第2章 4. 单摆-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册学习手册（人教版2019）

学 第二章 机 械 振 动 4. 单 摆 知 识 梳 理 知识点 1 单摆 1. 组成： （ 1 ） 长细线。 （ 2 ） 小球。 2. 理想化要求。 （ 1 ） 细线形变要求： 细线的伸缩可以忽略。 （ 2 ） 质量要求： 与小球质量相比， 细线质量 可以忽略。 （ 3 ） 细线长度要求： 球的直径与线的长度相 比可以忽略。 （ 4 ） 受力要求： 忽略摆动过程中所受阻力 作用。 实验中为满足上述条件， 我们尽量选择 质量大、 体积小的球和尽量细且弹性小的线。 3. 单摆的回复力。 （ 1 ） 回复力的提供： 摆球的重力沿圆弧切线 方向的分力。 （ 2 ） 回复力的特点： 在偏角很小时， 摆球所 受的回复力与它偏离平衡位置的位移 成正比， 方向总指向平衡位置， 即 F＝ 解析： （ 1 ） 以小球 A 为研究对象， 设它经 过平衡位置 O 时的速度为 v ， 当它从 O 运动 到最大位移处， 根据机械能守恒有 1 2 mv 2 = 1 2 kR 2 ， 由此得 v=R k m 姨 ① 。 由题中实验可知， 小球 B 在 x 方向上的 “影子” 的速度时刻与小球 A 的相等， A 经 过 O 点的速度 v 与 B 经过最低点的速度相 等， 即小球 B 做匀速圆周运动的线速度也为 v 。 小球 A 振动的周期与小球 B 做圆周运动 的周期相等。 根据圆周运动周期公式， 小球 B 的运动周期为 T= 2仔R v ② 。 联立 ①② 两式得小球 B 的运动周期为 T=2仔 m k 姨 ， 所以小球 A 的振动周期也为 T= 2仔 m k 姨 。 （ 2 ） 设小球 B 做圆周运动的角速度为 ω 。 设小球 A 从 O 向右运动、 小球 B 从最 高点向右运动开始计时， 经过时间 t ， 小球 B 与 O′ 的连线与竖直方向成 φ 角， 小球 B 在 x 方向上的位移为 x＝Rsin φ＝Rsin ωt 。 根 据 ω= 2仔 T ， 联立以上各式得 x=Rsin k m 姨 · t 。 由题中实验可知 B 在 x 方向上的 “影子” 和 A 在任何瞬间都重合， 即小球 A 的位移规律 也为 x=Rsin k m 姨 · t ， 其中 R 、 k 、 m 为常量， 所以， 小球 A 的运动是简谐运动。 答案： （ 1 ） 证明如上。 （ 2 ） 小球 A 的位移规律也为 x=Rsin k m 姨 · t ， 其中 R 、 k 、 m 为常量。 变式训练答案 1. D ２. D O A B O′ x x B′ φ x AO 39 学 第一册 （人教版）高中物理选择性必修 - mg l x 。 （ 3 ） 运动规律： 单摆在偏角很小时做简谐 运动。 思考： 结合单摆模型的特点想一想， 下列装 置能否视为单摆， 为什么？ 提示： 都不能。 图甲中橡皮筋的伸缩不能忽 略； 图乙、 图丙中乒乓球和大木球摆动时， 空气阻力不能忽略。 知识点 2 单摆的周期 1. 定性探究单摆的振幅、 质量、 摆长对周期 的影响。 （ 1 ） 探究方法： 控制变量法。 （ 2 ） 实验结论。 ① 单摆振动的周期与摆球质量无关。 ② 振幅较小时周期与振幅无关。 ③ 摆长越长， 周期越长； 摆长越短， 周期 越短。 2. 定量探究单摆的周期与摆长的关系。 （ 1 ） 周期的测量： 用停表测出单摆 N （ 30～ 50 ） 次全振动的时间 t ， 利用 T＝ t N 计算 它的周期。 （ 2 ） 摆长的测量： 用刻度尺测出细线长度 l 0 ， 用游标卡尺测出小球直径 D ， 利用 l＝l 0 ＋ D 2 求出摆长。 （ 3 ） 数据处理： 改变摆长， 测量不同摆长及 对应周期， 作出 T-l 、 T-l 2 或 T- l 姨 图 像， 得出结论。 3. 周期公式。 （ 1 ） 提出： 周期公式是荷兰物理学家惠更斯 首先提出的。 （ 2 ） 公式： T＝2π l g 姨 ， 即 T 与摆长 l 的二 次方根成正比， 与重力加速度 g 的二次 方根成反比。 4. 