第2章 3. 简谐运动的回复力和能量-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册学习手册（人教版2019）

学 第二章 机 械 振 动 知 识 梳 理 知识点 1 简谐运动的回复力 1. 回复力的作用效果： 总是把振动质点拉回 到平衡位置。 2. 回复力的定义： 振动质点受到的总能使其 回到平衡位置的力。 3. 简谐运动的动力学特征。 如果物体在运动方向上所受的力与它偏 离平衡位置位移的大小成正比， 并且总是指 向平衡位置， 质点的运动就是简谐运动。 简 谐运动的回复力 F 与位移 x 间的关系为 F＝ -kx 。 知识点 2 简谐运动的能量 1. 振动系统的状态与能量的关系。 （ 1 ） 振子的速度与动能： 速度不断变化， 动 能也不断变化。 （ 2 ） 弹簧形变量与势能： 弹簧形变量在不断 3. 简谐运动的回复力和能量 拓 展 创 新 在心电图仪、 地震仪等仪器工作过程 中， 要进行振动记录， 如图甲所示是一个常 用的记录方法， 在弹簧振子的小球上安装一 支记录用笔 P ， 在下面放一条白纸带。 当小 球振动时， 匀速拉动纸带 （纸带运动方向与 振子振动方向垂直）， 笔就在纸带上画出一 条曲线， 如图乙所示。 （ 1 ） 若匀速拉动纸带的速度为 1 m/s ， 则由 图中数据算出振子的振动周期为多少？ （ 2 ） 作出 P 的振动图像。 （ 3 ） 若拉动纸带做匀加速运动， 且振子振动 周期与原来相同， 由图丙中的数据求纸 带的加速度大小。 解析： （ 1 ） 纸带做匀速运动， 一个周期内 前进 20 cm ， 故周期为 T＝ 0.2 m 1 m/s =0.2 s 。 （ 2 ） 振幅为 2 cm ， 作出 P 的振动图像， 如 图所示。 （ 3 ） 拉动纸带做匀加速运动， 根据公式 Δx＝ aT 2 ， 有［（ 46-21 ） -21 ］ ×0.01＝a×0.2 2 ， 解得 a＝ 1 m/s 2 。 答案： （ 1 ） 振子的振动周期为 0.2 s 。 （ 2 ） P 的振动图像见解析。 （ 3 ） 纸带的加速度大小为 1 m/s 2 。 变式训练答案 1. （ 1 ） 10 cm （ 2 ） 1 s 1 Hz （ 3 ） 200 cm 2. AC t/s x/cm 2 4 2 0 -2 P 20 40 60 O 2 cm -2 cm （ cm ） 1 m/s 10 46 O （ cm ） 21 33 甲 乙 丙 35 学 第一册 （人教版）高中物理选择性必修 变化， 因而势能也在不断变化。 2. 简谐运动的能量。 一般指振动系统的机械能。 振动的过程 就是动能和势能互相转化的过程。 （ 1 ） 在最大位移处， 势能最大， 动能为 0 。 在平衡位置处， 动能最大， 势能最小。 （ 2 ） 在简谐运动中， 振动系统的机械能守 恒， 简谐运动是一种理想化的模型。 要 点 突 破 要点 1 简谐运动的动力学特征 1. 对回复力的理解。 （ 1 ） 回复力的来源。 回复力是根据力的效果命名的， 它可以 是一个力， 也可以是多个力的合力， 还可以 由某个力的分力提供。 例如： 如图甲所示， 水平方向的弹簧振子， 弹力充当回复力； 如 图乙所示， 竖直方向的弹簧振子弹力和重力 的合力充当回复力； 如图丙所示， A 随 B 一 起振动， A 的回复力是静摩擦力。 （ 2 ） 简谐运动的回复力 F＝-kx 。 ① 方向和大小 由 F＝-kx 知， 简谐运动的回复力大小与 振子的位移大小成正比， 回复力的方向与位 移的方向相反， 即回复力的方向总是指向平 衡位置。 ② 简谐运动的加速度 根据牛顿第二定律， a＝ F m ＝- k m x ， 表明 弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也 与位移大小成正比， 加速度方向与位移方向 相反， 总指向平衡位置。 故振动质点向平衡 位置靠近时， 做加速运动， 远离平衡位置 时， 做减速运动。 2. 判断振动为简谐运动的方法。 （ 1 ） 运动学方法： 找出质点的位移与时间的 关系， 若遵从正弦函数的规律， 即它的 振动图像 （ x-t 图像） 是一条正弦曲线， 就可判定此振动为简谐运动， 通常的问 题判定中很少应用这个方法。 （ 2 ） 动力学方法： 找出回复力和位移的关 系， 若满足 F＝-kx 的规律， 就可以判定 此振动为简谐运动， 此方法是既简单又 常用的方法。 