2024-2025学年上海九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

2024-2025学年沪教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（        ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 2．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 3．（2021九年级·上海·专题练习）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 5．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于（   ） A． B． C． D． 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（九年级上·上海杨浦·期中）在中，若，，，则 8．（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于 ． 9．（24-25九年级上·上海·期中）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 10．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 11．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 米． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，则 ．    13．（九年级上·上海嘉定·期中）若与的方向相反，且长度为5，用表示，则= ． 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，G是重心，，，那么 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 16．（24-25九年级上·上海·期中）已知中，，，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为 ．（用含有m的代数式表示） 17．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ． 18．（九年级上·上海·期中）如图，已知，分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且，如果，，，那么 . 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：，，求代数式的值． 20．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 21．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，点F是的中点，和相交于点E，如果，， (1)_________，___________； (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论） 22．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 23．（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点． (1)求证：是和的比例中项； (2)若，求的值． 24．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 25．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 26．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，过点作交于点，点、分别在射线和线段上．    (1)求线段的长； (2)如图2，当点在线段上（点与点不重合），且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果为等腰直角三角形，求线段的长． 27．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，． (1)如图1，当点是线段的中点时，求的值； (2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域； (3)当时，求的面积． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷2 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（        ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了平面向量，根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，故本选项正确； 、如果，那么，故本选项正确； 、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误 ； 、如果为单位向量，且，那么，故本选项正确； 故选：． 2．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．（2021九年级·上海·专题练习）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】根据相似图形的性质解答． 【详解】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，正确理解图形的相似是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    5．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了黄金分割比，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割比的表示形式是解题的关键． 由题意知，，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，即，整理得，， ， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：C． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定，先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（九年级上·上海杨浦·期中）在中，若，，，则 【答案】4 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为4． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键． 8．（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，难度适中．通过作高构造包含顶角的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，作于D，于E．    ∵， ∴． 在直角三角形中， ∵， ∴． ∵， ∴ 在直角三角形中， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海·期中）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 【答案】/ 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，先去括号，然后移项合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，列出方程解题即可． 【详解】解：设的距离为，则， 根据题意列方式： ， ， 整理得： ， ， 根据求根公式， 解出，（舍去）． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 米． 【答案】150 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，根据在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为计算即可得出答案，注意单位的换算． 【详解】解：在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，则 ．    【答案】6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：6． 13．（九年级上·上海嘉定·期中）若与的方向相反，且长度为5，用表示，则= ． 【答案】 【分析】根据向量与单位向量的关系解决问题即可． 【详解】解：∵若与的方向相反，且长度为5， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查平面向量与单位向量的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，G是重心，，，那么 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．连接并延长交于E，根据重心的概念和性质得到，进而可得，由题意可得，进而可得，根据相似三角形对应边长的比例相等即可求出． 【详解】解：如图，连接并延长交于E， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、求角的余弦值 【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 【详解】解：设，， ∴， ∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·上海·期中）已知中，，，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为 ．（用含有m的代数式表示） 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．由角平分的定义和等腰三角形的判定和性质可设，再根据相似三角形的判定和性质得到求得，同理可得，再根据相似三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：如图： ， 平分交于， ， ， ， ，， ， 设， 则， ， ， 整理得：， 解得：， 同理可得， 设， ， ， ， 解得：， 故答案为： 17．