专题 第25章 锐角的三角比 章末复习易错60题（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第25章 锐角的三角比 章末复习易错60题 一．选择题（共26小题） 1．在△中，，，，那么的正弦值是　　 A． B． C．3 D． 【分析】先在△中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：在△中，，，， ， ， 故选：． 2．已知在中，，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可． 【解答】解：在中，，，， ， ，故不符合题意； ，故符合题意； ，故不符合题意； ，故不符合题意； 故选：． 3．已知在中，，、、的对边分别是、、，则下列关系式错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】先画出图形，根据锐角三角函数的定义，判断各选项即可． 【解答】解： 、，则，选项表示正确； 、，则，选项表示正确； 、，则，选项表示正确； 、，则，选项表示错误． 因本题选错误的，故选：． 4．在中，，若的三边都放大2倍，则的值　　 A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【分析】根据三边成比例的两个三角形相似可得把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形，从而可得的大小不变，即可解答． 【解答】解：把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形， 的大小不变， 的值不变， 故选：． 5．在中，，，则的值等于　　 A． B． C．或 D．或 【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①为斜边，②为斜边，根据勾股定理求得的值，然后根据余弦的定义即可求解． 【解答】解：当为直角三角形时，存在两种情况： ①当为斜边，， ，， ． ； ②当为斜边，， 由勾股定理得：， ； 综上所述，的值等于或． 故选：． 6．如图，中，，，，则为　　 A． B． C． D． 【分析】在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：，，， ， ， 故选：． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为　　 A．6 B． C． D． 【分析】根据点的坐标为，可以得到，根据，可以求出，根据勾股定理可以求出，最后由菱形的性质可以求出菱形的周长． 【解答】解：点的坐标为， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， 菱形的四条边相等， 菱形的周长为． 故选：． 8．在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D．2 【分析】先利用勾股定理求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：，，， ， ， 故选：． 9．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是　　 A． B． C． D．或 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解． 【解答】解：有两种情况： ①当等腰三角形的底边为6，腰为8时，； ②当等腰三角形的底边为8，腰为6时，； 故选：． 10．在中，，，则的值等于　　 A． B． C．或 D．或 【分析】分两种情况，为斜边，为斜边． 【解答】解：分两种情况： 当为斜边， 在中，，， ， ， 当为斜边， 在中，，， ， ， 综上所述：的值等于或， 故选：． 11．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解． 【解答】解：在中，， ，，，，． ， ，，，． ②③④成立， 故选：． 12．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶10千米到处，再从处向正西方向行驶16千米到处，这时这艘船与的距离　　 A．15千米 B．14千米 C．千米 D．千米 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【解答】解：如图： ， ， ，千米， 千米，千米， （千米）， （千米）， 故选：． 13．的倒数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【解答】解：的倒数， 故选：． 14．下列运算中，值为的是　　 A． B． C． D． 【分析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 15．的倒数是　　 A． B． C．2 D． 【分析】首先知道的值，然后再求其倒数． 【解答】解：， 的倒数是2， 故选：． 16．三角形中，，，为其三个内角，且满足，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据非负数的性质、特殊角的三角函数值求出、，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：由题意得，，， 解得，，， 则，， ， 故选：． 17．已知，，那么为　　 A． B． C． D．以上答案都不对 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， ， 故选：． 18．若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在段　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， ， 若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在段②， 故选：． 19．在平面直角坐标系中，已知点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是　　 A．2 B． C． D． 【分析】过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，根据已知可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点作轴，垂足为， ， 点， ，， 在中，， 故选：． 20．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】在中，根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在中，，， ， 故选：． 21．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则的正弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接，，过点作轴于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用面积法求出，从而可得解． 【解答】解：如图，连接，，过点作轴于点，过点作于点． 点坐标为，点坐标为， ，，， ，． ，． ， ． ． 又， ． 故选：． 22．阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以．类比这种方法，请你计算的值为　　 A． B． C． D． 【分析】在中，，，延长使，连接，得，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 在中，，，延长使，连接， ， 设，则， ， 在中，， 故选：． 23．