例 1 如图甲所示， 挂在竖直弹簧下面的小 球， 用手向下拉一段距离， 然后放手， 小 球上下振动。 试判断小球的运动是否为简谐 运动。 A 乙 A 甲 A B 丙 小球振动的平衡位置并不是弹簧原 长处， 而是原来小球静止的位置。 思路点拨 乙甲 例 1 题图 F′ h 0 原长 A 静止位置 O C mg 36 学 第二章 机 械 振 动 解析： 设振子的平衡位置为 O ， 方向向下为 正方向， 小球静止时弹簧已经有了一个伸长 量 h 0 ， 设弹簧的劲度系数为 k ， 由平衡条件 得 kh 0 ＝mg ① ， 在弹性限度内把小球向下拉 一段距离至 C 点， 如图乙所示， 释放小球则 开始振动。 在小球振动过程中到达平衡位置 O 点下方某一点， 此时振子向下偏离平衡位 置的距离为 x ， 回复力即合外力为 F 回 ＝mg- k （ x＋h 0 ） ② ， 将 ① 代入 ② 式得 F 回 ＝-kx ， 可见小 球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动 的受力特点， 该振动系统的振动是简谐运动。 答案： 是简谐运动。 变式训练 1 如图所示， 质量为 m 的 物体 A 放置在质量为 M 的 物体 B 上， B 与弹簧相连， 它们一起在光滑水平面上做简谐运动， 振动 过程中 A 、 B 之间无相对运动， 设弹簧的劲 度系数为 k ， 当物体离开平衡位置的位移为 x 时， A 、 B 间摩擦力的大小等于 （ ） A. 0 B. kx C. m M kx D. m M+m kx 要点 2 简谐运动中各个物理量的变化 规律 1. 从回复力的方向分析简谐运动的运动 性质。 由于回复力总指向平衡位置， 故当简谐 运动的质点向平衡位置靠近时， 做加速度逐 渐减小的加速运动， 当质点远离平衡位置 时， 做加速度逐渐增大的减速运动。 2. 根据水平弹簧振子图， 可分析各个物理量 的变化关系如下： A B 变式训练 1 题图 振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 方向 向左 向右 向右 向左 回复力 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹簧的势能 减小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 A′ O A （ 1 ） 简谐运动中， 在最大位移处， x 、 F 、 a 、 E p 最大， v＝0 ， E k ＝0 ； 在平衡位置 处， x＝0 ， F＝0 ， a＝0 ， E p 最小， v 、 E k 最大。 （ 2 ） 简谐运动中振动系统的动能和势能 相互转化， 机械能的总量不变， 即 机械能守恒。 （ 3 ） 在简谐运动中， 相邻两次经过同一位 置时， 由于势能相等， 所以动能相等； 相邻两次经过同一位置时， 速度大小 相等、 方向相反。 （ 4 ） 在简谐运动中， 当振动质点经过关 于平衡位置对称的两点时， 由于势 能相等， 所以动能相等， 速度大小 也就相等。 温馨提醒 37 学 第一册 （人教版）高中物理选择性必修 例 2 （多选） 关于质点做简谐运动的说法正 确的是 （ ） A. 在某一时刻， 它的速度与回复力的方向 相同， 与位移的方向相反 B. 在某一时刻， 它的速度、 位移和加速度 的方向都相同 C. 在某一段时间内， 它的回复力的大小增 大， 动能也增大 D. 在某一段时间内， 它的势能减小， 加速 度的大小也减小 解析： 质点从最大位移处向平衡位置运动的 过程中， 速度和回复力方向相同， 但与位移 方向是相反的， A 正确； 质点的加速度与位 移的方向总相反， B 错误； 质点从平衡位置 向最大位移处运动过程中， 回复力增大， 速 度减小， 动能减小， C 错误； 质点从最大位 移处向平衡位置运动过程中， 势能减小， 回 复力减小， 加速度也减小， D 正确。 