2024-2025学年浙江八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：01章、02章、03章 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

2024-2025学年浙江版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：三角形的初步知识、特殊三角形、一元一次不等式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知，，，，则的度数为（    ） A．30° B．70° C．80° D．100° 2．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，若的面积为，，则的长度为（  ） A． B． C． D． 3．如图 ，在△ABC中，∠ACB＝90°、沿 CD折叠△CBD，使点 B恰好落在 AC边上的点 E处．若∠A＝28°， 则∠ADE＝（    ） A．28° B．34° C．42° D．44° 4．下列命题中，是假命题的是（  ） A．在中，若、则是直角三角形 B．在中，若，则是直角三角形 C．在中，若，则是直角三角形 D．在中，若，则是直角三角形 5．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且于G，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的结论是(   ) A．只有①③ B．只有①③④ C．只有②④ D．①②③④ 6．下列说法： ①三角形三条高相交于一点；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③有一个角是，并且两腰分别相等的两个等腰三角形全等；④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3 D．4 7．如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是 A．120° B．100° C．90° D．60° 8．如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，，，点在上，，．连接，设，则下列结论中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 10．如图，C为线段上一动点（不与点A，B重合），在同侧分别作等边和等边与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下四个结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．关于不等式的解集为，则 ． 12．如图，将长方形纸片沿直线AB折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是 ． 13．如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 14．已知在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高为，那么BC的长是 ． 15．如图的三角形纸片中，AB=5，AC=6，BC=4，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 ． 16．如图，等边三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以等边三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作等边三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，那么S3 ．（用含n的式子表示） 3． 解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．已知改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元． (1)求改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元． (2)若要改造的A类学校比B类学校的2倍多2所，在计划投入资金不超过1555万元的条件下，最多能改造多少所B类学校． 18．如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 19．为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 20．（1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 21．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 22．体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 23．为了保护环境，某企业决定购买台污水处理设备，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，现有A，B两种型号的设备可供选择，其中每台的价格、月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） (1)该企业有几种购买方案？ (2)若企业每月产生的污水量为吨，为节约资金，应选择哪种购买方案？ 24．如图，在中，． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，D为外的一点，连接，且，，过点C作交的延长线于点E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点P，过E点作交的延长线于点M，点K为直线上点的一个动点，连接，过M点作，且始终满足，连接，若，请求出取得最小值时的值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江版八年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：三角形的初步知识、特殊三角形、一元一次不等式 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知，，，，则的度数为（    ） A．30° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据全等三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可 【详解】，，，， 故选C 【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形的内角和定理，全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，若的面积为，，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】由直角三角形斜边中线的性质，求出，由三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：，为边上的中线， ， ， ， 的面积为， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出的长，由三角形面积公式即可求出的长． 3．如图 ，在△ABC中，∠ACB＝90°、沿 CD折叠△CBD，使点 B恰好落在 AC边上的点 E处．若∠A＝28°， 则∠ADE＝（    ） A．28° B．34° C．42° D．44° 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据折叠的性质及三角形的外角定理即可求解. 【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝28°， ∴∠B=90°-∠A=62°， ∵沿 CD折叠△CBD，得到△CED，∴∠CED=∠B=62°， ∵∠CED是△ADE的一个外角， ∴∠ADE＝∠CED-∠A=34° 故选B. 【点睛】此题主要考查折叠的性质，解题的关键是熟知三角形的外角定理. 4．下列命题中，是假命题的是（  ） A．在中，若、则是直角三角形 B．在中，若，则是直角三角形 C．在中，若，则是直角三角形 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】C 【知识点】判断命题真假、判断三边能否构成直角三角形 【分析】用勾股定理和三角形的性质即可判断． 【详解】因为，所以，所以，所以△ABC是直角三角形，故A正确； 因为，所以 ，所以△ABC是直角三角形，故B正确； 若，则最大角∠C为75°，故C错误； 因为，由勾股定理的逆定理，知△ABC是直角三角形，故D正确． 【点睛】此题考查的是直角三角形命题真假的判断，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 5．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且于G，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的结论是(   ) A．只有①③ B．只有①③④ C．