利用单摆测重力加速度。 由 T＝2π l g 姨 知 g＝ 4π 2 l T 2 ， 即只要测出 单摆的摆长 l 和周期 T ， 就可以求出当地的 重力加速度。 要 点 突 破 要点 1 单摆的回复力及运动规律 1. 单摆的回复力。 如图所示， 重力 G 沿圆弧切线方向的分 力 G 1 ＝mgsin θ 是沿摆球运动方向的力， 正是 这个力提供了使摆球振动的回复力 F＝G 1 ＝ mgsin θ 。 2. 单摆做简谐运动的推证。 在偏角很小时， sin θ≈ x l ， 又回复力 F＝ mgsin θ ， 所以单摆的回复力为 F＝- mg l x （式 中 x 表示摆球偏离平衡位置的位移， l 表示 单摆的摆长， 负号表示回复力 F 与位移 x 的 铁球 橡 皮 筋 大木球 细 绳 乒乓球 细 绳 甲 乙 丙 θ l F 0 G 1 G 2 G G O A A′ F′ 40 学 第二章 机 械 振 动 方向相反）， 由此知回复力符合 F＝-kx ， 单 摆做简谐运动。 例 1 下列有关单摆运动过程中的受力， 说 法正确的是 （ ） A. 单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的 合力 B. 单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方 向的一个分力 C. 单摆经过平衡位置时合力为 0 D. 单摆运动的回复力是摆线拉力的一个 分力 解析： 单摆运动是在一段圆弧上运动， 因此 单摆运动过程中不仅有回复力， 而且有向心 力， 即单摆运动的合外力不仅要提供回复 力， 还要提供向心力， 故 A 错误； 单摆的回 复力是重力沿圆弧切线方向的分力， 故 B 正 确， D 错误； 单摆经过平衡位置时， 回复力 为 0 ， 向心力最大， 故其合力不为 0 ， 所以 C 错误。 答案： B 变式训练 1 关于单摆摆球在运动过程中的受力， 下 列结论正确的是 （ ） A. 摆球受重力、 摆线的拉力、 回复力、 向 心力作用 B. 摆球受的回复力最大时， 向心力为 0 ； 回 复力为 0 时， 向心力最大 C. 摆球受的回复力最大时， 摆线中的张力 大小比摆球的重力大 D. 摆球受的向心力最大时， 摆球的加速度 方向沿摆球的运动方向 要点 2 对单摆周期公式的理解及应用 1. 摆长 l 。 （ 1 ） 实际的单摆摆球不可能是质点， 所以摆 长应是从悬点到摆球球心的长度， 即 l＝ l′＋ d 2 ， l′ 为摆线长， d 为摆球直径。 （ 2 ） 等效摆长： 摆长是指摆动圆弧的圆心到 摆球球心的距离。 如图甲， 在垂直纸面方向摆动， 其摆长 为 l＝l 1 sinα＋ d 2 。 如图乙， 在垂直纸面方向摆动， 其摆长 为 l＝l 1 sinα＋l 2 ＋ d 2 。 2. 重力加速度 g 。 （ 1 ） 若单摆系统只处在重力场中且处于静止 状态， g 由单摆所处的空间位置决定， 即 g＝ GM R 2 ， 式中 R 为物体到地心的距 离， g 随所在地表的位置和高度的变化 而变化。 另外， 在不同星球上 M 和 R 一般不同， g 也不同。 （ 2 ） 等效重力加速度： 若单摆系统处在非平 衡状态 （如加速 、 减速 、 完全失重状 回复力是按效果命名的， 可以是某 一个力， 也可以是某个力的分力， 还可 以是几个力的合力。 思路点拨 l 1 l 1 α α l 1 l 1 αα l 2 甲 乙 41 学 第一册 （人教版）高中物理选择性必修 态）， 则一般情况下， g 值等于摆球相 对静止在自己的平衡位置时， 摆线所 受的张力与摆球质量的比值。 例 2 有一单摆， 其摆长 l＝1.02 m ， 摆球的 质量 m＝0.10 kg ， 已知单摆做简谐运动 ， 单摆振动 30 次用的时间 t＝60.8 s ， 求： （ 1 ） 当地的重力加速度是多大。 （ 2 ） 如果将这个摆改为秒摆， 摆长应怎样改 变， 改变多少。 解析： （ 1 ） 当单摆做简谐运动时， 其周期 公式 T＝2π l g 姨 ， 由此可得 g＝ 4π 2 l T 2 ， 只要求 出 T 值代入即可。 