答案： AD 变式训练 2 一质点做简谐运 动， 其振动图像如图 所示， 在 t 1 和 t 2 时刻 的位移为 x 1 ＝x 2 ＝7 cm ， 在 t 3 时刻的振动位移 为 x 3 ＝-5 cm ， 以 v 1 、 v 2 、 v 3 和 a 1 、 a 2 、 a 3 分别 表示 t 1 、 t 2 、 t 3 时刻质点振动速度大小和加速 度大小， 则以下关系正确的是 （ ） A. v 1 ＝v 2 ＞v 3 a 1 ＝a 2 ＞a 3 B. v 1 ＝v 2 ＜v 3 a 1 ＝a 2 ＜a 3 C. v 1 ＝v 2 ＞v 3 a 1 ＝a 2 ＜a 3 D. v 1 ＝v 2 ＜v 3 a 1 ＝a 2 ＞a 3 拓 展 创 新 如图所示， 把一个有孔的小球 A 装在轻 质弹簧的一端， 弹簧的另一端固定， 小球穿 在沿水平 x 轴的光滑杆上， 能够在杆上自由 滑动。 把小球沿 x 轴拉开一段距离， 小球将 做振幅为 R 的振动， O 为振动的平衡位置。 另一小球 B 在竖直平面内以 O′ 为圆心， 在 电动机的带动下， 沿顺时针方向做半径为 R 的匀速圆周运动。 O 与 O′ 在同一竖直线上。 用竖直向下的平行光照射小球 B ， 适当调整 B 的转速， 可以观察到小球 B 在 x 方向上的 “影子” 和小球 A 在任何瞬间都重合。 已知 弹簧劲度系数为 k ， 小球 A 的质量为 m ， 弹 簧的弹性势能表达式为 1 2 kx 2 ， 其中 k 是弹 簧的劲度系数， x 是弹簧的形变量。 （ 1 ） 请结合以上实验证明： 小球 A 振动的周 期 T＝2π m k 姨 。 （ 2 ） 简谐运动的一种定义是： 如果质点的位 移 x 与时间 t 的关系遵从正弦函数的规 律， 即它的振动图像 （ x-t 图像） 是一 条正弦曲线， 这样的振动叫作简谐运 动。 请根据这个定义并结合以上实验证 明： 小球 A 在弹簧作用下的振动是简谐 运动， 并写出用已知量表示的位移 x 与 时间 t 关系的表达式。 x/cm t/s 10 7 -5 -10 O t 1 t 2 t 3 0.2 变式训练 2 题图 考查简谐运动中各物理量间的关系。 思路点拨 影子平行 O A B O′ x 38 学 第二章 机 械 振 动 4. 单 摆 知 识 梳 理 知识点 1 单摆 1. 组成： （ 1 ） 长细线。 （ 2 ） 小球。 2. 理想化要求。 （ 1 ） 细线形变要求： 细线的伸缩可以忽略。 （ 2 ） 质量要求： 与小球质量相比， 细线质量 可以忽略。 （ 3 ） 细线长度要求： 球的直径与线的长度相 比可以忽略。 （ 4 ） 受力要求： 忽略摆动过程中所受阻力 作用。 实验中为满足上述条件， 我们尽量选择 质量大、 体积小的球和尽量细且弹性小的线。 3. 单摆的回复力。 （ 1 ） 回复力的提供： 摆球的重力沿圆弧切线 方向的分力。 （ 2 ） 回复力的特点： 在偏角很小时， 摆球所 受的回复力与它偏离平衡位置的位移 成正比， 方向总指向平衡位置， 即 F＝ 解析： （ 1 ） 以小球 A 为研究对象， 设它经 过平衡位置 O 时的速度为 v ， 当它从 O 运动 到最大位移处， 根据机械能守恒有 1 2 mv 2 = 1 2 kR 2 ， 由此得 v=R k m 姨 ① 。 由题中实验可知， 小球 B 在 x 方向上的 “影子” 的速度时刻与小球 A 的相等， A 经 过 O 点的速度 v 与 B 经过最低点的速度相 等， 即小球 B 做匀速圆周运动的线速度也为 v 。 小球 A 振动的周期与小球 B 做圆周运动 的周期相等。 根据圆周运动周期公式， 小球 B 的运动周期为 T= 2仔R v ② 。 联立 ①② 两式得小球 B 的运动周期为 T=2仔 m k 姨 ， 所以小球 A 的振动周期也为 T= 2仔 m k 姨 。 （ 2 ） 设小球 B 做圆周运动的角速度为 ω 。 设小球 A 从 O 向右运动、 小球 B 从最 高点向右运动开始计时， 经过时间 t ， 小球 B 与 O′ 的连线与竖直方向成 φ 角， 小球 B 在 x 方向上的位移为 x＝Rsin φ＝Rsin ωt 。 根 据 ω= 2仔 T ， 联立以上各式得 x=Rsin k m 姨 · t 。 由题中实验可知 B 在 x 方向上的 “影子” 和 A 在任何瞬间都重合， 即小球 A 的位移规律 也为 x=Rsin k m 姨 · t ， 其中 R 、 k 、 m 为常量， 所以， 小球 A 的运动是简谐运动。 答案： （ 1 ） 证明如上。 （ 2 ） 小球 A 的位移规律也为 x=Rsin k m 姨 · t ， 其中 R 、 k 、 m 为常量。 变式训练答案 1. D ２. D O A B O′ x x B′ φ x AO 39