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ． 【答案】 或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键；分两种情况讨论，当时，，当时，，再分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为 或， 故答案为： 或． 18．（九年级上·上海·期中）如图，已知，分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且，如果，，，那么 . 【答案】 【详解】解：作AN∥DF，交BE于M，交CF于N，如图，易得四边形AMED、四边形ANFD都是平行四边形，∴FN=EM=AD=3，∴CN=CF﹣NF=7﹣3=4，∵BM∥CN，∴△ABM∽△ACN，∴BM：CN=AB：AC，∵AB：BC=1：2，∴AB：AC=1：3，∴BM：4=1：3，∴BM=，∴BE=BM+ME=+3=．故答案为． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了平行线分线段成比例定理． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：设，则，，， ， ， 解得：， ，，， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设法”表示出、、求解更简便． 20．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识． （1）证明即可； （2）过点作于点，再根据等腰三角形的性质，三角函数即可求解． 添加适当的辅助线是本题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：过点作于点， ， ， ， 则， ， 在中，， 解得：， ， ． 21．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，点F是的中点，和相交于点E，如果，， (1)_________，___________； (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结论） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、利用平行四边形的性质证明、向量的线性运算 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可； （2）过点A作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，即为所求． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：如图过点A作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，即为所求． 22．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 23．（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点． (1)求证：是和的比例中项； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据平行四边形对边平行证明，，进而可得，从而得出结论； （2）证明，根据由相似三角形的面积比等于相似比的平方即得结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，， ∴， ∴    ① ∵在平行四边形中，， ∴， 得   ．②   由①②得  即 ． 所以是和的比例中项． （2）∵在平行四边形中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得 ． 24．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 25．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，. (2)在中，；在中， (3)存在，在中，；在中， 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、已知正弦值求边长 【分析】（1）根据题意表示出和即可. （2）分情况讨论，当时，①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时， 有．分别根据相似三角形的性质得出比例代入求出t的值即可. （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义得出，,再根据三角形面积公式可得出，代入求解出t的值. 当时，点P与C重合．即代入求解出t的值. 【详解】（1）解：，， ∴，. （2）当时，①若，则有． ∴． ∵，，，， ∴， 解得：． ②∵，若，则有． ∴． ∴， 解得：．（不符合题意，舍去） 当时，点P与C重合． ∵，只有当时， 有． ∴． ∴， 解得：． 综上所述： 在中，当时，． 在中，当时，． （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E． ∴，, 如果的面积恰好为面积一半， 那么， ∴， 得：， 解得：或者（舍去）． 当时，点P与C重合．即， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， 解得：． 综上所述： 在中，当时，的面积恰好为面积一半． 在中，当时，的面积恰好为面积一半. 【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键. 26．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，过点作交于点，点、分别在射线和线段上．    (1)求线段的长； (2)如图2，当点在线段上（点与点不重合），且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果为等腰直角三角形，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)为或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、公式法解一元二次方程、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过A作，于是得到，解直角三角形即可得到结论； （2）过M作于P，于K，反向延长交于Q，则，解直角三角形求得，，，于是得到，，推出，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论； （3）①当M在线段上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到，列方程得到，解方程即可得到结论；②当M在的延长线上时，根据已知条件得到，由全等三角形的性质得到，由（2）知，，，列方程即可得到结论．③当时，过点N作交，于点P，H，作交的延长线于点R，交直线于点Q．利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：过A作，    ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：过M作于P，于K，反向延长交于Q，      则， 在中， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 当N与D重合是时， ， 整理，， 解得，（点不在线段上，不符合题意，舍去） 因为点与点不重合 所以 则； （3）解：①当M在线段上时， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 则 由（2）知 ∴ 由（1）知， 故， 则， 故， ②当M在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由（2）知，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ③当时，过点N作交，于点P，H，作交的延长线于点R，交直线于点Q    由， 可得，， 设，则，， ∴， 由，可得， ∴， ∴ 综上所述，为或或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，求函数的解析式，要求有较强的作辅助线能力，证明以及分类讨论是解题的关键． 27．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，． (1)如图1，当点是线段的中点时，求的值； (2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域； (3)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点A作于H，证明，求出，再求出，然后由锐角三角函数定义求解即可； （2）过点作，交于点，证明，由相似三角形的性质得到，据此解题； （3）①当点D在BC延长线上时，过点A作于点H，证明，求出，则，得到，再由三角形面积公式解题； ②当点D在BC上时，过点A作于H，过点C作交AD的延长线于M，证明，求出，再证明，得到，然后证明，求出，则，得到即可解题． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴ 过点作，垂足为， ∴ 在与中， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴，， ∵是线段的中点， ∴， ∴， 在中， （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 如图，过点作，交于点， ∵，， ∵，，，， ∴， ∴ 在与中，， ∴ ∴， ∴， ∴ （3）情况一：当点在的延长线上时，可证 ∴， ∴． ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴ 情况二：当点在的边上时，可证 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 类似的，如图，过点作交的延长线于点， 可求得， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查三角形综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数解析式、锐角三角函数定义、分类讨论等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$