如图所示，点在第一象限，射线与轴所夹的锐角为，，则的值为　　 A． B．3 C．4 D．5 【分析】过点作轴，垂足为，根据已知可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用勾股定理求出的长，即可解答． 【解答】解：过点作轴，垂足为， 点， ，， 在中，， ， ， ， 故选：． 24．如图，已知的三个顶点均在正方形格点上，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用网格构建直角三角形，再利用勾股定理得出，的长，进而利用余弦值的定义得出答案． 【解答】解：如图所示：连接， 可得：，，，， 所以． 故选：． 25．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【解答】解：过点作于，过点作于，如图： 设，，间的距离为， ，， ， ， ， ， 在等腰直角中，， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 故选：． 26．如图，点、、在正方形网格的格点上，则　　 A．1 B． C． D． 【分析】连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：连接， 由题意得： ， ， ， ， 是直角三角形， ， 在中，， 故选：． 二．填空题（共14小题） 27．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是　　． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由图可知，，，， 是直角三角形，且， ． 故答案为：． 28．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是 　　． 【分析】过点作的延长线于点，构建直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长，即可解答． 【解答】解：如图，过点作的延长线于点， 则，， 在中，， ． 故答案为：． 29．在直角中，，，是边的中点，则　　． 【分析】过点作于点，将求的问题转化到中求解，即求的值，设，则，，又，都是的直角三角形，可求，用勾股定理可求． 【解答】解：过点作于点， 在中，，， ， 设，则，， 又是边的中点， ， 在中，， ， 在中，， 在中，． 故本题答案为：． 30．等边中，点在射线上，且，则的值为 　或　． 【分析】分两种情况讨论，并画出图形，①当在之间，根据等边三角形的性质，求出，， 再根据，得出，从而求出的值；②当在延长线上时，过点作于，设，则，在中用三角函数表示两条直角边，从而求出的值． 【解答】解：如图①，当在之间 在等边中， ，， ， ， ， ， ， ； 如图②，当在延长线上时，过点作于， 在等边中， ，， ， 设，则， ， ， ， ，，， ， 故答案为：或． 31．如图，在中，，，，用含和的代数式表示的值为 　　． 【分析】分别放在和中，利用和的正弦值，进行计算即可． 【解答】解：在中，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 32．在中，，，，则　　． 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据三角函数的定义求解． 【解答】解：由勾股定理知，． ． 33．已知，且为锐角，则的取值范围　　． 【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求的取值范围． 【解答】解：为锐角， ， 则， 变形为：． 解得． 34．在中，，，则的值为　或　． 【分析】根据题意可分两种情况讨论：当点为直角顶点时，，代入计算即可；当点为直角顶点时，先根据勾股定理求出的长，则，代入计算即可求解． 【解答】解：当点为直角顶点时，如图， ； 当点为直角顶点时，如图， 在中，， ． 综上，的值为或． 35．若，则锐角　45　． 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【解答】解：， ， 解得：， 故答案为：45． 36．已知是锐角，，则　30　． 【分析】利用特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：30． 37．在中，若，满足，则的度数是 　　． 【分析】根据绝对值的非负性可得，，，从而可得，，，进而可得，，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答． 【解答】解：， ，，， ，，， ，， ， 故答案为：． 38．已知点在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为 　．　． 【分析】过点作轴于．利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可解决问题． 【解答】解：过点作轴于． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 39．如图，在中，，是斜边上的中线，过点作，分别与、相交于点、，如果，那么的值是 　　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用同角的余角相等可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，最后进行计算即可解答． 【解答】解：，是斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， ， 故答案为：． 40．在中，，，，则　24　． 【分析】在中，根据锐角三角函数的定义可设 ，则 ，然后利用勾股定理求出 ，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：在中，，， 设 ，则 ， ， ， ， 解得：， ，， ， 故答案为：24． 三．解答题（共20小题） 41．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 42．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 43．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 44．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解： ． 45．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解： ． 46．计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解： ． 47．计算： 【分析】依据、、角的各种三角函数值，即可得到计算结果． 【解答】解：原式 48．求下列等式中的锐角 （1）； （2）． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 49．已知：如图，在中，，． 求：（1）； （2）的余弦值． 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义设，则，从而利用勾股定理求出，进而可得，然后可得，，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ； （2）在中，，， ， ， 的余弦值为． 50．已知：如图，在中，，，，点是的中点． （1）求线段的长； （2）点在边上，且，求的面积． 【分析】（1）依据，，，即可得到，再根据点是的中点，可得，再根据勾股定理可得中，； （2）过作于，根据，，即可得到，，再根据勾股定理得出的长，进而得到，最后求得的面积． 【解答】解：（1）中，，，， ， 点是的中点， ， 中，； （2）如图，过作于， ，， ，， ， ， ，，， ， ， 的面积． 