第2章 5. 实验：用单摆测量重力加速度-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册学习手册（人教版2019）

学 第二章 机 械 振 动 知 识 梳 理 知识点 利用单摆测重力加速度 由 T＝2π l g 姨 知 g＝ 4π 2 l T 2 ， 即只要测出 单摆的摆长 l 和周期 T ， 就可以求出当地的 重力加速度。 要 点 突 破 要点 用单摆测定重力加速度 1. 仪器和器材。 摆球 2 个 （铁质和铜质并穿有中心孔）、 秒表、 物理支架、 米尺或钢卷尺、 游标卡 尺、 细线等。 2. 实验步骤。 （ 1 ） 做单摆： 如图所示， 把摆 球用细线悬挂在支架上， 摆长最好能有 1 m 左右， 这样可使测量结果更准确些。 （ 2 ） 测摆长： 用毫米刻度尺量出悬线长 l′ ， 精确到毫米， 用游标卡尺测量出摆球的 直径 d ， 精确到毫米， 则 l＝l′＋ d 2 即为单 摆的摆长。 （ 3 ） 测周期： 将单摆从平衡位置拉开一个角 度， 且满足摆角很小， 然后释放摆球， 过平衡位置时用秒表开始计时， 测量 30～50 次全振动的时间， 计算出平均摆 动一次全振动的时间， 即为单摆的振动 周期 T 。 （ 4 ） 变摆长： 将单摆的摆长变短 （或变长）， 重复实验三次， 测出相应的摆长 l 和周 期 T 。 3. 数据处理。 （ 1 ） 平均值法： 每改变一次摆长， 将相应的 l 和 T 代入公式 g＝ 4π 2 l T 2 中求出 g 值， 最 后求出 g 的平均值。 5. 实验： 用单摆测量重力加速度 期为 T＝2 s ， 根据单摆的周期公式 T＝2π l g 姨 可得 l＝ gT 2 4π 2 ＝ 10×2 2 4×3.14 2 m≈1.01 m 。 （ 2 ） 对摆球从 B 到 O 的过程运用动能定理 可得 mgl （ 1-cos θ ） ＝ 1 2 mv 2 ① 又因为 1-cos θ＝2sin 2 θ 2 ② 由于 θ 角很小， 近似有 sin θ 2 ≈ A 2 l ③ 联立 ①②③ 式可得 v＝ 2gl （ 1-cos θ ） 姨 ≈A g l 姨 ＝ 0.157 m/s 。 答案： （ 1 ） 单摆的振幅为 5 cm ， 摆长约为 1.01 m 。 （ 2 ） 估算单摆振动时最大速度为 0.157 m/s 。 变式训练答案 1. B 2. 1.9π l g 姨 43 学 第一册 （人教版）高中物理选择性必修 设计如下所示实验表格： （ 2 ） 图像法： 由 T＝2π l g 姨 得 T 2 ＝ 4π 2 g l 。 作出 T 2 -l 图像， 即以 T 2 为纵轴， 以 l 为横轴， 其 斜率 k＝ 4π 2 g ， 由图像的斜率即可求出重 力加速度 g 。 （ 3 ） 作 T 2 -l 图像的优点： 用图像法处理数据 既直观又方便， 同时也能最大限度地减 小偶然误差对实验结果造成的影响。 由 于 T-l 的图像不是直线， 不便于进行数 据处理， 所以采用 T 2 -l 的图像， 目的是 将曲线转换为直线， 便于利用直线的斜 率计算重力加速度。 例 在做 “用单摆测定重力加速度” 的实 验时， 用摆长 l 和周期 T 计算重力加速度 的公式是 g＝ 。 若已知摆球直径为 2.00 cm ， 让刻度尺的 0 点对准摆线的悬点， 摆线竖直下垂， 如图甲所示， 则单摆摆长是 m 。 若测定了 40 次全振动的时间如 图乙中秒表所示， 则秒表读数是 s ， 单摆摆动周期是 s 。 为了提高测量精度， 需多次改变 l 值， 并测得相应的 T 值。 现将测得的六组数据标 示在以 l 为横坐标、 T 2 为纵坐标的坐标系 上， 即图中用 “·” 标出， 则： 实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 加速度 g/ （ m · s －2 ） g 的平均值 / （ m · s －2 ） 1 g= g 1 +g 2 +g 3 3 2 3 T 2 /s 2 l/m O （ 1 ） 选择材料时应选择细而不易伸长的 线， 长度在 1 m 左右， 小球应密度 较大、 直径较小。 （ 2 ） 线应夹在铁夹的下面， 防止因摆动 而改变摆线的长度。 （ 3 ） 注意摆动时控制摆线偏离竖直方向 在很小的角度范围。 （ 4 ） 摆球摆动时， 要使之保持在同一个 竖直平面内， 不要形成圆锥摆。 方 法是将摆球拉到一定位置后由静止 释放。 温馨提醒 甲 乙 T 2 /s 2 l/m 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 4.0 3.0 2.0 丙 例题图 （ 5 ） 计算单摆的振动次数时， 应在摆球 通过最低位置时开始计时， 之后应 在摆球从同一方向通过最低点时计 数， 要多测几次 （如 30 次或 50 次） 全振动的时间， 用取平均值的方法 求周期。 44 学 第二章 机 械 振 动 （ 1 ） 单摆做简谐运动应满足的条件是 。 （ 2 ） 试根据图丙中给出的数据点作出 T 2 和 l 的关系图线， 根据图线可求出 g＝ m/s 2 。 （结果取两位有效数字） 解析： 由 T＝2π l g 姨 ， 可知 g＝ 4π 2 l T 2 。 由图 可知 ： 摆长 l＝ （ 88.50-1.00 ） cm＝87.50 cm＝ 0.875 0 m 。 秒表的读数 t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s ， 所以 T＝ t 40 ＝1.88 s 。 （ 1 ） 单摆做简谐运动的条件是摆角小于 5° 。 （ 2 ） 把在一条直线上的点连在一起， 误差较 大的点平均分布在直线的两侧， 则直线斜率 k＝ ΔT 2 Δl ＝ 4.2-2.4 1.025-0.6 ≈4.2 ， 而由 T＝2π l g 姨 得 T 2 ＝ 4π 2 g · l ， 故 k＝ 4π 2 g ， g＝ 4π 2 k ＝ 4π 2 4.2 ≈9.4 m/s 2 。 答案： 4π 2 l T 2 0.8750 75.2 1.88 （ 1 ） 摆角小于 5° （ 2 ） 图见解析， 9.4 （ 9.3～9.5 均可） 变式训练 1 某同学利用单摆测定 当地重力加速度， 发现单 摆静止时摆球重心在球心 的正下方， 他仍将从悬点 到球心的距离当作摆长 L ， 通过改变摆线的长度， 测 得 6 组 L 和对应的周期 T ， 画出 L-T 2 图线， 然后在图线上选取 A 、 B 两个点， 坐标如图 所示。 他采用恰当的数据处理方法， 则计算 重力加速度的表达式应为 g＝ 。 请 你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就 在球心处的情况相比， 将 （填 “偏 大” “偏小” 或 “相同”）。 拓 展 创 新 某小组在做 “用单摆测定重力加速度” 的实验后， 为了进一步探究， 将单摆的轻 质细线改为刚性重杆 。 通过查资料得知 ， 这样做成的 “复摆” 做简谐运动的周期 T＝ 2π I C +mr 2 mgr 姨 ， 式中 I C 为由该摆决定的常量， m 为摆的质量， g 为重力加速度， r 为转轴 到中心 C 的距离。 如图甲， 实验时杆上不同 位置打上多个小孔， 将其中一个小孔穿在光 滑水平轴 O 上， 使杆做简谐运动， 测量并记 录 r 和相应的运动周期 T ， 然后将不同位置 的孔穿在轴上重复实验， 实验数据见表， 并 测得摆的质量 m＝0.50 kg 。 （ 1 ） 单摆的摆长是悬点到小球重心的 距离。 （ 2 ） 描完点后， 用直线把这些点连起来， 不在线上的点均匀分布在线的两侧， 离线较远的点舍弃不用。 （ 3 ） 在坐标系 T 2 -l 中， 纵轴和横轴的起 点都不是 0 。 思路点拨 T 2 /s 2 L/m L B L A A O B T 2 A T 2 B 变式训练 1 题图 T 2 /s 2 l/m 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 4.0 3.0 2.0 例题答图 45 学 第一册 （人教版）高中物理选择性必修 （ 1 ） 由实验数据得出图乙所示的拟合直线， 图中纵轴表示 。 （ 2 ） I C 的国际单位为 ， 由拟合直线 得 I C 的值为 （保留到小数点后 两位）。 （ 3 ） 若摆的质量测量值偏大， 重力加速度 g 的测量值 （填 “偏大” “偏 小” 或 “不变”）。 