只有②④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】①∵EG∥BC， ∴∠CEG=∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故本选项正确； ②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误； ③∵∠A=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD=90°. ∵EG∥BC，且CG⊥EG， ∴∠GCB=90°,即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故本选项正确； ④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC， ∴∠AEB+∠ADC=90°+(∠ABC+∠ACB)=135°， ∴∠DFE=360°−135°−90°=135°， ∴，故本选项正确. 故选B. 【点睛】考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，比较基础，难度不大. 6．下列说法： ①三角形三条高相交于一点；②两边和一角对应相等的两个三角形全等；③有一个角是，并且两腰分别相等的两个等腰三角形全等；④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的基本性质、全等三角形的判定及垂直平分线的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：①三角形三条高所在直线相交于一点，原说法错误，不符合题意； ②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法错误，不符合题意； ③有一个角是，并且两腰分别相等的两个等腰三角形不一定全等，这个角如果是顶角，则两个三角形全等，如果是底角，则不能证明全等，原说法错误，不符合题意； ④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条垂直平分线的交点，说法错误，不符合题意； ⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半， 如图所示：为等腰三角形的两腰，，过点A作， ∴， ∵， ∴， ∴， 说法正确，符合题意； 综上可得：⑤正确． 故选：A． 【点睛】题目主要考查三角形的基本性质、全等三角形的判定及垂直平分线的性质，熟练掌握这些基本知识点是解题关键． 7．如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是 A．120° B．100° C．90° D．60° 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解即可． 【详解】解：∠BAC=∠ACD−∠B=120°−20°=100°. 故答案选B. 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质. 8．如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理证明线段平方关系、判断命题真假 【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． 【详解】解：在四边形中，与不一定相等， 故①；②都不一定成立， ∵， ∴中，； 中，； 中，； 中，； ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，， 是等腰三角形，， ∴ ，故④正确． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 9．如图，，，点在上，，．连接，设，则下列结论中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理． 由，得到，，根据勾股定理有，，再证，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：C 10．如图，C为线段上一动点（不与点A，B重合），在同侧分别作等边和等边与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下四个结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，通过证明△ACG≌△DCH就可以得出CG＝CH，AG=DH，可以得出△GCH是等边三角形，再判断AC与DH的大小关系，求出∠DFG=∠GCA=60°，利用外角定理即可得到． 【详解】∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°． ∵∠ACB＝180°， ∴∠DCE＝60°． ∴∠DCE＝∠BCE． ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE， ∴∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中，， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴ 即，①正确； 在△ACG和△DCH中，， ∴△ACG≌△DCH（ASA）， ∴GC=HC,AG=DH 又∠GCH=60°， ∴为等边三角形，②正确； 又AC≠AG，∴DH≠AC，④错误； ∵∠GAC+∠ACG+∠AGC=180°，∠GDF+∠DFG+∠DGF=180° 又∠AGC=∠DGF，∠GAC=∠GDF ∴∠DFG=∠ACG=60° 又∠DFG=， ∴，③正确； 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．关于不等式的解集为，则 ． 【答案】3 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】先用m表示出不等式的解集，再根据所给解集求解m值即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程，会由不等式的解集得出参数方程是解答的关键． 12．如图，将长方形纸片沿直线AB折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是 ． 【答案】70° 【知识点】折叠问题 【分析】根据折叠的性质得到∠3=∠4，求得∠470°，根据对顶角的性质即可得到结论． 【详解】如图，∵将长方形纸片沿直线AB折叠，∴∠3=∠4． ∵∠1+∠3+∠4=180°，∠1=40°，∴∠470°，∴∠2=∠4=70°． 故答案为70°． 【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 13．如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 【答案】17 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 14．已知在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高为，那么BC的长是 ． 【答案】4cm或2cm/2cm或4cm 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】首先应分两种情况进行讨论，∠C是锐角和钝角两种情况．在直角△ABD和直角△ACD中，利用勾股定理求得BD，CD的长，当∠C是锐角时，BC＝BD+CD；当∠C是钝角时，BC＝BD﹣CD，据此即可求解． 【详解】解：在直角△ABD中， 在直角△ACD中， 当∠C是锐角时（如图1），D在线段BC上， BC＝BD+CD＝3+1＝4； 当∠C是钝角时，D在线段BC的延长线上时（如图2）， BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2cm． 则BC的长是4cm或2cm． 故答案是：4cm或2cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，分类讨论三角型的形状是解题的关键． 15．如图的三角形纸片中，AB=5，AC=6，BC=4，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 ． 【答案】7 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】由折叠可得DE=DC，BC=BE，可求AE=1，则△AED的周长=AD+DE+AE=CD+AE=7 【详解】解：∵折叠 ∴BC=BE，DE=CD ∵AB=5，BC=4 ∴AE=1 ∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+CD+1=AC+1=7 故答案为7 【点睛】本题考查了折叠问题，熟练运用折叠的性质解决问题是本题的关键． 16．如图，等边三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以等边三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作等边三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，那么S3 ．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn． 【详解】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC， ∴BB1＝1，AB＝2， 根据勾股定理得：AB1＝ ∴S1＝× ×＝ ∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1， ∴B1B2＝，AB1＝， 根据勾股定理得：AB2＝ ， ∴S2＝＝， 依此类推，Sn＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，属于归类规律类题型，熟悉掌握等边三角形的性质是解题的关键. 3． 解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．