面底面，，是的中点． （1）证明：； （2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，．可证平面，可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面与平面的夹角的余弦值． 【解答】（1）证明：因为平面底面，在矩形中，， 平面平面，所以平面． 又因为平面，所以，，是的中点， 所以．，所以平面， 因为平面，所以． （2）解：因为由（1）知平面，所以，，所以平面． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则，0，，，2，，，1，， 设平面的一个法向量为，则，． 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面，故面的法向量为， 则，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 18．已知圆，圆． （1）若直线经过圆与圆的公共点，求直线的方程； （2）若圆过两圆的交点且圆心在直线上，求圆的方程． 【分析】（1）由两圆的方程作差可得到公共弦所在的直线方程，即得到直线的方程． （2）先联立方程组求出圆和圆的两个交点坐标，写出弦的垂直平分线方程；再根据题意求出圆的圆心坐标和半径；最后写出圆的标准方程即可． 【解答】解：（1）联立方程组，作差可得：， 即两圆的交点所在直线方程为：，故直线的方程为． （2）联立方程组，解得或， 即两圆的交点坐标为和． 弦的垂直平分线方程为， 圆过两圆的交点且圆心在直线上， 圆的圆心既在弦的垂直平分线又在直线上． 联立方程组，解得， 即得圆的圆心坐标为， 圆的半径， 圆的方程为． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，属中档题． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，上、下顶点分别为、，为椭圆上的点，且满足． （1）求椭圆的标准方程； （2）过、作两条相互平行的直线，交于，和，，顺次连接构成四边形，求四边形面积的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得，进而求得，的值，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立，利用弦长公式可得，利用点到直线的距离可得点到直线的距离，进而表示出四边形面积，由此可得其最值． 【解答】解：（1）由于焦距为2， 则，设，， 则， 又，，， 则， ， ，． 即椭圆的标准方程为． （2）由对称性可知，四边形为平行四边形， 设，，，，， 将直线的方程与椭圆方程联立得：． 由根与系数的关系可得，，， 则， 设点到直线的距离为，则， 所以四边形面积为：． 设，则在，单调递减， 所以的取值范围为，． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$