解析 ： （ 1 ） 由 T＝2π I C +mr 2 mgr 姨 整理得 T 2 r＝ 4π 2 g r 2 + 4π ２ mg I C ， 因此横坐标为 r 2 ， 纵坐标即为 T 2 r 。 （ 2 ） 根据 T 2 r＝ ４π 2 r 2 g + 4π 2 mg I C 可知， ４π 2 mg I C 与 ４π 2 r 2 g 的单位是相同的， 因此 I C 的单位即为 kg · m 2 ； 图像的斜率 k＝ ４π 2 g ， 由图可知 k＝ 1.95-1.25 0.19 ＝3.68 ； 解得 g＝10.7 m/s 2 ； 由图可 知 ４π 2 mg I C ＝1.25 ， 则 I C ＝0.17 。 （ 3 ） 根据上式可知， 质量的测量值偏大， 不 影响重力加速度的测量值， 即为不变。 答案： （ 1 ） T 2 r （ 2 ） kg · m 2 0.17 （ 3 ） 不变 变式训练 2 在 “用单摆测量重力加速度的大小” 的 实验中 （ 1 ） 对测量原理的理解正确的是 （填序号）。 A． 由 g＝ 4π 2 l T 2 可知， T 一定时， g 与 L 成正比 B． 由 g＝ 4π 2 l T 2 可知， l 一定时， g 与 T 2 成反比 C． 单摆的振动周期 T 和摆长 l 可用实验测 定， 由 g＝ 4π 2 l T 2 可算出当地的重力加速度 （ 2 ） 为了利用单摆较准确地测出重力加速 度， 应当选用以下哪些器材 （填序号）。 A． 长度为 10 cm 左右的细绳 B． 长度为 100 cm 左右的细绳 C． 直径为 1.8 cm 的钢球 D． 直径为 1.8 cm 的木球 E． 最小刻度为 1 mm 的米尺 F． 秒表、 铁架台 （ 3 ） 安装好实验装置后， 先用游标卡尺测量 摆球直径 d ， 测量的示数如图甲所示， 则摆球直径 d＝ cm 。 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 r 2 /m 2 0 O C r 乙甲 cm 0 1 2 3 5 6 7 0 5 10 2 3 0 10 甲 乙 46 学 第二章 机 械 振 动 6. 受迫振动 共振 知 识 梳 理 知识点 1 阻尼振动 1. 固有振动。 如果振动系统在不受外力干预的情况下 振动， 此时的振动叫作固有振动， 其振动频 率称为固有频率。 2. 阻尼振动。 （ 1 ） 阻力作用下的振动： 当振动系统受到阻 力的作用时， 即振动受到了阻尼， 系统 克服阻尼的作用要做功， 消耗机械能， 因而振幅减小， 最后停下来。 （ 2 ） 阻尼振动： 振幅随时间逐渐减小的振 动。 振动系统受到的阻尼越大， 振幅减 小得越快， 阻尼振动的图像如图所示， 振幅越来越小， 最后停止振动。 （ 3 ） 实际振动的理想化 ： 当阻尼很小时 ， 在不太长的时间内看不出振幅明显减 小 ， 于是可以把它当作简谐运动来 处理 。 知识点 2 受迫振动 1. 持续振动的获得。 （ 4 ） 摆球摆动稳定后， 当它到达 （填 “最低点” 或 “最高点”） 时启动秒 表开始计时， 并记录此后摆球再次经过 最低点的次数 n （ n＝1 、 2 、 3 …）， 当 n＝ 60 时刚好停表。 停止计时的秒表如图 乙所示， 其读数为 s 。 （ 5 ） 计算重力加速度测量值， 如果测量值小 于真实值， 可能原因是 （填 序号）。 A． 将摆球经过最低点的次数 n 计少了 B． 计时开始时， 秒表启动稍晚 C． 将摆线长当成了摆长 D． 将摆线长和球的直径之和当成了摆长 （ 6 ） 某同学在做 “用单摆测定重力加速度” 的实验时， 在把摆球悬挂好后。 用米尺 量出悬点到小球上端的绳长 L ， 然后开 始做之后的一系列的操作， 并作出 L-T 2 的图像， 其他操作测量都无误， 则作出 的图线是图丙中的 （填 “ 1 ” “ 2 ” 或 “ 3 ”）。 如果图线斜率都为 k ， 截 距如图中标注， 则当地的重力加速度 g＝ 。 变式训练答案 1. 4仔 ２ （ L B -L A ） T 2 B -T 2 A 相同 2. （ 1 ） C （ ２ ） BCEF （ ３ ） 1.84 （ 4 ） 最低点 67.4 （ ５ ） ＡＣ （ ６ ） ３ ４k仔 2 O a -b L T 2 1 2 3 变式训练 2 题图 丙 t x O 47