51．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，、、三点共线．从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为；从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为．（点、都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：， 【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：，， 在中，，， （米， 在中，，， （米， 米， 米， 的长为米； （2）设米， 在中，， （米， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 山峰高度的长约为10.2米． 52．如图，处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达处，这时在处的正东方向200米的处测得的仰角为、、在同一平面内）．求、之间的距离．（结果精确到1米， 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，，， ， 在中，， （米， 在中，（米， 、之间的距离约为141米． 53．在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为，其中，视线的仰角为（已知，视线的仰角为（已知． （1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． （2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用现有的工具制定测量方案，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， 由题意得：，，米，米， 在中，，， ， （米， 在中，，， ， （米， （米， 答：松树的高度为米； （2）我想的测量办法是：在水平地面上的点处测得小树顶端的仰角为，再从点向前走米到达点处，在点处测得小树顶端的仰角为， 测得小树底端的仰角为，即可通过计算求得松树的高度． 如图：连接并延长交于点， 由题意得：米，米，，，，， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， 米， （米， 在中，， （米， （米， 松树的高度为米． 54．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上、两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决：（1）请用含的代数式表示仰角； （2）如果、、在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【分析】（1）延长交于，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图：延长交于， 由题意得：， ， ， ， ； （2）延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 在中，， （米， 在中，， （米， ， ， 解得：， 米， 米， 大楼的高度为米． 55．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为． （1）求坡顶到地面的距离的长； （2）求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，， 【分析】（1）根据题意可得：，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米．米， 坡顶到地面的距离的长15米； （2）延长交于点， 由题意得：，米， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， ， 解得：， （米， 古塔的高度约为29米． 56．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据： （1）当时，求点离地面的距离约为多少分米；（结果精确到 （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，求为多少分米． 【分析】（1）如图，作于，于，解直角三角形求出，即可求出； （2）作于，于，再分别解直角三角形求出，即可． 【解答】解：如图，作于，于， ， ， 四边形是矩形， ， ，， 是等边三角形， ， ， （分米）， ， ， （分米）， （分米）， 答：点离地面的距离约为13.7分米； （2）如图，于，于， ， ， 在中，（分米），（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米），（分米）， 在中，（分米）， 分米， （分米）， 答：为4分米． 57．北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为1.2米（点、、在一条直线上，，，，求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到0.1米） （参考数据：，，，，， 【分析】延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， （米， 在中，， ， ， 解得：， （米， （米， 浦仓路桥顶部到水面的距离约为15.8米． 58．为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走100米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据： 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，米，，，，先利用三角形的外角性质进行计算可得，从而可得米，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后根据斜坡的坡比为，可求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，米，，，， 是的一个外角， ， ， 米， 在中，（米， （米， 在中，（米， 米， （米， 斜坡的坡比为， ， （米， 在中，（米， 建筑物的高度约为136.6米，的长为130米． 59．2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为，求此时观测点到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，， 【分析】根据题意可得：，然后在和中，分别利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， 米， ， ， 米， 此时观测点到发射塔的水平距离约为32.1米． 60．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：． 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）延长交于点，根据已知易得，从而利用三角形的内角和可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，再根据已知可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）在中，，， （米， 灯管支架底部距地面高度的长为米； （2）延长交于点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 米，米， （米， 在中，（米， （米， 灯管支架的长度约为1.2米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 锐角的三角比 章末复习易错60题 一．