因为 T＝ t n ＝ 60.8 30 s＝2.027 s ， 所以 g＝ 4π 2 l T 2 ＝ 4×3.14 2 ×1.02 2.027 2 m/s 2 ≈9.79 m/s 2 。 （ 2 ） 秒摆的周期是 2 s ， 设其摆长为 l 0 ， 由于 在同一地点重力加速度是不变的， 根据单摆的 振动规律有 T T 0 ＝ l 姨 l 0 姨 ， 故 l 0 ＝ T 0 2 l T 2 ＝ 2 2 ×1.02 2.027 2 m＝ 0.993 m ， 其摆长要缩短 Δl＝l-l 0 ＝1.02 m- 0.993 m＝0.027 m 。 答案： （ 1 ） 9.79 m/s 2 。 （ 2 ） 其摆长要缩短 0.027 m 。 变式训练 2 如图， 一个单摆的长为 l ， 在其悬点 O 的正下方 0.19l 处有一钉子 P ， 先将摆球向 左拉开到 A ， 使摆线偏角很小， 放手使其摆 动， 求此单摆的振动周期。 拓 展 创 新 小王在实验室做单摆实验时得到如图甲 所示的单摆振动情形， O 是它的平衡位置， B 、 C 是摆球所能到达的左右最远位置， 此 时的摆动角度为 θ ， 小王通过实验测得当地 重力加速度为 g＝10 m/s 2 ， 并且根据实验情 况绘制了单摆的振动图像如图乙所示， 设图 中单摆向右摆动为正方向。 求： （ 1 ） 单摆的振幅、 摆长约为多少。 （ 2 ） 估算单摆振动时的最大速度 v 。 （可能 用到的公式 1-cos θ＝2sin 2 θ 2 ） （计算 结果均保留三位有效数字） 解析： （ 1 ） 根据图乙中单摆的振动图像可 知， 单摆的振幅为 A＝5 cm ， 单摆振动的周 O P θ 住 B 变式训练 2 题图 单摆周期公式 T＝2π l g 姨 中的 g 是单 摆所在处的重力加速度。 思路点拨 O C B t/s x/cm O 1 2 3 5 -5 甲 乙 42 学 第二章 机 械 振 动 知 识 梳 理 知识点 利用单摆测重力加速度 由 T＝2π l g 姨 知 g＝ 4π 2 l T 2 ， 即只要测出 单摆的摆长 l 和周期 T ， 就可以求出当地的 重力加速度。 要 点 突 破 要点 用单摆测定重力加速度 1. 仪器和器材。 摆球 2 个 （铁质和铜质并穿有中心孔）、 秒表、 物理支架、 米尺或钢卷尺、 游标卡 尺、 细线等。 2. 实验步骤。 （ 1 ） 做单摆： 如图所示， 把摆 球用细线悬挂在支架上， 摆长最好能有 1 m 左右， 这样可使测量结果更准确些。 （ 2 ） 测摆长： 用毫米刻度尺量出悬线长 l′ ， 精确到毫米， 用游标卡尺测量出摆球的 直径 d ， 精确到毫米， 则 l＝l′＋ d 2 即为单 摆的摆长。 （ 3 ） 测周期： 将单摆从平衡位置拉开一个角 度， 且满足摆角很小， 然后释放摆球， 过平衡位置时用秒表开始计时， 测量 30～50 次全振动的时间， 计算出平均摆 动一次全振动的时间， 即为单摆的振动 周期 T 。 （ 4 ） 变摆长： 将单摆的摆长变短 （或变长）， 重复实验三次， 测出相应的摆长 l 和周 期 T 。 3. 数据处理。 （ 1 ） 平均值法： 每改变一次摆长， 将相应的 l 和 T 代入公式 g＝ 4π 2 l T 2 中求出 g 值， 最 后求出 g 的平均值。 5. 实验： 用单摆测量重力加速度 期为 T＝2 s ， 根据单摆的周期公式 T＝2π l g 姨 可得 l＝ gT 2 4π 2 ＝ 10×2 2 4×3.14 2 m≈1.01 m 。 （ 2 ） 对摆球从 B 到 O 的过程运用动能定理 可得 mgl （ 1-cos θ ） ＝ 1 2 mv 2 ① 又因为 1-cos θ＝2sin 2 θ 2 ② 由于 θ 角很小， 近似有 sin θ 2 ≈ A 2 l ③ 联立 ①②③ 式可得 v＝ 2gl （ 1-cos θ ） 姨 ≈A g l 姨 ＝ 0.157 m/s 。 答案： （ 1 ） 单摆的振幅为 5 cm ， 摆长约为 1.01 m 。 （ 2 ） 估算单摆振动时最大速度为 0.157 m/s 。 变式训练答案 1. B 2. 1.9π l g 姨 43