已知改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元． (1)求改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元． (2)若要改造的A类学校比B类学校的2倍多2所，在计划投入资金不超过1555万元的条件下，最多能改造多少所B类学校． 【答案】(1)改造一所A类学校所需资金60万元，改造一所B类学校所需资金85万元 (2)最多能改造7所B类学校 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设改造一所A类学校和一所类学校所需的资金分别为x万元，y万元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设改造B类学校a所，则改造A类学校所，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）设改造一所A类学校和一所类学校所需的资金分别为x万元，y万元， 依题意得，解得： ∴改造一所A类学校所需资金60万元，改造一所B类学校所需资金85万元， （2）设改造B类学校a所，则改造A类学校所， 依题意得：，解得：， ∴最多能改造7所B类学校． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键． 18．如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】过直线外一点作这条直线的平行、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）如图所示，过点E作交于F，点F即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；    （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．    19．为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米 (2)乙工程队每天的施工费用最多是万元 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米，根据甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程列出方程组求解即可； （2）设乙工程队每天的施工费用为m万元，根据总费用不超过12万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米； （2）解：设乙工程队每大的施工费用为m万元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为， ∴乙工程队每天的施工费用最多是万元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 20．（1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1） （2）0,1,2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、实数的混合运算 【分析】（1）先开方和求绝对值，再加减 （2）先求出每个不等式的解集，再综合求两个不等式的交集为不等式组的解集． 【详解】（1）原式 故答案为： （2） 由得： 由得： 综上所述得： 故符合条件的非负正数解有：0,1,2 故答案为：0,1,2 【点睛】本题考查实数的加减、开方运算和不等式组的求解，掌握这些知识和方法是本题关键． 21．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 【答案】(1)购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元 (2)甲种农机具最多能购买8件 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用； （）设甲种农机具购买件，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过48万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元 根据题意得： ； 解得： ； 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴一台甲种农机具需万元． 答：购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元； （2）解：设甲种农机具购买件，则乙种农机具购买件， 由题意得； 解得； 答：甲种农机具最多能购买8件． 22．体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【答案】(1) (2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设米，则绳子长为米， 故答案为：； （2）在中，米，米，米， 由勾股定理得：， 解得：， 答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 23．为了保护环境，某企业决定购买台污水处理设备，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，现有A，B两种型号的设备可供选择，其中每台的价格、月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） (1)该企业有几种购买方案？ (2)若企业每月产生的污水量为吨，为节约资金，应选择哪种购买方案？ 【答案】(1)该企业共有4种购买方案，方案1：购买台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备；方案4：购买3台A型设备，7台B型设备； (2)购买2台A型设备，8台B型设备 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设购买x台A型设备，则购买台B型设备，利用总价单价数量，结合该企业购买设备的资金不高于万元，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x为自然数，即可得出各购买方案； （2）根据购买的台设备月处理污水量不少于吨，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合且m为自然数，可得出各购买方案，再求出选项各购买方案所需购买资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买x台A型设备，则购买台B型设备， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为自然数， ∴x可以为0，1，2，3， ∴该企业共有4种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备；方案4：购买3台A型设备，7台B型设备； （2）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 根据题意得：， 解得：， 又∵，且m为自然数， ∴m可以为2，3， ∴该企业共有2种购买方案： 方案1：购买2台A型设备，8台B型设备，所需资金为（万元）； 方案2：购买3台A型设备，7台B型设备，所需资金为（万元）． ∵， ∴为节约资金，应选择购买方案1：购买2台A型设备，8台B型设备． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 24．如图，在中，． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，D为外的一点，连接，且，，过点C作交的延长线于点E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点P，过E点作交的延长线于点M，点K为直线上点的一个动点，连接，过M点作，且始终满足，连接，若，请求出取得最小值时的值． 【答案】（1）6；（2）见解析；（3） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB边上的高，再利用三角形面积公式求解； （2）通过在BE上截取BF=BD，构造出两组全等三角形，即可完成求证； （3）先通过延长ME，构造全等三角形，得出，利用轴对称，得出的最小值等于，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：（1）如图，过C点作CD⊥AB，垂足为点D， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴的面积为6． （2）如图所示，在BE上截取， ∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，∠1+∠DBC+∠2=180°，且∠1=∠BCD， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴, ∵, ∴, ∴； （3）如图3，延长ME至F，使MF=MA，连接KF， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作M点关于的对称点， 则， ∴， 连接，则， ∴当共线时的值最小，等于， ∴取得最小值时的值即为的值， 连接， 由轴对称的性质可得：，， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 如图4，取中点O点，连接OC，OM，作于， ∵， ∴， ∴ 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为． 故答案为 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$