选择题（共26小题） 1．在△中，，，，那么的正弦值是　　 A． B． C．3 D． 2．已知在中，，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 3．已知在中，，、、的对边分别是、、，则下列关系式错误的是　　 A． B． C． D． 4．在中，，若的三边都放大2倍，则的值　　 A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 5．在中，，，则的值等于　　 A． B． C．或 D．或 6．如图，中，，，，则为　　 A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为　　 A．6 B． C． D． 8．在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D．2 9．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是　　 A． B． C． D．或 10．在中，，，则的值等于　　 A． B． C．或 D．或 11．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶10千米到处，再从处向正西方向行驶16千米到处，这时这艘船与的距离　　 A．15千米 B．14千米 C．千米 D．千米 13．的倒数是　　 A． B． C． D． 14．下列运算中，值为的是　　 A． B． C． D． 15．的倒数是　　 A． B． C．2 D． 16．三角形中，，，为其三个内角，且满足，则　　 A． B． C． D． 17．已知，，那么为　　 A． B． C． D．以上答案都不对 18．若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在段　　 A．① B．② C．③ D．④ 19．在平面直角坐标系中，已知点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是　　 A．2 B． C． D． 20．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值是　　 A． B． C． D． 21．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则的正弦值为　　 A． B． C． D． 22．阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以．类比这种方法，请你计算的值为　　 A． B． C． D． 23．如图所示，点在第一象限，射线与轴所夹的锐角为，，则的值为　　 A． B．3 C．4 D．5 24．如图，已知的三个顶点均在正方形格点上，则的值为　　 A． B． C． D． 25．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是　　 A． B． C． D． 26．如图，点、、在正方形网格的格点上，则　　 A．1 B． C． D． 二．填空题（共14小题） 27．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是　 　． 28．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是 　　． 29．在直角中，，，是边的中点，则　 　． 30．等边中，点在射线上，且，则的值为 　　． 31．如图，在中，，，，用含和的代数式表示的值为 　　． 32．在中，，，，则　 　． 33．已知，且为锐角，则的取值范围　 　． 34．在中，，，则的值为　　． 35．若，则锐角　　． 36．已知是锐角，，则　　． 37．在中，若，满足，则的度数是 　　． 38．已知点在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为 　　． 39．如图，在中，，是斜边上的中线，过点作，分别与、相交于点、，如果，那么的值是 　　． 40．在中，，，，则　　． 三．解答题（共20小题） 41．计算：． 42．计算：． 43．计算：． 44．计算：． 45．计算：． 46．计算：． 47．计算： 48．求下列等式中的锐角 （1）； （2）． 49．已知：如图，在中，，． 求：（1）； （2）的余弦值． 50．已知：如图，在中，，，，点是的中点． （1）求线段的长； （2）点在边上，且，求的面积． 51．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，、、三点共线．从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为；从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为．（点、都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：， 52．如图，处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达处，这时在处的正东方向200米的处测得的仰角为、、在同一平面内）．求、之间的距离．（结果精确到1米， 53．在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为，其中，视线的仰角为（已知，视线的仰角为（已知． （1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． （2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 54．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上、两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决：（1）请用含的代数式表示仰角； （2）如果、、在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 55．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为． （1）求坡顶到地面的距离的长； （2）求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，， 56．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据： （1）当时，求点离地面的距离约为多少分米；（结果精确到 （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，求为多少分米． 57．北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为1.2米（点、、在一条直线上，，，，求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到0.1米） （参考数据：，，，，， 58．为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走100米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据： 59．2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为，求此时观测点到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，， 60．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$